探究《解直角三角形的應用》講解方法

宋成學

新疆生產建設兵團第六師教育局教研室

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探究《解直角三角形的應用》講解方法

宋成學

新疆生產建設兵團第六師教育局教研室

利用解直角三角形來解決實際問題在新疆初中學業水平考試中的出題頻率很高，分值也較大，因此，解直角三角形可以說是初中階段的考察的一個重要的內容。對于學生來說，這是必須讓學生掌握的。而對于老師來說如何對本知識點進行講解，是值得進行研究的。解直角三角形的重點是讓學生學會數學思想。數學思想是解決數學問題的靈魂，在初中數學中蘊含著豐富的數學思想方法，需要我們去挖掘并應用于解題過程。本節所用的數學思想有：分類思想、方程思想和轉換思想。分類思想，就是當被解決的問題包含兩種或兩種以上的可能情況時，則需要按不同的情況分類來解決的一種思想方法；方程思想是一種重要的解題思想方法，在解決與直角三角形和相似三角形有關計算問題，往往從問題中構造方程，通過解方程解決問題；轉化思想是數學問題的一種重要的思想方法，轉化思想把未知的轉化為已知的、把抽象的轉化為具體的、把一般轉化為特殊等等，都是轉化思想的重要體現。

《解直角三角形的應用》一節共需兩個課時，但如何利用這兩個課時讓學生很好的掌握本節知識，這需要教師對本節課進行典型事例匯總，總結出本節在中考中常考題型的演變和典型圖形。對于解直角三角形的考題而言，大多都是雙直角三角形的習題，雙直角三角形是指一條直角邊重合，另一條直角邊共線的兩個直角三角形。解這類問題的基本思路是：運用“遇斜化直”的數學思想，即通過作輔助線（斜三角形的高線）把它轉化成為雙直角三角形問題，然后根據已知條件與未知元素之間的關系，利用解直角三角形的知識來求解下面就如何對本節知識點進行整合談談自己的觀點。

一、第一類典型例題分析

人教版九年級數學下冊第28.2.2應用舉例中共給出了兩個例題，其中比較重要的是第二個例題：

例題：熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高？

本題考察的是題中有兩個直角三角形時的分析方法，這類題型的掌握對學生后期的學習和訓練提供的很多幫助，因為，很多情景和題型都是有本題演變而來。

例如：第76頁的例5：如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠？（結果取整數）

如果教師在講解中把第一個例題講解透徹，作為典型圖例模型，讓學生理解分析這種圖例的結題方法，那么，76頁的例5，學生就會自己輕松的解決，因此，我們在教學中，總結第一個解直角三角形的應用典型圖例模型一：

本模型有兩種設問方式：（1）已知AB和兩個角，求BD；（2）已知AC和兩個角，求BD。

二，第二類典型例題分析

通過例題來總結圖例模型是一種對教材整合的方法，但除了例題，教材中的練習題我們也不能忽視。例如，教材第76頁的練習1：

如圖，建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為50°，觀察底部B的仰角為45°，求旗桿的高度。

這一試題的圖例特征也是我們在試卷中經常見到的一種，它的情景不僅僅是在測量建筑物的高度上，在航海航空方面的習題中也是經常見到的，例如課本教材第77頁的練習第一題：海中有一個小島A，它的周圍8海里范圍內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續向東航行，有沒有觸礁的危險？

這個圖例的設問情景有很多，再比如測量類的：某中學九（2）班數學活動小組利用周日開展課外實踐活動，他們要在湖面上測量建在地面上某塔AB的高度.如圖3，在湖面上點C測得塔頂A的仰角為45°，沿直線CD向塔AB方向前進18米到達點D，測得塔頂A的仰角為60°.已知湖面低于地平面1米，請你幫他們計算出塔AB的高度（結果保留根號）。

這類試題的分析也主要是圍繞解兩個直角三角形來進行的，但在解直角三角形的過程中運用了方程的思想，比如最后一題的解題方法為：延長CD交AB的延長線于E，則AE⊥CE。

設AB=x，在Rt△ADE中，因為AE=x+1，∠AED=60°，

在Rt△ACE中，因為∠C=45°，所以CE=AE=x+1，

通過設塔構造方程解決問題，使問題易于理解.同時本題也體現了一種建模思想.因此，我們可以把這類試題圖例作為第二個典型模型進行講解。

通過這兩個典型圖例模型的講解，可以比較系統的讓學生掌握利用解直角三角形來解決實際問題的方法。遇到類似的問題，可以引導學生巧妙的作出輔助線，將問題轉化成這兩個典型圖例模型，從而，達到學生自己解決問題的目的，也體現了數學建模中將未知問題轉化成已知問題的基本思想。