變分法逆問題研究的若干進展

丁光濤

安徽師范大學物理與電子信息學院， 蕪湖 241000； E-mail: dgt695@sina.com

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變分法逆問題研究的若干進展

丁光濤

安徽師范大學物理與電子信息學院， 蕪湖 241000； E-mail: dgt695@sina.com

概述變分法逆問題的基本內容和國內在此領域的若干進展。重點闡述由力學系統第一積分構造Lagrange 函數的新方法， 指出利用此方法能夠得到等價的 Lagrange 函數和函數族。舉例說明該方法的理論意義和應用價值。最后指出， 應當重視變分法逆問題的研究。

變分法逆問題； Lagrange函數； 運動微分方程； 第一積分； Lagrange函數族

北京大學學報（自然科學版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

傳統的分析動力學中重要的積分變分原理是Hamilton 原理［1］: 雙面理想完整有勢系統， 在由廣義坐標描述系統位形的事件空間 E［qi， t］中， 從 A點出發到 B 點的所有約束可能軌道中， 真實的動力學軌道是使Hamilton作用量泛函

成為駐定值的軌道， 即對此軌道作用量泛函一階變分為零:

存在正問題就有對應的逆問題， 變分法逆問題是數學、力學以及物理學領域中古老而又常新的課題［2-6］。根據上述變分法正問題， 與之直接對應的逆問題應是給出系統作用量泛函的駐定軌道， 如何確定系統的Lagrange函數［6］。但是， 通常給出的不是系統的駐定軌道， 而是確定系統動力學軌道的運動微分方程。因此， 實際上變分法逆問題的提法如下。給定系統的運動微分方程

然而， 這樣提出的問題太嚴格， 故常常被推廣， 即研究給定方程能否間接由變分原理導出， 寫成等價的Lagrange方程:

式中矩陣乘子滿足下列條件:

變分法逆問題常常又稱為 Lagrange 力學逆問題。下面主要討論式（4）形式的二階常微分方程（組）以及由偶數個一階常微分方程組成的方程組是否能夠表示為 Lagrange 方程的問題。應當指出， 這種逆問題是一種多層次的問題: 1） 方程應該滿足什么樣的條件才能從變分原理導出； 2） 如果存在 Lagrange 函數， 如何構造對應的 Lagrange 函數； 3） 同一個方程可能存在多少 Lagrange 函數問題。一百多年來的研究使得問題 1 答案明確， 能夠直接或間接表示成 Lagrange 方程形式的方程應是自伴隨的或者能夠變換成為自伴隨的， 即應滿足 Helmholtz條件， 證實存在沒有 Lagrange 表示的二階常微分方程系統。對于問題 2， 得到若干普遍的和特殊的構造 Lagrange 函數方法， 但是， 幾種普遍的構造Lagrange 函數方法的前提是給定的方程應當直接是或者變換成自伴隨形式的， 而在一般情況下要將微分方程（組）變換成自伴隨方程（組）是相當困難的。因此， 很多關于逆問題的研究就轉向探討構造Lagrange 函數的特殊途徑， 出現若干適用范圍不同和難易程度不一的構造 Lagrange 函數方法。問題3的結論也很明確， 逆問題的解不是唯一的， 逆問題與等效的Lagrange函數問題密切相關。

然而， 在相當長的時期內， 變分法逆問題的研究并沒有得到較高的關注度和實際應用。近幾十年情況有所改變， 數學和物理學理論發展的需要， 分析力學在其他學科領域中的應用， 力學中的非線性非保守系統分析力學化， 推動了變分法逆問題的研究， 許多傳統概念被突破， 提出非標準形式的 Lagrange 函數， 引入分數階導數， 發展新的方法以構造出多種系統的不同形式的 Lagrange 函數和 Hamilton 函數。這些成果拓展了 Lagrange 系統的范圍，擴大了分析力學理論和方法的應用領域［7-25］。

