冷鐓機床身應變能與體積雙目標拓撲優(yōu)化*

何　彬

(湖北理工學院機電工程學院，湖北 黃石 435003)

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冷鐓機床身應變能與體積雙目標拓撲優(yōu)化*

何彬

(湖北理工學院機電工程學院，湖北 黃石 435003)

機床床身多目標拓撲優(yōu)化主要存在優(yōu)化目標沖突、收斂慢、計算量大等問題。以冷鐓機床身結構整體剛性與減重效果為優(yōu)化指標，提出一種改進的應變能與體積雙目標多約束優(yōu)化列式，并結合權重調(diào)整和單目標函數(shù)自約束兩種方法，運用Abaqus6.12，對某型號冷鐓機床身進行數(shù)值仿真和分析，結果表明，權重調(diào)整可以弱化優(yōu)化過程中體積對應變能的影響，應變能自約束能夠加快收斂過程，兩者對于改善冷鐓機床身應變能與體積雙目標拓撲優(yōu)化的求解過程，獲得理想的優(yōu)化結果是可行的。

冷鐓機；床身；雙目標；拓撲優(yōu)化；應變能；體積

(School of Mechanical and Electrical Engineering, Hubei Polytechnic University, Huangshi 435003, CHN)

冷墩機是應用冷墩工藝生產(chǎn)各類標準件、緊固件、異形件的工作母機。冷鐓機床身是整機中重量最大的一部分，約占整機重量的30%～45%，對冷鐓機床身進行輕量化設計是節(jié)材和降低成本的必然途徑[1]。從現(xiàn)有文獻看，對機床床身的輕量化設計多采用拓撲優(yōu)化方法[2-3]，如分別以應變能、體積或固有頻率為目標函數(shù)的單目標優(yōu)化[4-6]，但單目標拓撲優(yōu)化很難保證較優(yōu)的床身綜合性能；在多目標拓撲優(yōu)化中，文獻[7]以床身的質量作為主要優(yōu)化目標、一階固有頻率和最大變形作為次要優(yōu)化目標進行多目標優(yōu)化設計；文獻[8]以外圓磨床床身結構剛度和基頻為設計目標；文獻[1]運用折衷規(guī)劃法，以重量和整體剛度為指標，對冷鐓機床身展開多目標優(yōu)化。

機床床身多目標拓撲優(yōu)化至少有兩個方面的問題還值得探討：第一，如何解決目標函數(shù)之間的沖突。一個目標函數(shù)減小導致其他目標函數(shù)增加稱之為目標函數(shù)之間的沖突，此情形下很難得到最優(yōu)值[9]；第二，如何合理規(guī)劃優(yōu)化模型，加快收斂，減少計算量。尤其是非線性優(yōu)化模型，盡管拓展了尋優(yōu)空間，但收斂慢，計算量大。

針對上述問題，本文以冷鐓機床身結構應變能與體積為目標，采用一種改進的多約束優(yōu)化列式，并通過權重調(diào)整和單目標函數(shù)自約束兩種方法，驗證冷鐓機床身應變能與體積雙目標拓撲優(yōu)化過程的可行性。

1　雙目標拓撲優(yōu)化列式

對于多目標拓撲優(yōu)化，更多是采用線性加權法將多目標問題轉化為單目標問題來求解，這樣可以簡化優(yōu)化計算過程，實現(xiàn)起來比較容易，但同時也縮小了優(yōu)化空間，尤其對非凸優(yōu)化問題而言，不能確保得到所有的Pareto最優(yōu)解[9]。因此，有些研究通過折衷規(guī)劃法來建立冷鐓機床身多目標優(yōu)化模型，如文獻[1]。但對于冷鐓機床身這種復雜的三維實體結構，采用非線性優(yōu)化模型不僅計算量大，而且優(yōu)化列式中的最小應變能和最小體積皆通過預估來確定，在一定程度上降低了優(yōu)化求解精度。同時，冷鐓機床身結構體積與應變能不是相互獨立的目標函數(shù)，應變能函數(shù)為單元應變能之和，通過拓撲優(yōu)化過程中單元的刪減來減少體積，對應變能大小難免會造成影響。由于總應變能反映了冷鐓機床身的整體剛性，因此可以在優(yōu)化模型中增加最大位移約束，最大位移是衡量冷鐓機床身整體剛性的重要指標，設置最大位移約束不僅是冷鐓機加工精度的保證，還可以弱化體積改變對應變能造成的影響；同時，為了保證冷鐓機床身的強度，需要考慮最大應力約束，這也可以在一定程度上縮小尋優(yōu)范圍，增加收斂性，減少計算量。

