采用類桁架優化方法研究大跨橋梁的構形

喬升訪，胡杰云，周克民（華僑大學土木與工程學院，福建廈門361021）

采用類桁架優化方法研究大跨橋梁的構形

喬升訪，胡杰云，周克民
（華僑大學土木與工程學院，福建廈門361021）

采用類桁架拓撲優化方法研究大跨橋梁的選型.通過求解應力約束體積最小類桁架結構拓撲優化問題，得到不同跨高比下橋梁結構的拓撲構形，驗證了橋梁構形與跨高比有關.典型算例結果表明：文中方法在大跨橋梁選型中可以節約成本、提高結構性能和縮短設計周期.

類桁架；拱橋；懸索橋；斜拉橋；拓撲優化

隨著跨度的增加，簡支梁式橋中彎矩增長很快，彎矩過大制約了梁式橋的跨度.當跨度較大時，人們嘗試把大跨度劃分為若干個較小的跨度，但跨度仍然受到極大地限制.當前應對大跨度橋梁，多采用拱橋、斜拉橋等.橋梁構形的選擇主要依據工程人員的經驗和力學概念，尚未形成系統的方法.結構拓撲優化在結構概念設計階段引入，既能有效地節約材料，縮短設計周期，又能設計出高性能結構［1－6］.Michell桁架解析解表明：拓撲優化結構由無限多、無限密的各向異性類桁架連續體構成［7］.結構拓撲優化方法大多采用各向同性材料，以單元的有和無表示優化結果，普遍存在單元依賴性、優化邊界模糊粗糙等數值不穩定現象.本文根據類桁架的性質，采用類桁架材料模型拓撲優化方法研究大跨橋梁的構形［8－11］.

1 類桁架模型優化分析

1.1 類桁架材料模型

假設桿件在設計域內無間隙非均勻致密分布.致密分布的桿件在任一點沿兩個正交方向布置.沿兩個正交方向的桿件密度分別為t1，t2，方向角分別為α1，α2.其中：α2＝α1＋π／2.二桿類桁架模型，如圖1所示.沿坐標軸方向的彈性矩陣［9］為

圖1 二桿類桁架模型Fig.1 Two－member truss－like material model

采用有限元分析方法，結點j位置的兩個正交方向桿件密度分別為t1，j，t2，j，方向角分別為α1，j，α2，j.單元內部桿件的分布由桿件在節點位置的分布插值得到.因此，單元剛度矩陣為

式（2）中：B為幾何矩陣；He，j，r＝E∫VeNjBTArBdV為常數矩陣；E為彈性模量；e為單元號；Nj為形函數；Se是屬于單元e的節點集合；gr為桿件角度的函數［10］；Ar為常數矩陣［10］.單元采用四節點矩形單元.對式（2）進行累加，可得總剛度矩陣，即

1.2 有限元分析

有限元的平衡方程為

式（4）中：K為結構總剛度矩陣；U為結點位移；F為結點力列向量.單元應變ε為

式（5）中：Ue為單元e的結點位移.由彈性矩陣D可以進一步計算出應力σ為

式（6）中：σ＝［σxσyσx，y］.則主應力的方向α為

主應力為

式（9）中：i為迭代次數；t是為了防止剛度矩陣奇異而設置的密度下限；σp為應力容許值.

1.3 優化模型

優化模型為應力約束下體積最小問題，即

其中：b＝1，2對應結點兩個方向桿件；j＝1，2，…，n對應結點；n為結點總數；V為體積.

1.4 迭代求解過程

1）劃分單元網格，采用四結點矩形單元.初始結點位置桿件密度為，初始角度為.

在迭代過程中，節點位置桿件密度大小和方向由該點主應力大小和方向調整.其余位置的大小和方向由節點位置插值得到.最終結果取決于結構最優傳力路徑，與初始設計變量無關.優化過程中不刪除單元格，不以單元有或無表示優化結果，根本解決了數值不穩定的問題.優化結果以材料分布場表示，與單元大小、類型無關［8，11］.

1.5 工程結構的形成

工程結構的形成有以下2個步驟.

步驟1 類桁架材料分布場可離散成結構［8，11］.理論上是由無限多、無限密的各向異性類桁架連續體構成［7］，實際上選取部分桿件構成工程結構.選取不同數量的桿件會有不同的結構，桿件越多，越接近解析結果.桿件數量的選取主要取決于工程的需要.

步驟2 由于有限元數值計算的誤差，步驟1中桿件組成的圖形不能直接作為結構使用.借助結構力學的基本概念，刪除重疊或接近的線段，合并接近的結點，可以得到近似的桿系結構，即為建議的優化結構.實際上，拓撲優化結構中桿件一般是密布在設計域的［10］.

