“悟”，數學學習的靈魂
——學習共同體下《同角三角函數的基本關系》課例分析

范曉絢（廣州市嶺南畫派紀念中學）

“悟”，數學學習的靈魂
——學習共同體下《同角三角函數的基本關系》課例分析

范曉絢
（廣州市嶺南畫派紀念中學）

在學習共同體的學習理論下，通過對《同角三角函數的基本關系》的課例分析，以期闡明提高數學課堂績效的關鍵就是讓學生充分地“悟”。

學習共同體；悟；課例分析

一、場景呈現

高一數學（人教版必修4）的一節公開課《同角三角函數的基本關系》：

教室內鴉雀無聲，大家都埋頭苦干，老師巡視課堂……

兩分鐘過去了，學生沒有思路。

老師：請大家想想tanθ與sinθ、cosθ之間有哪個關系式？

學生明白了，在老師的指導下把解題過程記錄下來。

二、追因診斷

一周之后測驗這道題，答對率竟然不及50%。為何答對率會如此低呢？傳統課堂非常重視“講”這一環節，認為只要清楚地把知識點傳授出去了，學生就一定能學會。學習共同體的學習理論認為，知識傳遞只解決了知識的發送端問題，而對學習效果起決定性作用的還有學生的接收端以及學生自身知識系統的融合和轉化，通俗一點就是學生的“悟”。怎樣才能導出學生的“悟”？學生“悟”得夠不夠深刻，直接決定著數學學習質量的高低。

于是，在學習共同體的數學課堂中，教師的職能不是“講”，而是“導”，并且是能引起學生有意義“悟”的“導”。這個“導”既要疏導學生原有的思維障礙，又要為開辟新的思維領域鋪路搭橋。現代認知心理學研究表明，思維發展是連續的、相互重疊的，學生在學習進程中經常要回到低水平思維中去，依靠具體經驗獲得對新知識的相應水平的理解。因此，教師的“導”就是要利用學生已有的知識水平，為學生提供適當的實物、圖、表等，讓學生有充足的時間對具體事物進行操作，使他們獲得學習新知識所需要的具體經驗。

三、改進策略

基于學習共同體的學習理論，解決上述場景困境的方法就是要放手讓學生去獨立實踐和思考，給學生提供分析和概括具體例證的機會和時間，讓學生在學習團隊的互動討論中“悟”出對這個知識點（或解法）的理解。

首先，讓學生在學習團隊中充分討論式子的結構，對學過的相關公式進行回憶。這樣的“導”就使得每個學習團隊都能動起來。當發現學生都沒有思路時，教師的提示語要導向學生對解題方法的自然生成。

于是，第一種解題方法（利用平方關系式和商數關系式）就產生了。

班里一定還有一些學生對三角函數的定義掌握得較好，于是，第二種解法（利用定義法）也出來了。

如果教師漠視這些不同思想方法的碰撞，不設法讓這些思想方法展現和引導，那么不但會失去一次極好的思想方法教育的機會，還會使教學變得呆板、機械，降低課堂教學質量。

這時，還可以引導：能不能利用tanθ=2找到sinθ與cosθ的倍數關系呢？有些學生的思想可能就會被激活了。第三種解法由tanθ=2，得到sinθ=2cosθ并將其代入原式即可。

能提出這個解法的學生應該得到同學們的掌聲，這種鼓勵將是學習上無窮的動力。

此刻，教師只要再稍稍加一把火，就能點燃整個課堂。

這就是學生解題方法的自然生成，中間不夾雜教師的任何強迫成分。學生通過自己的親身實踐，在解題過程中可以觀察到各三角函數之間是可以相互表示的，而且在求解過程中也會產生如何進行相互表示的具體體驗。另外，通過對各種解題方法的比較，他們也會認識到，如果有了角θ的各三角函數之間關系的一般表達式，那么像“求值”之類的問題就會變得非常容易，這些都會使“基本關系式”的運用更加靈活自如。學習共同體的課堂中，教師重在發現學生思維的閃光點并加以鼓勵，重在關鍵處加以引“導”，并使這樣的“導”能促成學生有質量的“悟”。

注：本論文是廣東省教育科學“十二五”規劃教育科研項目《學習共同體下高中教師課堂管理行為的實踐研究》（2012YQJK055）成果之一。

·編輯張珍珍