不同畸變模型在航攝相機校準中的適用性研究

黃留波

（廣西水利電力勘測設計研究院，南寧 530023）

不同畸變模型在航攝相機校準中的適用性研究

黃留波

（廣西水利電力勘測設計研究院，南寧 530023）

分析了航攝相機光學畸變原理及主要誤差源，分別利用10參數模型、一般多項式模型和有限元模型在航攝相機校準中的適用性進行了實驗比較，結果表明10參數模型和多項式模型校準精度優于1 μm，優于有限元模型。

10參數模型；多項式模型；有限元模型；光學畸變

0 引言

航攝相機光學系統在設計、制作和裝配過程中，存在像差、角放大率的變化、有效光闌位置的變化、光瞳中心與主點不重合以及各透鏡的偏心等問題，破壞了系統的消畸變性和對稱性，形成了攝影物鏡的畸變。相機畸變導致物點、鏡頭中心以及像點不再滿足共線條件，測量必然出現誤差[1]。為了更好地進行攝影測量型相機校準，目前針對相機畸變模型[2]的研究越來越多。馮其強等人[3]針對數字工業測量相機檢校問題，提出在10參數相機畸變模型基礎上加入有限元模型二次檢校，通過對INCA3測量相機和Cannon EOS 5D Mark 2非測量型相機比較試驗發現測量型相機精度改善很大，非測量型相機效果不明顯；丁昊等人[4]提出了一種無需控制場，僅采用影像線特征進行非量測相機畸變測定方法，并進行了可行性分析論證；程效軍等人[5]通過分析數字相機的結構和誤差來源，提出一種針對數字相機畸變差檢測的嚴密數學模型，并運用序貫方法解算該模型；馮文灝等人[6]提出并論證了基于二維直線線性變換的畸變校正方法，發現該方法特別適用于各類固態相機（CCD，CID，PSD）的畸變模型建立。本文對目前主要的3種畸變模型即10參數模型、多項式模型和有限元模型進行了系統研究和實驗比較，并對航攝相機進行了實際檢校測試，為航攝相機畸變數學模型的選擇提供了理論支持。

1 基本原理

1.1 光學畸變原理

畸變差根據產生的原因可以分為兩種：對稱畸變和非對稱畸變。其中對稱畸變由于物鏡殘余像差引起，并使得像點徑向產生偏差，主要分為枕形畸變和桶形畸變[6]，其中枕形畸變相對主點向外產生偏移，桶形向內（如圖1所示）。

圖1 兩種徑向畸變示意圖

徑向畸變：

將其分解到像平面坐標系的x軸和y軸上，則有：

偏心畸變：

分解到像平面坐標系的x軸和y軸上，則有：

其中：p1,p2為偏心畸變系數，偏心畸變在數量上比徑向畸變小的多。

像平面內的平面畸變和像平面不平引起的畸變都包含了透鏡誤差，其表達式為：

式（5）中b1，b2為像平面內畸變系數。假設設傳感器焦距變化量為Δf，傳感器鏡頭主點坐標偏移量為Δxp,Δyp表示，該變化量在像點上的影響為：

1.2 相機畸變模型

1.2.1 10參數模型

10參數模型涵蓋了目前已知的幾乎所有物理影響因素。該模型真實反映了在成像過程中所產生的系統誤差，而且在算法上更加容易實現，精度更高，是相機畸變校正最為成熟的模型。10參數模型的每一個畸變參數都有明確物理含義，如鏡頭器件光學中心不共線引起的偏心畸變等。攝影物鏡的畸變差包括對稱徑向畸變、偏心畸變和像平面畸變。10參數數學模型公式表達如下[8]：

徑向畸變系數：k1，k2，k3；

偏心畸變系數：p1，p2；

像平面畸變系數：b1，b2。

根據附加參數光束法平差得到的系統畸變系數，通過間接糾正來逐個點去校正系統畸變差。

1.2.2 多項式模型

一般多項式模型采用關于像點坐標（x，y）的二元n次多項式。一般多項式模型如下式所示[8]：

像點坐標畸變：（Δx,Δy）；

像點坐標：（x，y）；

像點畸變系數：a0，a1，b0，b1等。

一般多項式模型是整體模型，其中的參數并沒有明確的物理意義，而是將像點畸變看作整體去校正，該模型由于物理意義不明顯，因此較多的研究只涉及理論，現實畸變校正應用較少[7]。

1.2.3 有限元模型

有限元方法目前已經廣泛應用在數字地面模型、相機檢校等領域，該模型可以擬合一般情況下很難利用參數模型擬合的焦平面產生的系統差[9]，該模型主要分為補償主距變化和直接補償像點畸變兩類。其中，補償主距變化是把光學畸變看作各個像點主距值變化，從而進行補償，主要針對徑向和像平面不平引起的畸變。第二類是直接補償各像點畸變，即將像平面等分為若干單元，像平面內任意一點畸變都能利用該單元4個節點雙線性內插，同時需要加入一些連續性約束條件保證畸變連續性。

