七年級下冊課內習題延展
——因式分解中的數學思想

刁品泉

七年級下冊課內習題延展
——因式分解中的數學思想

刁品泉

因式分解是中學數學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具.因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用.學習它，既可以復習整式的四則運算，又為學習分式打好基礎；學好它，既可以培養(yǎng)學生的觀察、思維和運算能力，又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力.

把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫作把這個多項式因式分解（也可以叫分解因式），它的定義確實簡單，但也足夠抽象，主要還是強調形式上的變化.課本上介紹的方法也很常規(guī)，主要是兩種方法：提公因式法和運用公式法.但是想要順利解決它卻是件不太容易的事情.我認為，了解因式分解中的數學思想尤為重要.我將通過課內習題中的幾個典型例題略作介紹：

一、整體思想

所謂用整體思想來分解因式，就是將要分解的多項式中的某些項看成一個整體而加以分解.

例1把多項式（x2-1）2+6（1-x2）+9分解因式.

【分析】把（x2-1）看成一個整體利用完全平方公式進行分解，最后再利用平方差公式達到分解徹底的目的.

解：（x2-1）2+6（1-x2）+9

=（x2-1）2-6（x2-1）+9

=［（x2-1）-3］2

=（x2-4）2

=［（x+2）（x-2）］2

=（x+2）2（x-2）2.

例2把多項式（a+b）2-4（a+b-1）分解因式.

【分析】原式兩項既無公因式可提，又無公式可套用，但此結構特點可視a+b為一個整體，局部展開后或許能運用完全平方公式.

解：（a+b）2-4（a+b-1）

=（a+b）2-4（a+b）+4

=（a+b-2）2.

二、類比思想

類比思想在因式分解中的運用很廣泛，具體表現在：一是因式分解與整式乘法的對比；二是因式分解與乘法的分配律的對比；三是因式分解與乘法公式的對比.

例3把多項式6x3y2+12x2y3-6x2y2分解因式.

【分析】對比整式的乘法和乘法的分配律可知，6、12、6的最大公因數是6，字母x、y的最低指數均為2，所以多項式6x3y2+12x2y3-6x2y2的公因式是6x2y2.

解：6x3y2+12x2y3-6x2y2

=6x2y2（x+2y-1）.

例4分解因式：

（1）x3y-xy3；（2）abx2-2abxy+aby2.

【分析】（1）對比平方差公式可先提取xy.（2）對比完全平方公式可先提取ab.

解：（1）x3y-xy3

=xy（x2-y2）

=xy（x+y）（x-y）；

（2）abx2-2abxy+aby2

=ab（x2-2xy+y2）

馬鈴薯晚疫病的癥狀在不同地區(qū)及氣候條件下各不相同，但在大多數情況下，最初的癥狀是暗綠色圓形浸水的小斑點，經常出現在較底層的植株葉片上以及圍繞在葉尖和葉緣上，然后再向整個葉面擴散。在潮濕的環(huán)境中，葉片的背面可能會有白色絨毛出現在病斑的邊緣。受侵染的塊莖表面會呈現出不正常的、凹陷的、大小不一的、紫褐色的區(qū)域。

=ab（x-y）2.

三、轉化思想

某些多項式從表面是無法利用因式分解的一般步驟進行的，必須通過適當的轉化，如經過添項、拆項等變形，才能利用因式分解的有關方法進行.

例5把多項式6x（x-y）2+3（y-x）3分解因式.

【分析】考慮到（y-x）3=-（x-y）3，則多項式轉化為6x（x-y）2-3（x-y）3，因此公因式是3（x-y）2.

解：6x（x-y）2+3（y-x）3

=6x（x-y）2-3（x-y）3

=3（x-y）2［2x-（x-y）］

=3（x-y）2（x+y）.

【分析】從表面上看此題不能直接分解因式，但仔細觀察發(fā)現若x2y2轉化成2x2y2-x2y2，即可先運用完全平方公式，再利用平方差公式.

解：x4+x2y2+y4

=x4+2x2y2+y4-x2y2

=（x2+y2）2-x2y2

=（x2+y2+xy）（x2+y2-xy）

=（x2+xy+y2）（x2-xy+y2）.

四、換元思想

所謂的換元就是將多項式的某些項用另一個新的字母去代換，通過換元可以將復雜的多項式轉變成簡單的，將陌生的轉換成熟悉的，使之得以順利地分解因式.

例7把多項式（x+y）（x+y+2xy）+（xy+1）·（xy-1）分解因式.

【分析】這個多項式形式上比較復雜，但考慮x+y與xy重復出現，利用這一特點，可以把這兩個因式通過換元后再分解因式.

解：設x+y=a，xy=b，則

（x+y）（x+y+2xy）+（xy+1）（xy-1）

=a（a+2b）+（b+1）（b-1）

=（a2+2ab+b2）-1

=（a+b）2-1

=（a+b+1）（a+b-1）

=（x+y+xy+1）（x+y+xy-1）

=（x+1）（y+1）（x+y+xy-1）.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）