20世紀80年代末， 國內力學和物理學界開始關注變分法逆問題［26-30］。梅鳳翔［26］系統地介紹了逆問題的基本理論和方法， 啟動了國內關于變分法逆問題的研究。20世紀90年代關于非完整系統力學的爭論深刻涉及變分原理， 利用分析力學理論和方法研究微分方程涉及微分方程的分析力學化， 這些都推動了對逆問題的研究。進入 21 世紀后， 若干研究者提出新的關于構造二階和一階常微分方程（組）的 Lagrange 函數的方法， 例如， 直接根據運動微分方程的結構特點來構造Lagrange函數， 利用變量變換構造Lagrange函數， 直接構造與加速度相關的 Lagrange 函數， 或者將二階微分方程（組）化為一階微分方程組構造 Lagrange 函數， 等等。實際上，關于 Birkhoff 系統動力學的研究中提出的構造Birkhoff 函數和函數組就是構造一階常微分方程系統Lagrange函數。與此同時， 逆問題的理論和方法在數學、力學、物理學和其他領域得到應用［31-54］， 相關的內容也進入部分教材和專著［55-60］。

本文無意對國內外關于逆問題的研究給予比較全面的評論， 文后收錄的參考文獻不系統不全面，只簡要涉及國內在該問題研究中的若干進展， 重點介紹從第一積分構造 Lagrange 函數的新方法及由這種方法得到的結果與等效的 Lagrange 函數的關聯， 特別是證明等效的Lagrange函數族的存在等。為了說明這些成果的理論意義和實用價值， 文中給出若干實例。最后， 對變分法逆問題的研究提出一些看法和建議。

1　從第一積分直接構造Lagrange函數的方法

系統的 Lagrange 函數與其第一積分關系密切，不僅關于對稱性和守恒量的理論涉及兩者的關聯，逆問題研究中的一些構造 Lagrange 函數方法也與第一積分相關。這里給出的是我們前幾年提出的一種新的從第一積分出發的構造 Lagrange 函數方法。首先， 證明Lagrange函數與第一積分存在一種與對稱性理論無關的新關系， 據此提出一種比較普遍的構造Lagrange函數新方法， 說明這種方法的實用性， 證明由此能夠導出等價的Lagrange函數和函數族。

1.1第一積分與Lagrange函數的新關系和構造Lagrange函數的新方法

考慮二階常微分方程系統

將系統（8）變換成如下運動學形式:

設該系統的一個第一積分為

在系統真實運動中I保持不變:

如果第一積分（10）滿足下列條件:

其中因子A（t， q）， Bi（t， q）和0（，）Btq由下列方程確定:

式（13）和方程（14）給出力學系統第一積分和 Lagrange函數之間的一種新的關系［41］， 證明如下。

首先， 證明如果式（13）中L是方程（9）的 Lagrange函數， 則因子 A， Bi和B0必須滿足方程（14）。將式（13）中L代入Lagrange方程， 沿著系統在位形空間中真實運動展開得到

由于I是第一積分， 滿足條件（11）， 計算式（11）對iq˙的偏導數得到

由以上兩式直接得到方程（14）。

然后， 證明如果式（13）中L函數的因子A， Bi和B0滿足方程（14）， 則由對應的Lagrange方程必可導出方程（9）。將式（13）中L代入Lagrange方程， 展開得到式（15）， 由于A， Bi和B0滿足方程（14）， 并考慮到式（16）， 則由式（15）得到

因為 I 滿足條件（12）， 所以由方程（17）可得方程（9）。換句話說， 這就證明式（13）中函數 L 是系統（8）（或（9））的Lagrange函數。

綜上所述， 可以提出一種變分法逆問題的新解法［41］， 即若要構造微分方程系統（8）的 Lagrange 函數， 可將方程變換成運動學形式（9）， 并得到滿足條件（12）的第一積分， 代入方程（14）， 解出函數因子 A， Bi和 B0， 代入式（13）， 即得到 Lagrange函數。這種變分法逆問題新解法的基礎是由式（13）和方程（14）給出的第一積分與 Lagrange 函數的新關系， 這種關系不涉及系統在變量變換下的對稱性。換句話說， 這種新解法與對稱性理論無關， 對第一積分除了應當滿足條件（12）外， 沒有其他特別的要求（例如不顯含時間）。此外， 這種方法對運動微分方程的結構也沒有預先特定的要求， 更不要求將方程變換成為自伴隨的， 因此是一種比較普遍的、實用的構造Lagrange函數的新方法。

