球面螺旋曲面在夾緊機構中的應用

馮凱，顧立志（華僑大學機電及自動化學院，福建廈門361021）

球面螺旋曲面在夾緊機構中的應用

馮凱，顧立志
（華僑大學機電及自動化學院，福建廈門361021）

基于球面螺旋曲面的成形與運動特性，運用微分幾何學對球體上的球面螺旋曲線和球面螺旋曲面進行描述和數學模型構建.提出一種球面螺旋面與滑塊相嚙合的滑塊式球面螺旋副，對其進行嚙合面的摩擦力和自鎖特性研究，設計一種運用此球面螺旋面副的夾緊機構.結果表明：該機構結構緊湊、動作靈活、運動安全可靠，并能對多種不同尺寸的物體進行精準和可靠裝夾.

微分幾何學；球面螺旋曲面；夾緊機構；曲率；撓率

螺旋曲面的相關產品在制造業內不斷發展革新，隨著研究的深入，其應用領域不斷擴大［1－4］.復雜螺旋曲面具有獨特的幾何學、運動學、力學和動力學特性［5－6］.眾多研究者運用微分幾何學、運動學和嚙合原理研究螺旋曲面的成形原理，并采用包絡理論得到共軛螺旋嚙合面的數學方程，獲得了許多理論成果［7－24］.迄今，螺旋曲面的研究和應用主要建立在圓柱體或圓錐體上，對球體上的螺旋曲面（簡稱球面螺旋曲面）及其運動副（簡稱球面螺旋副）的研究鮮見報道.夾緊機構是機械中對工件固定的一種重要機構.夾緊機構的一個重要特性是實現自鎖功能.目前，夾緊機構主要通過連桿機構的死點實現機構自鎖，這決定了一種夾緊機構只能對某一固定尺寸的物體進行裝夾.夾緊機構、機械手或夾持機構主要采用液壓缸和電機通過連桿機構驅動卡爪運動［25］.但液壓缸和電機遇到故障時，難以保證卡爪的安全性能.本文通過對球面螺旋曲面的深入研究和分析，在構建球面螺旋副的基礎上，將球面螺旋曲面上不同緯度的獨特運動和力學特性映射到被執行件的運動中.

1 球面螺旋線與球面螺旋面的數學建模

1.1 構建空間坐標系

建立兩個坐標系（圖1），分別為定坐標系OXYZ和動坐標系OX1Y1Z1.在初始位置時，動坐標系OX1Y1Z1的Y1軸與定坐標系OXYZ的Y軸重合，OZ1X1標架相對固定坐標系的OZX標架繞共同軸Y軸傾斜轉過θ.動點在動系中繞Z軸以角度參數u2做圓周運動.同時，動系繞定系的X軸以角度參數u1做等速圓周運動.動點的2個圓周運動的合成運動在定坐標系中的運動軌跡即為球面螺旋線（圖2）.為方便研究螺旋曲面的螺旋角，取定比關系u2／u1＝sinθ.

圖1 空間坐標系Fig.1 Space coordinate system

圖2 球螺旋線的成型圖Fig.2 Spherical helix forming graph

1.2 構建球面螺旋線的數學模型

當取動點M初始位置在Y軸上，即動點坐標為M（0，b，0）時，根據對球面螺旋曲線的定義，由空間矩陣轉換理論可以得到球螺旋線的數學模型，即

1.3 構建球面螺旋面的數學模型

球面螺旋線的成形原理是質點的成形運動（圖3（a））；而球面螺旋面的成形原理是基于直線或者曲線的成形運動.因此，為了獲得球面螺旋面方程的數學表達，只需將端面為質點的球面螺旋線換為端面為直線或曲線的端面形線，端面形線以原球面螺旋線為軌跡，運動形成所需球面螺旋面（圖3（b））.

根據球面螺旋面的成形原理，取端面型線的一般方程為r＝［x0y0z0］T.由此可知：將端面型線代替質點成形可得到球面螺旋面的數學表達式，即

圖3 球螺旋面的成型圖Fig.3 Spherical helical surface forming graph

2 特性參數分析

球面螺旋面有別于在圓柱體和圓錐體上形成的螺旋面.因此，特別提出球面螺旋面特征參數，包括螺旋角、壓力角、曲率和撓率等.