2 算例分析

2.1 單塔斜拉橋

圖2為單塔斜拉橋1.其跨度為200m；設計區域長200m；高度為100m；跨高比為1∶1.考慮橋梁的通航作用，橋面板以下預留足夠的通航空間.將橋面板設在最下面，跨中支座延伸至頂端部分為不可設計區域.橋面均布力（q）為30kN·m－1；材料的彈性模量E為210GPa；容許應力為160MPa；有限元網格劃分為40×20.

優化的類桁架材料分布場，如圖2（b）所示.圖2（b）中：結點位置線段長度表示桿件的密度；線段的角度表示桿件的角度.由Michell桁架的解析解特點可知：類桁架連續體密布整個設計區域，且是非均勻各向異性的.然而，在實際中很難得到這樣的結構.因此，需要進一步離散［8］，保留部分桿件.根據類桁架材料分布場，采用離散化方法可以得到保留的桿件分布.優化前，中間支座A彎矩最大，采用梁式橋不能充分發揮材料性能.

優化后形成的桿件分布，如圖2（c）所示.由圖2（c）可知：跨中的不可優化區域形成豎向桿件（類似于斜拉橋主塔），豎桿與橋梁承載面之間形成大量的拉桿（實際可以得到無限多拉桿）.結構依靠這些拉桿將橋面荷載傳遞給豎桿，豎桿承擔主要豎向力，最終把荷載傳遞給橋梁下部結構，且大量的拉桿作用減小橋面彎矩.拉桿適合采用抗拉強度高的材料.在桿件分布場中，由于拉桿與橋面板連接不是正交的，因此，多出兩個斜桿過渡傳力.

在實際工程中，可以不設此斜桿，進一步簡化結構，如圖2（d）所示.這與工程中常用的斜拉橋一致，如廣東西樵山大橋.在工程中，斜拉橋依靠拉索的拉力傳遞荷載，拉索傳遞給主塔，主塔承受巨大的壓力，最終將質量轉移到底部結構.

圖3為單塔斜拉橋2.其設計區域長400m；高度為100m；跨高比為2∶1.由圖3可知：跨高比較大時，橋面板和主塔之間需要更多斜桿傳力.在實際工程中，一般不設斜桿，跨高比通常小于2.

圖2 單塔斜拉橋1的優化構形Fig.2 Topology configuration of single tower cable－stayed bridge 1

圖3 單塔斜拉橋2的優化構形Fig.3 Topology configuration of single tower cable－stayed bridge 2

2.2 雙塔斜拉橋

圖4為雙塔斜拉橋1.其橋梁結構全長L0為600m；邊跨L1為100m；主跨度L2為400m；設計區域長600m；高度為100m.其余設計條件與單塔斜拉橋相同.優化后的類桁架材料分布場，如圖4（b）所示.兩端距支座100m處延伸至頂端部分為不可設計區域，跨高比為4∶1.根據類桁架材料分布場，采用離散化方法得到桿件分布場，如圖4（c）所示.

由圖4（c）可知：結構以跨中不可優化區域為豎向桿件，豎桿與橋梁承載面之間形成大量的拉桿.結構依靠這些拉桿將橋面荷載傳遞給豎桿，豎桿承擔主要豎向力，然后把荷載傳遞給橋梁底部結構.根據桿件分布場，結合結構力學概念，可以進一步簡化結構，如圖4（d）所示.這與工程中常用的雙塔斜拉橋一致，如蘇通大橋.

圖4 雙塔斜拉橋1的優化構形Fig.4 Topology configuration of double tower cable－stay bridge 1

圖5為雙塔斜拉橋2.其橋梁結構全長L0為700m；邊跨L1為100m；主跨度L2為500m；跨高比為5∶1.由圖5可知：優化結果變化不大.

圖5 雙塔斜拉橋2的優化構形Fig.5 Topology configuration of double tower cable－stay bridge 2

圖6為雙塔斜拉橋3.其橋梁結構全長L0為800m；邊跨L1為100m；主跨度L2為600m；跨高比為6∶1.優化后的類桁架材料分布場，如圖6（a）所示.根據類桁架材料分布場，采用離散化方法得到桿件分布場，如圖6（b）.由圖6（b）可知：結構以跨中不可優化區域為豎向桿件，豎桿與橋梁承載面之間形成大量的拉桿.由于拉桿與水平夾角不能太小，因此，跨中出現曲拱將中間的荷載由拱內部的拉桿通過拱向兩邊傳遞，這樣避免了角度過小的拉桿，傳力效果得到改善.進一步得到簡化結構，如圖6（c）所示.