1.2新方法與等效的Lagrange函數

如果對系統（9）某個第一積分 I 方程（14）有解，則解不是唯一的。當 A（t， q）已確定時， Bi（t， q）和B0（t， q）仍然有任意多組解。例如， 設Bi和B0是一組解時， 則下列變換得到的iB′和0B′也是方程（14）的解:

其中（，）Gtq是其宗量的任意連續可微函數。將iB′和0B′代入式（13）就得到一組規范等效的 Lagrange函數［1-2］:

這就是說， 新解法求得的應是規范等效的 Lagrange函數族。可以指出， 利用規范變換可以簡化方程（14）， 方程（14）有 n+2 個待求函數， 但是只有 n 個方程， 通過規范變換可以減少一個待求函數。以下如果沒有特別說明， 將不再考慮Lagrange函數的規范變換， 不考慮規范等效的Lagrange函數族。

同樣地， 新方法與Lagrange函數的另一類同位等效函數相關［2-3］。由于式（13）構成的 Lagrange 函數與第一積分 I 的選取相關， 取不同的第一積分導出的Lagrange函數是不同的， 它們之間不是規范等效的， 但由它們列出的Lagrange方程都與給定的微分方程（8）或（9）等價， 因此這些 Lagrange 方程之間是同位等效的。設與第一積分 I 和 I*對應的 Lagrange函數分別為L和L*:

重復式（17）的推導， 可得

顯然， 由式（20）和（21）可得

其中， 同位變換矩陣元為

即 L 和 L*是給定系統的同位等效的 Lagrange 函數。換句話說， 這里給出的從第一積分構造Lagrange函數的新方法可以直接導出同位等效的 Lagrange 函數。

1.3一類同位等效的Lagrange函數族

在上述同位等效Lagrange函數中， 可能存在函數族［42，48］。如果對系統（9）的一個積分 I， 方程（14）有如下特解:

這里 A（t）包括 A 為常數， 而對Bi和B0不再考慮規范變換解。將解（24）代入式（13）得到一個Lagrange函數:

下面證明， 存在一個與L同位等效的Lagrange函數族

F（I）為I的任意連續可微函數。對式（25）中L， 方程（14）寫成

I 是第一積分， F（I）也是第一積分， 對式（26）中L，方程（14）寫成

顯然， 式（27）與式（28）等價。

對系統（9）及其第一積分I， 同位等效函數族（26）的存在條件為

式（24）或（25）中因子A（t）由下式確定:

由條件（29）可得下列推論: 若

則式（25）和（26）中因子A為常數。

在文獻［27］中， 實際上已經導出阻尼運動的Lagrange 函數族， 國外的研究（如文獻［22］）中也得到某些系統的 Lagrange 函數族。這里給出的從第一積分直接構造Lagrange函數的新方法， 不僅能夠構造規范等效的和同位等效的Lagrange函數， 而且能夠在一定條件下直接導出一類同位等效Lagrange函數族［41-42，48］， 表明Lagrange函數族的存在并不是孤立的特殊情況， 而是一種相當普遍的情況。這是這種新解法帶來的一個新的重要結論。

2　從諧振子第一積分構造Lagrange函數和函數族

下面以典型的保守系統——諧振子為例， 說明前面給出的方法的應用。簡諧振動是最基本的運動形式之一， 在力學和工程科學領域以及經典物理和量子物理領域中都得到高度的重視， 也是變分法及其逆問題研究中非常熱門的實例之一。簡諧振動運動微分方程