2.1 曲率和撓率

采用微分幾何學偏微分方程求得球面螺旋線在任意一點處的曲率和撓率.因為u2＝u1sinθ，可以得到球螺旋線關于參數u1的偏導數，即

曲率和撓率分別為

2.2 螺旋角

球面螺旋線的螺旋角定義為：球面螺旋線上每一點的切矢與球面軸線X的夾角.在X軸上取一個單位向量i＝（1，0，0），將切向量單位化為

單位切向量與X軸上的單位向量間的夾角為

即螺旋角為

把球面螺旋曲面投影到旋轉軸所在的平面內時（圖4），在輪廓圓上將運動分解成軸向和徑向，當運動方向靠近赤道圓時，投影在徑向上的運動速度由最大值趨于零，在赤道圓上為零.將運動映射到夾緊機構的卡爪手上，夾緊機構要夾持物體時，卡爪與固定托臺處于分離狀態，且卡爪手與被夾持物體間存在一定間隙.爪手從最大分離狀態到剛好接觸物體時的運動稱為空載運動，行程相對長，應滿足運動快、力小的要求.將爪手從剛好接觸到持物體到把物體夾緊時的運動稱為有載運動，行程相對較短，應滿足運動慢、力大的要求.此外，螺旋嚙合面采用滑動接觸通過控制螺旋角的大小完全可以實現嚙合副的自鎖特性.

2.3 球面螺旋面圓柱滾子嚙合的壓力角

球面螺旋面的壓力角定義為：過球面螺旋面上一點與球螺旋體中心確定出一條直線，過此點在球面體上的緯度圓平面內得到切線，此直線與切線所在平面的法向量與該點在球面螺旋面上的法向量的夾角為球面螺旋面在接觸嚙合表面的壓力角.壓力角分析圖，如圖5所示.圖5中：取螺旋曲面上一點與球體徑向的夾角為ψ，該點出切向量與緯度圓平面的夾角為.

圖4 質點在球面螺旋線上的運動特性Fig.4 Particle movement characteristics in spherical helix

圖5 壓力角分析圖Fig.5 Pressure angle analysis diagram

根據定義和圖5，可以得到角度關系，即

由此，可得

由定義和圖5，可得壓力角（α壓）和角度（φ）的關系α壓＝－φ.因此，壓力角為

3 基于球面螺旋面副的夾緊機構設計

3.1 基于球面螺旋面副的設計

設計的球面螺旋副采用滑動形式的嚙合副，由滑塊、滑槽和球螺旋體組成，球螺旋體上是與滑塊相嚙合的球面螺旋曲面，如圖6所示.

螺旋副應用在夾緊機構中時，一個重要性能是能夠實現機構自鎖功能，而滑塊與球螺旋體間的滑動接觸形式就是滑塊在斜面上受力和運動形式.由此可知：控制球面螺旋副的自鎖特性的參數為球面螺旋面的螺旋角.

根據對滑塊與球面螺旋曲面間的受力分析（圖7），得到夾緊機構實現自鎖的條件為

可得

式（16），（17）中：G為滑塊的自身重力；F為傳動機構所給的反作用力；α0為摩擦角，即自鎖的臨界角；μ為滑塊與球螺旋面之間的滑動摩擦系數；f為最大滑動摩擦力.

圖6 球面螺旋副Fig.6 Spherical helical pair

圖7 機構自鎖受力分析圖Fig.7 Mechanism self－locking force analysis diagram

3.2 基于球面螺旋面副的夾緊機構

根據球面螺旋副的特性，研究球面螺旋副在夾緊機構中的應用，如圖8所示.球面螺旋副應用于夾緊機構，具有結構緊湊、加緊牢固、自鎖性能好和安全可靠等優點.

機構的運動副有幾何閉合方式和加力閉合方式.綜合考慮機構的特性和工作要求，夾緊機構中滑塊與求螺旋面間的接觸嚙合方式選擇采用幾何閉合方式，以此提高運動的緊湊性、精確性和穩定性.機構的極限位置主要由滑槽的弧度、連桿的尺寸及位置關系決定.

