基于有限時間控制方法的三維空間導彈制導律設計

李友年, 江　云, 李世華, 張振興

(1. 中國空空導彈研究院， 河南 洛陽　471009； 2. 東南大學 自動化學院， 南京　210096)

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基于有限時間控制方法的三維空間導彈制導律設計

李友年1, 江云1, 李世華2, 張振興2

(1. 中國空空導彈研究院， 河南 洛陽471009； 2. 東南大學 自動化學院， 南京210096)

針對三維空間導彈攔截機動目標問題,提出了一種基于有限時間反饋控制方法的新型制導律。該制導律將目標加速度視作制導系統(tǒng)的外部有界擾動,并引入切換函數(shù)來抑制系統(tǒng)擾動,經(jīng)過嚴格的理論分析證明視線角速率能夠在有限時間收斂到零。數(shù)值仿真結果驗證了所提方法的有效性。

導彈;目標機動;三維空間制導律;有限時間控制

0　引　　言

制導律的設計目標是為自動駕駛儀提供加速度指令， 使得導彈獲得最小的脫靶量， 從而有效地實現(xiàn)導彈對目標的攔截， 因此， 制導律設計是實現(xiàn)精確制導的基礎[1]。 在傳統(tǒng)的三維制導律設計中， 通常采用雙平面解耦的設計思想[2]， 即在視線角和視線角速率比較小的情況下， 導彈-目標的相對運動方程能在理想的碰撞點附近進行線性化，將三維空間導彈-目標相對運動模型簡化成兩個二維平面導彈-目標相對運動模型， 然后分別設計制導律。 這種方法由于設計相對簡單、 可實現(xiàn)性強而被廣泛采納。 但是當目標作快速機動飛行時， 視線角和視線角速率比較小的假設不再成立， 兩個平面之間存在耦合關系， 這給基于雙平面解耦的制導律設計帶來了困難。 因此， 研究三維空間導彈制導律對提高導彈攔截大機動目標的制導精度是非常有必要的。

文獻[3]針對耦合的三維空間制導模型， 研究了比例制導律； 文獻[4]基于李雅普諾夫穩(wěn)定性方法， 推廣了文獻[3]中的比例制導律； 針對導彈攔截機動飛行目標問題， 文獻[5]擴展了文獻[4]中比例制導律的設計方法； 文獻[6]針對導彈攔截機動目標問題， 研究了最優(yōu)制導律設計方法， 其基于李群方法， 通過SO(3)群描述了導彈-目標相對運動關系， 計算得到了非解耦條件下的三維制導律； 文獻[7]基于微分幾何方法， 設計了不依賴于剩余飛行時間的三維魯棒制導律； 文獻[8]基于L2/H∞控制方法， 設計了三維魯棒制導律； 文獻[9]基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡方法， 設計了一種根據(jù)視線角速率變化情況， 動態(tài)調(diào)節(jié)非線性制導律增益的魯棒控制律； 文獻[10]基于θ-D次最優(yōu)控制方法， 設計了閉環(huán)形式的三維末制導律； 文獻[11]通過擴展圓軌跡導引算法， 設計了帶碰撞角約束的三維制導律。 以上這些制導律是基于漸近收斂理論設計的， 隨著導彈技術的不斷發(fā)展， 導彈的飛行速度不斷提升， 精度要求也在不斷提高， 高速導彈在攔截目標的制導過程中， 末制導時間很短甚至只有幾秒， 研究具有快速收斂特性的制導律是非常有必要的。 在實戰(zhàn)中， 目標機動性能也隨著先進技術的應用而不斷提高， 因此研究具有抗目標機動性能的制導律也是非常有必要的。

本文針對三維空間導彈攔擊機動目標問題， 基于有限時間反饋控制方法提出了一種新型制導律設計方法。

1　三維空間導彈-目標相對運動方程

三維空間中導彈-目標的相對運動如圖1所示。 圖中，M-XYZ為原點與導彈質(zhì)心重合的慣性坐標系；φ為導彈-目標的視線傾角， 其定義為視線與水平面MXY之間的夾角；θ為導彈-目標的視線偏角， 其定義為視線在水平面的投影與慣性系的MX軸之間的夾角；r為導彈-目標之間的距離。 (r,φ,θ)為原點在目標質(zhì)心M的球坐標系， 其坐標軸矢量的單位矢量為(er,eθ,eφ)， 其中， er與視線方向重合， 由導彈指向目標為正；eθ位于包含er的縱向平面內(nèi)， 指向上方為正；eφ方向按右手定則確定。

圖1三維空間中導彈-目標的相對位置

導彈-目標的相對運動關系的極坐標方程為

(1)

(2)

(3)