的兩個基本第一積分［52］為

其他第一積分可由I1和I2構成， 如

I1， I2， I3和 I4分別與諧振子的初速度、初位置、振幅（總能量）和初位相相關。

I3滿足條件（12）， 將I3和Q=-x 代入方程（14），得到方程的一組特解:

代入式（13）， 就得到眾所周知的簡諧振動 Lagrange函數:

應當指出，4I雖然也滿足條件（12）， 但是代入方程（14）后無解。

I1不滿足條件（12）， 然而由 I1能夠構成新的第一積分:

F是其宗量的任意連續可微函數。設新積分滿足條件（12）， 即

將I和Q代入方程（14）得

上述方程的一組特解為

代入式（13）得到

類似地， 由I2構成新的第一積分:

可以得到另一個Lagrange函數族:

L1和L2可以直接導出， 例如對I2滿足判別條件（29），并且代入式（30）得到

研究變系數非線性非保守動力學系統［16，20］:

引入變數變換， 將方程（43）寫成兩個一階方程:

消除時間變量t， 導出一階微分方程:

利用積分因子法， 可得到上述一階微分方程的積分:

變換為原來變數， 即得到方程（43）的一個第一積分:

式中，

將式（45）第一積分代入式（14）， 得到

上述方程的一個解是

將積分，IAB和代入式（13）， 得到式（43）的Lagrange函數為

式（48）中函數（，）Lxx˙可以看做是標準形式的， 即為“動能”與“勢能”之差。容易導出對應的Hamilton函數為

導出 Lagrange 函數（48）和 Hamilton 函數（49）后， 發現像方程（43）這樣的變系數非線性非保守動力學系統卻是一個“守恒”的系統， 系統的“廣義能量”（Hamilton函數）在運動中保持不變。

4若干非保守非線性系統的Lagrange函數和函數族

例1廣義相對論中的Buchduhl方程［22，42］:

Buchduhl方程的兩個第一積分為

引入積分I1的滿足條件（12）的任意函數F（I1）， 代入方程（14）得到

解得 A=t， 由此得到 Buchduhl 方程的一個 Lagrange函數族:

實際上， I1滿足條件（29）， 即

由式（30）得At=， 直接得到Lagrange函數族（53）。

同樣，2I也滿足條件（29）， 故可以導出另一個Lagrange函數族為

上述結果比文獻［22］得到的結果更為普遍， 后者只是前者的特例。

例 2二維非線性變系數阻尼運動的 Lagrange函數族［3，41-42］。

以上討論的系統都是一維的， 下面以二維非線性變系數阻尼運動為例， 討論多維情況。設系統運動方程為

方程的一個第一積分為

將I和Q1， Q2代入判別條件（31）， 得

因此系統存在Lagrange函數族:

上式取常數因子1A=。文獻［3］中只給出系統（55）的一個Lagrange函數:

5　結論與討論

本文概要地回顧變分法逆問題的內容及國內外的研究簡況， 主要給出國內近年來提出的變分法逆問題的一種新解法以及與之相關的結果。這種解法基于力學系統第一積分與其Lagrange函數之間存在一種新關系， 通過對一系列典型的線性和非線性微分方程系統的應用， 說明這種方法的理論意義和應用價值。這是一種比較普遍的求解變分法逆問題的方法， 可以應用于系統， 構造得到多種不同形式的 Lagrange 函數。利用這種方法無需首先將運動方程變換成為自伴隨形式的， 也無需先行假設Lagrange 函數的特殊形式。利用這種方法可直接得到等價的 Lagrange 函數， 特別是同位等價的 Lagrange函數， 并且在一定條件下能夠導出等價的 Lagrange函數族。