按照上述思路，冷鐓機床身應變能與體積雙目標拓撲優(yōu)化列式可以表達為：

(1)

其中：X=[x1,x2,…,xn]為雙目標拓撲優(yōu)化設計變量；xi為單元偽密度，在0～1之間取值；n為單元個數(shù)；F(X)為目標函數(shù)；C(X)為冷鐓機床身結構總應變能；C0為床身初始總應變能；W為對應權重；V(X)為床身結構總體積；V0為床身初始結構總體積；σmax(xi)為單元的最大應力值；σ為許用應力值；γmax(xi)為單元最大位移；γ為許用最大位移值；δ為消除奇異的單元密度最小極限值，一般取0.000 1[4]；s.t.3為待定約束。初始總應變能和初始體積總是比優(yōu)化過程中的對應值大，而且初始總應變能和初始體積在拓撲優(yōu)化啟動階段由有限元軟件自動計算出，容易確定，因此可以通過結構總應變能與初始總應變能的比值以及結構總體積與初始結構總體積的比值實現(xiàn)歸一化。

由于拓撲優(yōu)化過程中，結構總應變能和結構總體積相對初始值的改變程度不一樣，因此權重是影響求解過程的重要因素，同時，為了得到更為理想的優(yōu)化結果，仍然可以考慮增加待定約束?；谏鲜鰞?yōu)化模型，以下運用實例，分別通過權重調(diào)整和單目標函數(shù)自約束兩種方法，來對冷鐓機床身應變能與體積雙目標拓撲優(yōu)化過程展開研究。

2　權重調(diào)整法

本文中的權重調(diào)整法是通過改變優(yōu)化列式中的權重，并逐一進行仿真和逼近，來獲得較為理想的雙目標優(yōu)化結果的一種數(shù)值模擬方法。以某型號冷鐓機床身為例，初始床身結構參照文獻[4]和[10]，初始結構總體積為1.426 4 m3，工作中左邊前壓板和右邊前后軸承孔為主要受力部位，最大公稱力為410 kN，床身材料為HT250，根據(jù)HT250材料的抗拉強度和安全系數(shù)以及該型號冷鐓機加工精度要求，可以設置最大許用應力125 MPa和最大許用位移0.07 mm。

首先將權重設置為0.5，在Abaqus6.12建立模型、定義約束和參數(shù)并提交任務，在設計循環(huán)尚未啟動時讀取床身初始總應變能為100.087 N·m，再根據(jù)權重、初始總應變能和初始體積值設置目標函數(shù)，最后運用ATOM模塊展開優(yōu)化進程，經(jīng)過15次設計循環(huán)，目標函數(shù)F(X)的值已趨于收斂，如圖1所示。而此時應變能為28.575 7 N·m，體積為0.714 27 m3，最大應力為48.62 MPa，最大位移為0.115 mm。其中，最大位移大于0.07 mm，在目標函數(shù)已經(jīng)收斂時，仍然不滿足約束要求，說明在給定的約束下權重為0.5時的雙目標優(yōu)化過程無解，為此需要重新調(diào)整權重系數(shù)。

將權重系數(shù)依次設置為0.6、0.7和0.8，調(diào)整相應的參數(shù)設置，并重復上述步驟，分別進行仿真，得到的優(yōu)化結果如表1所示。

權重從0.5到0.8改變時，可以看出，目標函數(shù)、應變能和最大位移遞減，體積和最大應力遞增，當權重為0.5、0.6和0.7時，最大位移都不滿足設定的約束要求，直到權重調(diào)整為0.8，所有約束要求才在優(yōu)化結果中得到滿足，其中體積減幅為30.06%，對照文獻[4]中以應變能為函數(shù)、體分比、最大應力、最大位移為約束的單目標優(yōu)化結果，在體積減幅達到31%～33%時，應變能的值在23.9～24.2 N·m之間，說明權重為0.8時床身的整體剛性超出了預期值，但減重效果還不理想，為此可以在權重0.7～0.8之間重新尋求合理的權重，通過有限元逐步仿真逼近可以得到相對較優(yōu)的權重，即當權重為0.76時，目標函數(shù)、應變能、體積、最大應力和最大位移分別為0.341 673、23.952 3 N·m、0.949 4 m3、48.83 MPa、0.678 5 mm，相比而言，優(yōu)化值更為合理，待優(yōu)化的兩個指標床身整體剛性和重量可以達到一個較為理想的效果。

表1調(diào)整權重的優(yōu)化結果

權重目標函數(shù)應變能/(N·m)體積/m3最大應力/MPa最大位移/mm0.60.376427.56050.752548.631.0680.70.359525.54070.859348.770.07680.80.327323.42620.997648.840.0675