3.3 機構性能分析

根據球面螺旋面的幾何特征，可得

式（18），（19）中：ω0為球螺旋體的旋轉角速度；ω1為滑塊沿著圓周滑槽的角速度；η為球螺旋體上螺旋圈數.

夾緊機構運動分析圖，如圖9所示.由圖9可得運動學公式，即

可得

又因v1＝ω1r，可得

式（20）～（22）中：v1為滑塊的絕對速度；v2為夾持梁上B點的絕對速度；v21為B點相對于A點的相對速度；r為球面螺旋體的半徑.由式（22）可知：夾緊機構在夾緊物體時，滑塊由低端向上移動，以ω1作勻角速度轉動，隨著時間的變化，B點處的壓力角α0減小，而A點處的壓力角β0增大.又因α0，β0都是銳角，因此，隨著時間變化，速度v2減小.B，D圍著C點作圓周運動，所以滿足關系式v2／L2＝v3／L3，易得D點的絕對速度v3＝v2L3／L2，可得

圖8 基于球面螺旋副的夾緊機構Fig.8 Clamping mechanism based on spherical helical pair

圖9 夾緊機構運動分析圖Fig.9 Motion analysis diagram of clamping mechanism

4 結論

1）在探索球面螺旋面成形與運動特性的基礎上，分別構建了以角度參數u1，u2，θ，線性參數b為特性參數的球面螺旋線數學模型，以及在球面螺旋線基礎上加端面型線的球面螺旋面的數學模型.

2）運用微分幾何學的偏導數計算研究了球面螺旋線在任意一點處的曲率和撓率，并得到曲率、撓率與球面螺旋線的螺旋角和成形角度參數的關系式.根據球面螺旋面的幾何和運動特性設計了一種滑塊式球面螺旋副，此球面螺旋副可以根據要求控制螺旋角來實現機構嚙合過程中的自鎖性能.

3）給出球面螺旋副在夾緊機構中的一個應用實例.通過驅動球螺旋面繞固定軸旋轉，帶動與之配合的滑塊運動，通過連桿機構最終驅動卡爪夾緊被夾持物體，從而實現對目標物體的操作.普通連桿夾緊機構只有在死點處實現夾緊自鎖，而此機構可實現在任一點處自鎖，滿足了對不同尺寸物體的夾緊.

［1］ 王道林.沖擊式手動夾緊機構設計［J］.機械傳動，2012（10）：110－111.

［2］ 馬尚君，劉更，周建星，等.行星滾柱絲杠副運轉過程動態特性分析［J］.振動與沖擊，2013，32（3）：167－171.

［3］ 姜洪奎，宋現春，李保民，等.基于滾珠絲杠副流暢性的滾珠返向器型線優化設計［J］.振動與沖擊，2012，31（2）：38－42.

［4］ 劉志強，龔憲生.大扭矩螺旋作動器的設計與研究［EB／OL］.［2010－04－07］.http：∥www.paper.edu.cn／releasepaper／content／201004－227.

［5］ 梁瑜軒，黎向鋒，左敦穩，等.內螺紋低頻振動冷擠壓振動加工裝置動力學仿真分析［J］.振動與沖擊，2012，31（22）：143－146.

［6］ LI Zhongqun，LIU Qiang.Surface topography and roughness in hole－making by helical milling［J］.The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2013，66（9／10／11／12）：1415－1425.

［7］ 魏小莉.雙螺桿壓縮機螺桿加工可轉位銑刀結構設計及分析［D］.哈爾濱：哈爾濱工業大學，2012：10.

［8］ 萬曉鵬，沙永柏，趙曉影.基于ADAMS的鉆桿夾持機械手的動力學仿真［J］.機床與液壓，2013，41（13）：142－143.

［9］ 宋曉華，吳忠，周明安.計算機仿真在機構動力學分析中的應用［J］.輕工機械，2005，23（2）：52－54.

［10］ 付振山，馮顯英，于春玲.滾珠型弧面凸輪分度機構的運動分析和仿真［J］.制造技術與機床，2012（12）：86－89.

