如何快速解答抽象函數對稱性與周期性的問題

黃忠源

（福建省泉州實驗中學）

如何快速解答抽象函數對稱性與周期性的問題

黃忠源

（福建省泉州實驗中學）

高考對抽象函數的考查中經常結合對稱性與周期性一同考查，下面我們看看函數的對稱性與周期性究竟有什么樣的關系？

若函數f（x）的圖象關于直線x=a對稱，也關于直線x=b對稱，則f（x）是以T=2|a-b|為周期的周期函數.

證明：因為f（x）的圖象關于直線x=a對稱，所以有f（a+x）= f（a-x）即f（2a+x）=f（-x），同理f（2a+x）=f（-x）。所以有f（2b+x）= f（2a+x），即有f（x）=f（x+2a-2b）.

所以，函數f（x）是以T=2|a-b|為周期的周期函數.

定理1：一般的我們有，若函數f（x）滿足對于任意的實數x都有f（a+x）=f（a-x）和f（b+x）=f（b-x）都成立（其中a≠b），即函數f（x）的圖象關于兩條直線x=a和x=b都對稱，則f（x）是周期函數，且周期是T=2|b-a|.

同樣的思路我們也可以得出：

定理2：若函數f（x）的圖象關于直線x=a對稱，關于點（m，0）（其中a≠m）中心對稱，那么函數f（x）是周期函數，且周期是T= 4|a-m|.

證明：因為f（x）關于直線x=a對稱，所以有f（a+x）=f（a-x），即有：f（x）=f（2a-x）

又f（x）關于點（m，0）對稱，所以有式子f（m+x）=-f（m-x）成立，即有：f（x）=-f（2m-x）

由上述兩個式子得到：f（2a-x）=-f（2m-x），即有：f（x）= -f（x+2a-2m）

令x為x+2a-2m，所以又得到f（x+2a-2m）=-f（x+4a-4m）

所以有：f（x）=-f（x+4a-4m）

所以f（x）是周期函數，且周期是T=4|a-m|.

推論：若f（x）函數的圖象關于直線x=a（a≠0）和原點O對稱，則函數f（x）是周期函數，且周期為T=4|a|.

定理3：若函數f（x）的圖象關于點（n，0），關于點（m，0）（其中n≠m）中心對稱，那么函數f（x）是周期函數，且周期是T=2|n-m|.

證明：由f（x）的圖象關于點（n，0）對稱，得到f（n-x）=-f（n+x），

即：f（x）=-f（2n-x）

同理可得：f（x）=-f（2m-x）

所以有f（2n-x）=-f（2m-x），即：f（x）=f（x+2n-2m）

所以f（x）是周期函數，且周期是T=2|n-m|.

經過上面的分析我們知道，一個函數只要關于兩條直線，或者兩個點，或者一條直線一個點對稱，那么這個函數一定是周期函數，熟悉地理解上述3個定理有助于我們快速解答高考題.

下面舉兩道高考題來看看上述定理的應用.

例題1.（2009全國卷Ⅰ理）函數f（x）的定義域為R，若f（x+ 1）與f（x-1）都是奇函數，則（）

A.f（x）是偶函數B.f（x）是奇函數

C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函數

解：∵f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，∴f（x）函數關于點（1，0）及點（-1，0）對稱，根據定理3，函數f（x）是周期T=2［1-（-1）］=4函數，所以有f（x-1）=f（x+3）即f（x+3）是奇函數，故選D.

例題2.（2009山東卷理）已知定義在R上的奇函數f（x），滿足f（x-4）=-f（x），且在區間［0，2］上是增函數，若方程f（x）=m（m＞0）在區間［-8，8］上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+ x4=____.

解：因為f（x）是定義在R上的奇函數，滿足f（x-4）=-f（x），所以f（x-4）=-f（x），所以，函數圖象關于直線x=2對稱，根據定理2函數f（x）是以8為周期的周期函數，且f（0）=0，又因為f（x）在區間［0，2］上是增函數，所以f（x）在區間［-2，0］上也是增函數.如圖所示，那么方程f（x）=m（m＞0）在區間［-8，8］上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設x1＜x2＜x3＜x4由對稱性知x1+x2=-12，x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

答案：-8.

·編輯魯翠紅