3　單目標函數(shù)自約束法

基于優(yōu)化列式(1)，采用權重向應變能函數(shù)傾斜的調(diào)整方法可以減小體積改變對應變能的影響，從而弱化兩個目標函數(shù)之間的沖突，但是權重調(diào)整是一個試湊的過程，耗時較長。單目標函數(shù)自約束法就是對某一個單目標函數(shù)進行約束，增加到優(yōu)化列式(1)的待定約束中。優(yōu)化列式(1)中的應變能函數(shù)C(X)和體積函數(shù)V(X)是雙目標函數(shù)F(X)的自變量，對應變能和體積函數(shù)進行約束，縮小了自變量的取值區(qū)間，可以加快優(yōu)化過程的收斂，但約束過多也會出現(xiàn)優(yōu)化無解的情況。因此，分別以體積和應變能為約束，增加到優(yōu)化列式中，取權重為0.5，驗證可行性。體積的約束值可以根據(jù)床身的減重目標設定，如文獻[4]中小于70%，應變能的約束值可以按照應變能單目標優(yōu)化結果的中間值進行設定，本例中設為24.14 N·m。在Abaqus6.12中重新增加體積或應變能的約束設置，分別對兩種單目標函數(shù)自約束情況進行優(yōu)化仿真。體積自約束優(yōu)化結果為：目標函數(shù)值0.391 7，應變能28.615 6 N·m，體積0.709 34 m3，最大應力48.62 MPa，最大位移0.124 9 mm。同樣是在目標函數(shù)趨于收斂時無法找到滿足最大位移約束的最優(yōu)解。應變能自約束優(yōu)化結果為：目標函數(shù)值0.443 0(不考慮凍結區(qū)域為0.318 1)，應變能24.06 N·m，體積0.920 8 m3，最大應力48.8 MPa，最大位移0.069 1 mm。優(yōu)化進程、優(yōu)化后結構以及應力、位移云圖分別如圖2～5所示。

從上圖可知，在經(jīng)過20次設計循環(huán)后，目標函數(shù)在滿足所有約束的前提下收斂，且床身整體剛性和減重效果較為理想。從優(yōu)化列式中目標函數(shù)的敏度分析可推斷，體積對密度設計變量的導數(shù)總是為0的，而應變能對密度設計變量的導數(shù)不為0，因此應變能的改變是影響目標函數(shù)靈敏度的關鍵因素，對整個優(yōu)化求解過程和結果起著決定性作用。在本例中，權重為0.5無待定約束時，優(yōu)化過程是無解的，增加了體積約束仍然無解，但是將體積約束換成應變能約束，則可獲得較為理想的優(yōu)化結果，充分說明了應變能對求解過程的主導作用。

4　結語

冷鐓機床身應變能與體積雙目標拓撲優(yōu)化列式是一種改進型的線性優(yōu)化模型，權重調(diào)整和單目標函數(shù)自約束是保證優(yōu)化過程的實現(xiàn)獲取理想優(yōu)化結果的兩種方法，權重調(diào)整可以弱化優(yōu)化過程中體積對應變能的影響，應變能自約束能夠顯著加快收斂過程，提高求解質量。兩種方法可根據(jù)冷鐓機床身的結構和實際工況進行選取，有一定的工程應用和參考價值。

[1]徐高春. 面向環(huán)保的高速全自動冷墩機優(yōu)化研究與系統(tǒng)實現(xiàn)[D]. 上海：上海大學，2011.

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Topology optimization with double objective of strain energy and volume for cold heading machine bed

HE Bin

The main problems in multi-objective topology optimization of machine tool bed are the confliction of objective functions, slow convergence and large calculation. Aiming at the optimal indexes of overall rigidness and weight-reducing of cold heading machine bed, multi-constraint optimized model with double objective of strain energy and volume is put forward. Combined with numerical simulation and analysis based on Abaqus6.12, weight adjustment and self constraint of single objective function are used respectively. The results show that weight adjustment can weaken the effect of volume on strain energy and self constraint of strain energy can accelerate the process of convergence. It is feasible for the two methods to improve the solving process and obtain the optimal results of topology optimization for cold heading machine bed.

cold heading machine; bed;double objective;topology optimization; strain energy;volume

TH122

A

何彬，男，1970年生，工學博士，副教授、碩導，主要研究方向為優(yōu)化設計、機床技術。

(編輯譚弘穎)(2015-10-27)

160319

*湖北省自然科學基金(2012FFC016)