2 畸變校正實驗

航攝相機畸變校正的基本要求是建立的數學模型盡量逼近實際測量結果，逼近的程度可用一種偏差的平方和表示。假定通過相機校準測量得到的畸變為Δ'xi和Δ'yi，通過畸變模型擬合公式得到的畸變為Δxi和 Δyi，令，則畸變校正精度為。數字航攝相機的畸變校正過程中，求取各畸變模型公式的參數，就是一個優化計算的過程，優化的目標就是使σ最小，也就是要求數學模型與實際測量結果最接近。在數字航攝圖像的后處理時，用這些幾何標定得到的參數，重新計算和修正每個像素的坐標，以便獲得地面圖像的高精度幾何位置數據。

為對各模型的校正精度進行評價，利用航攝相機畸變測量儀標準裝置，對標稱焦距為88mm、152mm、300mm的航攝相機進行分別校準，解算其內方位元素和畸變系數，利用10參數模型、多項式模型和有限元模型進行畸變校正，實驗結果如下。

2.1 10參數模型畸變校正實驗

10參數模型畸變校正精度結果見表1。

實驗表明：含k1、k2和含k1、k2、k3的10參數模型的校正精度相差較大，因此，在利用10參數模型進行航攝相機畸變校正時，徑向畸變系數取k1、k2、k3。

2.2 多項式模型畸變校正實驗

表1 10參數模型校正精度 μm

利用多項式模型畸變校正精度結果如表2所示：

表2 多項式模型畸變校正精度 μm

2.3 有限元模型畸變校正實驗

采用補償主距變化的有限元方法進行相機畸變校正，即將畸變視為由各采樣點處的主距值變化引起，那么 Di=Δftanαi，αi為第i個采樣點對應網絡中心的角度，Di為第i個采樣點的徑向畸變差。利用有限元模型進行畸變校正，結果如表3所示：

表3 有限元模型畸變校正精度 μm

2.4 實驗比較與分析

通過以上實驗分析可以得出以下3個結論：

（1）10參數模型的糾正精度隨著主距的增大而提高，多項式模型的校正精度隨著主距的增大而降低，有限元模型的校正精度隨著主距的增大變化不明顯；

（2）對不同焦距的航攝相機，含k1、k2、k3的10參數模型的畸變校正精度均優于含k1、k2的10參數模型，因此，在利用10參數進行畸變校正時，徑向畸變系數應取k1、k2、k3；

（3）對不同焦距的航攝相機，而多項式模型和10參數模型的畸變校正精度均優于1μm，均優于有限元模型。

3 結論

航攝相機畸變差校準是一個十分重要且復雜的問題。畸變模型各有優勢，對于不同測量型或者非測量型相機都有不同的適用性[10]。10參數模型中各畸變參數具有明確的物理意義，因此對于可以預見的畸變差都可以很好的校正，在對3種主距的航攝相機校正中表現穩定，精度較高，應用也最為普遍。從實驗結果來看，有限元模型校正精度穩定在1μm，但比多項式模型和10參數模型要差一個數量級，因此通過實驗比較，建議航攝相機畸變模型采用10參數模型或多項式模型，校正精度更高。

[1] 黃 靜.照相物鏡徑向畸變模型的再商討[J].光學學報，2008（10）：1930-1933.

[2] 金仲華，崔紅霞.數字相機徑向畸變差檢測及改正[J].科技廣場，2008（10）：118-120.

[3] 馮其強.數字工業攝影測量技術研究與實踐[D].鄭州：信息工程大學博士論文，2010.

[4] 丁 昊，謝文寒，張繼賢.無控制場的相機畸變差改正方法[J].測繪科學，2012，37（2）：33-35.

[5] 程效軍，胡敏捷.數字相機畸變差的檢測[J].測繪學報，2002（S1）：113-117.

[6] 馮文灝，商浩亮，侯文廣.影像的數字畸變模型[J].武漢大學學報（信息科學版），2006，31（2）：99-103.

[7] 馮文灝.關于近景攝影機檢校的幾個問題[J].測繪通報，2000（10）：1-3.

[8] 黃 靜.大面陣數字航測相機的精密幾何標定[J].光電工程，2006，133（2）：138-140.

[9] 李德仁，袁修孝.誤差處理與可靠性理論[M].武漢：武漢大學出版社，2002.

[10] 詹總謙，張祖勛，張劍清.基于LCD平面格網和有限元內插模型的相機標定[J].武漢大學學報（信息科學版）2007，32（5）：394-397.

（責任編輯：劉征湛）

Study of adaptability of different distortion model in aerial photographic camera calibration

HUANG Liu-bo
（Guangxi Water and Power Design Institute,Nanning 530023,China）

A brief analysis was made on the optical distortion Princciple and main error sources of aerial photographic camera.Tests were conducted to study the adaptability of 10-parameter model,polynomial model and finite element model in aerial photographic camera calibration.The results of test demonstrate that 10-parameter model and polynomial model are better than finite element model with calibration accuracy superior to 1μm.

10-parameter model;polynomial model;finite element model;optical distortion

P236

B

1003-1510（2016）04-0024-04

2016-04-12

黃留波（1986-）男（壯族），廣西馬山人，廣西水利電力勘測設計研究院工程師，學士，主要從事水利水電工程測量工作。