圖6 雙塔斜拉橋3的優化構形Fig.6 Topology configuration of double tower cable－stay bridge 3

圖7為雙塔斜拉橋4.其橋梁結構全長L0為1 000m；邊跨L1為100m；主跨度L2為800m；跨高比為8∶1.由圖7可知：橋梁的主跨與索塔之比較大時，跨中需要更多曲拱將中間的荷載由拱內部的拉桿通過拱向兩邊傳遞.在實際工程中，一般不設跨中曲拱，跨高比大多小于4.

圖7 雙塔斜拉橋4的優化構形Fig.7 Topology configuration of double tower cable－stay bridge 4

3 結論

梁式橋的限制條件較多，很難實現大跨度.拱橋依靠支座水平推力降低結構中的彎矩，從而實現大跨度.但拱橋的矢跨比不能太小，較小的矢跨比不僅無法有效地提供水平推力，影響橋梁結構的美觀性，而且對周圍巖石和土承載力要求較高.在實際工程中，拱橋的矢跨比通常在0.2以上.斜拉橋很好地克服了拱橋的缺點.斜拉橋依靠拉索直接傳遞荷載，橋面彎矩較小，跨越能力很強.斜拉索與橋面夾角影響其力學性能，斜拉索與橋面夾角越大，傳力效果越好.實際工程中主塔不可能太高，因此，引入雙橋塔來解決跨度更大的問題.雙塔斜拉橋的拉索與橋面的夾角得到有效地提高，力學性能也更優越.但雙塔斜拉橋的主跨與索塔之比較大時，跨中需要更多曲拱傳力.在實際工程中，一般不設跨中曲拱，跨高比大多小于4.當跨度很大時，雙塔斜拉的水平角度也會受到限制，因此，需要采用懸索橋.目前，超過1 000m以上的橋梁主要采用懸索橋.

文中研究類桁架材料優化方法在大跨橋梁構形中的應用.通過幾種常見橋梁結構的算例分析，證實了方法的有效性.結構拓撲優化作為新型的結構設計方法，在限定的約束條件下能找到最優傳力路徑，指導橋梁設計人員選擇合理的結構形式，有效地節約材料并縮短設計周期.

［1］ BENDSOE M P，KIKUCHI N.Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method ［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1988，71（2）：197－224.

［2］ XIE Yimin，STEVEN G P.A simple evolutionary procedure for structural optimization［J］.Computers and Structures，1993，49（5）：885－896.

［3］ 程耿東，張東旭.受應力約束的平面體的拓撲優化［J］.大連理工大學學報（自然科學版），1995，35（1）：1－9.

［4］ SUI Yunkang，YANG Deqing.New method for structural topological optimization based on the concept of independent continuous variables and smooth model［J］.Acta Mechanics Sinica，1998，18（2）：179－185.

［5］ SETHIAN J A，WIEGMANN A.Structural boundary design via level set and immersed interface methods［J］.Journal of Computational Physics，2000，163（2）：489－528.

［6］ 榮見華，梁清泉，楊端生.基于結構拓撲隨機變異的水平集優化方法［J］.力學學報，2007，39（6）：796－803.

［7］ 周克民，李俊峰，李霞.結構拓撲優化研究方法綜述［J］.力學進展，2005，35（1）：69－76.

［8］ 周克民，胡云昌.利用有限元構造Michell桁架的一種方法［J］.力學學報，2002，34（6）：935－944.

［9］ 張莉，周克民.基于類桁架連續體的結構拓撲優化方法與應用［J］.應用力學學報，2007，24（3）：412－416.

［10］ ZHOU Kemin，LI Xia.Topology optimization of structures under multiple load cases using a fiber－reinforced composite material model［J］.Computational Mechanics，2005，38（2）：163－170.

［11］ 李霞，周克民.基于類桁架材料模型優化方法計算穩定性研究［J］.湖北大學學報（自然科學版），2013，35（3）：315－319.

（責任編輯：錢筠 英文審校：方德平）

Structural Topology Optimization of Configuration in Long－Span Bridge Based on Truss－Like Material Model

QIAO Shengfang，HU Jieyun，ZHOU Kemin
（College of Civil Engineering，Huaqiao University，Xiamen 361021，China）

The configuration of long－span bridge is studied by the topology optimization method based on truss－like material model.By solving topology optimization of truss－like structures with minimal volume under stress constraints，the bridge configurations are established under different span－depth ratio，it′s found that the configurations are related to the span－depth ratio.The calculation results indicates that the optimal configurations are conducive to save the cost，improve the performance of structure and shorten the design cycle in typical long－span bridge structure.

truss－like；arch bridge；suspension bridge；cable－stayed bridge；topology optimization

TU 323

A

1000－5013（2016）04－0431－05

10.11830／ISSN.1000－5013.201604008

2015－01－05

周克民（1962－），男，教授，博士，主要從事結構優化的研究.E－mail：zhoukm＠hqu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目（11172106）