變分法逆問題是一種基礎理論研究， 有較長的研究歷史， 得到的結果不僅對數學和力學領域， 而且對理論物理等傳統學科都有重要的意義。從近幾十年情況來看， 雖然國外在這個領域的研究者并不多， 但是這些研究者中， 有從事傳統的理論物理（如粒子物理和天體物理）研究的學者， 也有從事新型交叉學科的學者， 這是值得重視的現象。與之相比，國內從事這個領域研究的隊伍太小， 傳統物理學科與交叉學科的學者很少進入該領域。然而， 逆問題研究不僅在數學和力學領域， 而且在物理學領域都需要繼續深入。例如， 關于Lagrange函數族仍然有待深入研究； 變分法逆問題如何從有限自由度的離散系統推廣到無限自由度的連續系統， 即如何推廣到場論； 力學系統 Lagrange 函數和 Hamilton 函數的多值性對系統的量子化有怎樣的影響； 等等。

目前對各種系統的研究常常是跨學科的研究，涉及數學、力學、物理學、化學、地球科學、生命科學和醫學、工程科學、經濟學以及社會科學等，這種研究不僅有重大的理論意義， 而且有重要的應用價值。通過建立系統的數學模型（主要是微分方程模型）來理解和掌握系統的行為特性和演化發展，已經成為當今眾多學科領域中的熱點方法。值得指出的是， 在這種研究中， 分析力學的理論和方法有著重要的應用， 這種應用需要實現微分方程系統的分析力學化， 主要方式是構造對應的 Lagrange函數以及 Hamilton 函數， 顯而易見， 這與變分法逆問題密切相關。

綜上所述， 變分法逆問題的研究是基礎理論研究， 應當加強。基礎理論研究是知識創新的源頭，科學史表明， 逆問題的研究常常帶來突破， 因此不能忽視變分法逆問題的研究。這個領域的研究隊伍不需要龐大， 但必須有一定的數量， 分析力學學者應當是主力， 但必須有多學科協作， 科研管理部門對這樣的研究應當給予支持。

［1］ 陳濱. 分析動力學. 2版. 北京: 北京大學出版社，2012

［2］ Santilli R M. Foundations of theoretical mechanicsⅠ. New York: Springer-Verlag， 1978

［3］ Santilli R M. Foundations of theoretical mechanicsⅡ. New York: Springer-Verlag， 1983

［4］ Anderson I M， Thompson G. The inverse problem of the calculus of variations for ordinary differential equations. Mem Amer Math Soc， 1992， 98: No.473

［5］ Lopuszanski J. The inverse varitional problem in classical mechanics. Singapore: World Scientific， 1999

［6］ Saunders D J. Thirty years of the inverse problem inthe calculus of variations. Reports on Mathematical Physics， 2010， 66: 43-53

［7］ Currie D F， Saletan E J. Q-equivalent particle Hamiltonians 1. The classical one-dimensional case. J Math Phys， 1966， 7: 967-974

［8］ Sarlet W. Symmetries， first integrals and the inverse problem of Lagrangian mechanics. J Phys A: Math Gen， 1981， 14: 2227-2238

［9］ Hojman S， Urrutia L F. On the inverse problem of the calculus of variations. J Math Phys， 1981， 22: 1896-1903

［10］ Hojman S， Harleston H. Equivalent Lagrangians: multidimensional case. J Math Phys， 1981， 22: 1414-1419

［11］ Sarlet W. The Holmholtz conditions revisited: a new approach to the inverse problem of Lagrangian dynamics. J Phys A: Math Gen， 1982， 15: 1503-1517

［12］ Lop?z G. Hamiltonian and Lagrangian for ndimensional autonomous systems. Ann Phys， 1996，251: 363-371

［13］ Lop?z G. One-dimensional autonomous systems and dissipative systems. Ann Phys， 1996， 251: 372-383

［14］ Riewe F. Nonconservative Lagrangian and Hamiltonian mechanics. Phys Rev， 1996， E53: 1890-1899

［15］ Riewe F. Mechanics with fractional derivatives. Phys Rev， 1997， E55: 3581-3592

［16］ Chandrasekar V K， Pandey S N， Senthilvelan M， et al. A simple and unified approach to identify integrable nonlinear oscillators and systems. J Math Phys， 2006，47: 023508