其中： (atr, atθ, atφ)為目標加速度在球面坐標系(er,eθ,eφ)上的分量； (amr, amθ, amφ)為導彈加速度在球面坐標系(er, eθ, eφ)上的分量。

(4)

(5)

假設1： 假設目標加速度atθ(t)和atφ(t)有界且滿足|atθ(t)|≤dθ， |atφ(t)|≤dφ， 其中dθ和dφ為目標加速度atθ(t)和atφ(t)的上界。

2　有限時間穩(wěn)定性定義及判定定理

在設計有限時間制導律之前， 先給出非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定的定義和引理。 考慮如下非線性系統(tǒng)：

(6)

其中： f(x):U→Rn為在包含原點的開區(qū)域U上對x的連續(xù)函數(shù)。

定義1：考慮式(6)， 系統(tǒng)的平衡點x=0為有限時間穩(wěn)定的當且僅當滿足如下兩個條件[9]：

(1) 系統(tǒng)在零點的一個開區(qū)域U0?U內(nèi)是Lyapunov穩(wěn)定的；

(2) 系統(tǒng)在U0內(nèi)是有限時間收斂的， 即對任意的初始值x0∈U0/{0}， 存在過渡時間T(x0)≥0， 使得定義在t∈[0,T(x0))上式(6)的解x(t,x0)∈U0/{0}滿足

(7)

若U=U0=Rn， 則原點是全局有限時間穩(wěn)定的平衡點。

(8)

3　三維有限時間制導律設計

定理1： 考慮三維空間制導系統(tǒng)式(4)～(5)。 如果假設1和假設2成立， 則三維空間有限時間制導律如下：

k1rcosφ|x1|α1sign(x1)+ε1sign(x1)

(9)

k2r|x2|α2sign(x2)+ε2sign(x2)

(10)

證明： 將式(9)代入式(4)， 將式(10)代入式(5)得到閉環(huán)系統(tǒng)方程：

(11)

(12)

取Lyapunov函數(shù)

(13)

對式(13)求一階導數(shù)并帶入式(11)和(12)得

(14)

(15)

(16)

于是， 式(14)可以化簡為

(17)

4　數(shù)值仿真

仿真條件： 導彈初始位置xM0=0m， yM0=0m， zM0=0m； 導彈初始速度VM0=800m/s； 導彈初始飛行方位角度φM=15°， θM=5°； 目標初始位置xT0=5 000m， yT0=4 000m， zT0=200m； 目標飛行速度VT0=600m/s； 目標初始飛行方位角度φT=10°， θT=5°； 重力加速度g=9.8m/s2； 導彈最大加速度輸出為40g。

選取如下傳統(tǒng)比例制導律作為比較對象：

(18)

(19)

其中： N1和N2為比例制導律系數(shù)， 在仿真中選取N1=5， N2=5。

本文提出的制導律式(9)和式(10)選取為

(20)

(21)

在仿真中， 假定目標機動方式為

aTθ=5g-10gsin(t)

(22)

aTφ=-5g+10gcos(t)

(23)

圖2 視線傾角速率φ·輸出曲線圖3 視線偏角速率θ·輸出曲線圖4 視線傾角加速度指令aMφ輸出曲線

圖5 視線偏角加速度指令aMθ輸出曲線圖6 相對距離r輸出曲線

仿真得到的脫靶量和攔截時間如表1所示。

表1　脫靶量與攔截時間

可以看出， 在兩種制導律作用下導彈脫靶量均小于0.1m， 這說明導彈能夠以直接撞擊的方式命中目標。 從攔截時間上可以看出， 導彈在有限時間制導律的作用下， 能夠以較短的時間命中目標， 而在比例制導律作用下， 需要更長的時間才能命中目標。

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Three-Dimensional Guidance Laws for Missile Based on Finite-Time Control Method

Li Younian1, Jiang Yun1, Li Shihua2, Zhang Zhenxing2

(1. China Airborne Missile Academy, Luoyang 471009, China; 2.Automation College, Southeast University, Nanjing 210096, China)

A new guidance law based on finite time feedback control method is proposed for the maneuvering target of three-dimensional missile interception. In this guidance law, the target acceleration is regarded as the external bounded disturbance of guidance system, and the switching function is introduced to restrain the disturbance of the system. By the theory analysis, it is proved that the line-of-sight angular rate can converge to zero in finite time.Numerical simulation results verify the effectiveness of this guidance law.

missile; target maneuver; three-dimensional guidance law; finite-time control

10.19297/j.cnki.41-1228/tj.2016.03.006

2015-07-30

航空科學基金項目(20130169002)

李友年(1964-)， 男， 山東日照人， 研究員， 研究方向為導彈控制系統(tǒng)設計。

TJ765.3

A

1673-5048(2016)03-0026-04