［11］ MOHAN L V，SHUNMUGAM M S.Geometrical aspects of double enveloping worm gear drive［J］.Mechanism and Machine Theory，2009，44（11）：2053－2065.

［12］ BYRTUS M，ZEMAN V.On modeling and vibration of gear drives influenced by nonlinear couplings［J］.Mechanism and Machine Theory，2011，46（3）：375－397.

［13］ 李增亮，李風濤.雙螺桿泵轉子型線嚙合特性分析［J］.石油機械，2009，37（6）：28－32.

［14］ 王啟東，劉戰強，湯愛民，等.平頭螺旋刃立銑刀切削力預報模型的建立與數值仿真（一）：刀具幾何參數對銑削力的影響［J］.工具技術，2011，45（3）：17－22.

［15］ 王啟東，劉戰強，湯愛民，等.平頭螺旋刃立銑刀切削力預報模型的建立與數值仿真（二）：切削參數對銑削力的影響［J］.工具技術，2011，45（4）：8－14.

［16］ 徐健，余賓宴，余小玲，等.螺桿壓縮機轉子型線設計方法［J］.壓縮機技術，2012（2）：1－6.

［17］ 徐健，周恩民，許嶺松，等.螺桿轉子刀具設計方法［J］.壓縮機技術，2013（6）：1－8.

［18］ 王樹強，王可，孫興偉，等.螺旋定子內螺旋曲面切削加工方法及仿真試驗研究［J］.機床與液壓，2012，40（9）：42－44.

［19］ 王樹強，王可，劉希敏.盤銑刀銑削螺旋定子內螺旋曲面方法及工件廓形算法［J］.組合機床與自動化加工技術，2013（3）：24－26.

［20］ ARTONI A，GABICCINI M，KOLIVAND M.Ease－off based compensation of tooth surface deviations for spiral bevel and hypoid gears：Only the pinion needs corrections［J］.Mechanism and Machine Theory，2013，61（1）：84－101.

［21］ WALTON D J，MEEK D S.Curve design with more general planar Pythagorean－hodograph quintic spiral segments ［J］.Computer Aided Geometric Design，2013，30（7）：707－721.

［22］ D′AGOSTINO F，FERRARA F，GENNARELLI C，et al.Experimental assessment of an effective near－field－farfield transformation with spherical spiral scanning for quasi－planar antennas［J］.Antennas and Wireless Propagation Letters，2013，12：670－673.

［23］ D′AGOSTINO F，FERRARA F，GENNARELLI C，et al.Far－field reconstruction from near－field data acquired via a fast spherical spiral scan：Experimental evidences［J］.Progress in Electromagnetics Research，2013，140：719－732.

［24］ SARACOGLU S，YAYLI Y.Special space curves characterized by det（α（3），α（4），α（5））＝0［J］.Ukrainian Mathematical Journal，2014，66（4）：638－644.

［25］ 王道林，劉濱.單臂鉸鏈夾緊機構的設計與分析［J］.煤礦機械，2014，35（6）：117－118.

（責任編輯：錢筠 英文審校：楊建紅）

Application of Spherical Helical Curved Surface in Clamping Mechanism

FENG Kai，GU Lizhi
（College of Mechanical Engineering and Automation，Huaqiao University，Xiamen 361021，China）

Based on the forming and movement characteristics of the spherical helical curved surface，using the differential geometry to describe and establish mathematical model of the spherical spiral curve and the spherical helical curved surface on the sphere.Put forward a kind of slipper type spherical helical pair of spherical helical surface meshing with slider，research on the meshing surface friction and the self－locking feature，and design a kind of clamping mechanism using this spherical helicoid vice.The results show that the mechanism is compact，flexible safe and reliable，and can clamp a variety of objects of different sizes accurately and reliably.

differential geometry；spherical helical curved surface；clamping mechanism；curvature；torsion

TH 112.6

A

1000－5013（2016）04－0416－06

10.11830／ISSN.1000－5013.201604005

2015－01－23

顧立志（1956－），男，教授，博士，主要從事數字化設計制造的研究.E－mail：gulizhi888＠163.com.

福建省自然科學基金資助項目（2010J0101）；福建省科技重點項目（2014I0101）