［17］ Chandrasekar V K， Senthilvelan M， Lakshmanan M. On the Lagrangian and Hamiltonian description of the damped harmonic oscillator. J Math Phys， 2007， 48: 032701

［18］ Nucci M C， Leach P G L. Lagrangians galore. J Math Phys， 2007， 48: 123510

［19］ Musielak Z E. Standard and non-standard Lagrangians for disspative dynamical systems with variable coefficient. J Phys A: Math Theor, 2008， 41: 055205

［20］ Musielak Z E， Roy D， Swift L D. Method to derive Lagrangian and Hamiltonian for a nonlinear dynamical system with variable coefficients. Chaos， Solitons and Fractols， 2008， 38: 894-902

［21］ Pradeep R G， Chandrasekar V K， Senthilvelan M， et al. Non-standard conserved Hamiltonian structures in dissipative/damped systems: nonlinear generalizations of damped harmonic oscillator. J Math Phys， 2009，50: 052901

［22］ Cieslinski J L， Nikiciuk T. A direct approach to the construction of standard and non-standard Lagrangian for dissipative-like dynamical systems with variable coefficients. J Phys A: Math Theor， 2010， 43: 175205

［23］ Nucci M C， Tamizhmani K M. Lagrangians for dissipative nonlinear oscillators: the method of Jacobi last multiplier. J Nonlinear Math Phys， 2010， 17: 167-178

［24］ Saha A， Talukdar B. Inverse variational problem for non-standard Lagrangians. Reports on Mathematical Physics， 2014， 73: 299-309

［25］ Hojman S. Construction of Lagrangian and Hamiltonian structrures starting from one constant of motion. Acta Mech， 2015， 226: 735-744

［26］ 梅鳳翔. 分析力學專題. 北京: 北京工業學院出版社， 1988

［27］ 丁光濤. 處理阻尼運動的分析力學方法. 黃淮學刊，1991， 7（2）: 7-10

［28］ 張耀良， 劉錫錄. 關于 Lagrange 力學逆問題的探討. 哈爾濱船舶工程學院學報， 1993， 14: 102-110

［29］ 梁立孚， 石志飛. 關于變分學中逆問題的研究. 應用數學和力學， 1994， 15（9）: 775-788

［30］ 丁光濤. 一種構造Lagrange函數的直接方法. 安徽師范大學學報: 自然科學版， 1996， 19（4）: 382-386

［31］ 葛偉寬， 梅鳳翔. 作戰微分方程模型的Noether對稱性. 兵工學報， 2001， 22（2）: 241-243

［32］ 梅鳳翔， 解加芳， 冮鐵強. 求 Emden-Fouler 方程積分的分析力學方法. 物理學報， 2007， 56（9）: 5041-5044

［33］ Mei F X， Xie J F， Gang T Q. Analytical mechanics methods for solving Whitaker equations. Chinese Physics， 2007， 16（10）: 2845-2847

