解析幾何中的定點與定值問題

王建勛（山東省臨沂第一中學）

解析幾何中的定點與定值問題

王建勛
（山東省臨沂第一中學）

曲線與方程是高中解析幾何的重點知識，而其中的定點、定值問題則是高考的熱點問題.綜觀全國各地的高考，此類問題多見于數學試題的壓軸題，學生多感到吃力.為此，本文將結合高考實例給出此類題目的一般解題思路，供大家參考.

一、定點問題

定點問題常見解題思路：（1）假設定點坐標，根據題意選擇參數，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數無關，故得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點.（2）從特殊位置入手，找出定點，再證明該點適合題意.（3）由直線方程確定定點，若得到了直線方程的點斜式：y－y0=k（x－x0），則直線必過定點（x0，y0）；若得到了直線方程的斜截式：y＝kx＋m，則直線必過定點（0，m）.

所以拋物線E的方程為x2=4y

即（y12+y1-2）+（1-y1）y0=0（*）

解得y1=1，故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M（0，1）.

故若滿足條件得點M存在，只能是M（0，1）.

以下證明點M（0，1）就是所要求的點.

故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M.

二、定值問題

解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段的長度、圖形的面積、角的度數、直線的斜率等）的大小或某些代數表達式的值等和題目中的參數無關，不依參數的變化而變化，而始終是一個確定的值.基本思想是使用參數表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數無關.常用的解決問題的方法有：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.在這類試題中選擇消元的方向是非常關鍵的.

例2.（2014年江西高考）如圖，已知拋物線C：x2=4y，過點M（0，2）任作一直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D（O為坐標原點）.

（1）證明：動點D在定直線上；

證明：（1）依題意可設A（x1，y1），B（x2，y2），并設直線AB的方程為y＝kx+2，代入x2=4y，得x2=4（kx+2），即x2-4kx-8=0，則有x1x2=-8，

因此動點D在定直線y=-2（x≠0）上.

（2）依題設，切線l的斜率存在且不等于0，設切線l的方程為y＝ax＋b（a≠0），代入x2=4y得x2=4（ax＋b），即x2-4ax-4b=0，由Δ=0得（4a）2+16b=0，化簡整理得b=-a2.

故切線l的方程可寫為y＝ax-a2.

三、思考與練習

1.（2007年山東文）已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線l∶y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

（1）求橢圓C的方程；

（2）連接AE，BD，試探索當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由．

·編輯魯翠紅