［34］ 丁光濤， 陶松濤. 一階 Lagrange 力學逆問題及其在非力學領域中的應用， 科學通報， 2008， 53（8）: 872-876

［35］ 丁光濤. 兩種構造 Birkhoff 表示的新方法. 物理學報， 2008， 57（12）: 7415-7418

［36］ 丁光濤. 阻尼諧振子的拉格朗日函數和哈密爾頓函數. 大學物理， 2009， 28（3）: 13-14

［37］ 丁光濤. 研究經濟調整微分方程的 Lagrange-Noether 方法. 安徽師范大學學報: 自然科學版，2009， 32（4）: 328-330

［38］ 丁光濤. 經典力學中加速度相關的 Lagrange 函數.物理學報， 2009， 58（6）: 3620-3624

［39］ 丁光濤. 計算加速度相關Lagrange函數的方法物理學報， 2009， 58（10）: 6725-6728

［40］ 丁光濤. 從運動方程構造 Lagrange 函數的直接方法. 動力學與控制學報， 2010， 8（4）: 305-310

［41］ 丁光濤. 從第一積分構造 Lagrange 函數的直接方法. 動力學與控制學報， 2011， 9（2）: 102-106

［42］ 丁光濤. 關于一類 Lagrange 函數族的存在條件. 動力學與控制學報， 2011， 9（3）: 219-221

［43］ 丁光濤. 一維變系數耗散系統 Lagrange 函數和Hamilton函數的新構造方法. 物理學報， 2011， 60（4）: 44503

［44］ 李寬國， 劉廣菊， 陶松濤， 等. 研究 SIR 傳染病數學模型 Lagrange-Noether 方法. 生物數學學報，2011， 26（3）: 435-440

［45］ 丁光濤. 磁場中帶電粒子阻尼運動的分析力學表示.物理學報， 2012， 61（2）: 020204

［46］ 丁光濤. 一類Painleve方程的Lagrange函數族. 物理學報， 2012， 61（11）: 110202

［47］ 丁光濤. 一階系統自伴隨條件和Lagrange函數的構造. 動力學與控制學報， 2012， 10（1）: 1-4

［48］ 丁光濤. Lagrange 函數族及其存在條件的再研究.動力學與控制學報， 2012， 10（2）: 127-129

［49］ 丁光濤. 利用變量變換構造耗散系統 Lagrange 函數. 動力學與控制學報， 2012， 10（3）: 199-201

［50］ 甘慧蘭， 丁光濤， 鄭賢鋒， 等. 線性三原子分子振動的 Lagrange 函數和 Hamilton 函數. 原子與分子物理學報， 2012， 29（1）: 7-11

［51］ 丁光濤， 甘慧蘭， 鄭賢鋒， 等. 阻尼耦合振動的Lagrange 函數和 Hamilton 函數. 原子與分子物理學報， 2012， 29（2）: 350-352

［52］ 丁光濤. 關于諧振子第一積分的研究. 物理學報，2013， 62（6）: 064502

［53］ 丁光濤. 三種耦合 RLC 電路的 Lagrange 函數和Hamilton 函數. 動力學與控制學報， 2014， 12（4）: 304-308

［54］ 丁光濤. 阻尼運動的動力學逆問題和變分法逆問題.動力學與控制學報， 2015， 13（1）: 68-71

［55］ 梅鳳翔， 吳惠彬. 微分方程的分析力學方法. 北京:科學出版社， 2012

［56］ 梅鳳翔， 史榮昌， 張永發， 等. Birkhoff系統動力學.北京: 北京理工大學出版社， 1996

［57］ 梅鳳翔. 約束力學系統的對稱性與守恒量. 北京:北京理工大學出版社， 2004

［58］ 梅鳳翔. 廣義 Birkhoff 系統動力學. 北京: 科學出版社， 2013

［59］ 梅鳳翔. 分析力學（下冊）. 北京: 北京理工大學出版社， 2013

［60］ 丁光濤. 理論力學. 合肥: 中國科學技術大學出版社， 2014

Some Progressions in Study of the Inverse Problem of the Calculus of Variations

DING Guangtao

College of Physics and Electronic Information， Anhui Normal University， Wuhu 241000； E-mail: dgt695@sina.com

Several aspects of the inverse problem of the calculus of variations and a short overview of the domestic development of this problem are presented. The main topic is a new method to construct Lagrangians from the first integral of mechanical system， and the equivalent Lagrangians and family of Lagrangians can be obtained by the new method. Some examples are given to illustrate the theoretical significance and the application value of this method. Finally， it is pointed out that great attention should be paid to the study of the inverse problem of the calculus of variations.

the inverse problem of the calculus of variations； Lagrangian； differential equations of motion； first integral； family of Lagrangians

O316

10.13209/j.0479-8023.2016.070

國家自然科學基金（11472063）資助

2015-10-04；

2016-02-03； 網絡出版日期: 2016-07-14