活學(xué)巧用導(dǎo)數(shù)的幾何意義

汪灶華（江西省婺源縣紫陽(yáng)中學(xué)）

活學(xué)巧用導(dǎo)數(shù)的幾何意義

汪灶華
（江西省婺源縣紫陽(yáng)中學(xué)）

作為一名剛帶完2015屆高考的一線老師，我總想為來(lái)年高考備戰(zhàn)的老師和同學(xué)們留下一點(diǎn)自己的感觸.把今年試題與往年試題（導(dǎo)數(shù)的幾何意義客觀部分）進(jìn)行仔細(xì)對(duì)比，然后又翻看了一下這幾年的考試大綱，最終發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：在全國(guó)上下把素質(zhì)教育放在第一位的今天，命題老師把實(shí)際生活中一些常見(jiàn)圖形放到試卷中來(lái)，縱觀前幾年江西高考數(shù)學(xué)題（尤其是理科），表面上是考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義掌握情況，而實(shí)際上還綜合考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的探究能力和知識(shí)應(yīng)用能力.現(xiàn)在對(duì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義的考查題目分為兩個(gè)層次：第一層次，給出原函數(shù)f（x）及其導(dǎo)函數(shù)f′（x）中的一個(gè)函數(shù)圖象，讓你推測(cè)沒(méi)有給出的那個(gè)函數(shù)圖象，或者求曲線的切線方程，應(yīng)該說(shuō)這一層次題目考查力度停留在表面，難度較小；第二層次，提供給你一定的生活背景圖（看上去常見(jiàn)，也挺規(guī)則的），要求你觀察并且推出某些量（面積、體積等）的變化多少及快慢問(wèn)題，這一類問(wèn)題沒(méi)有給我們?nèi)魏螆D象，而且大部分圖象不規(guī)則，一般都會(huì)放在選擇題的倒數(shù)三題里，難度自然就有所提高，倘若能把這兩層次題都弄懂，我相信考試應(yīng)該會(huì)很少在導(dǎo)數(shù)的幾何意義上碰壁了.

第一層次：活學(xué)導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究函數(shù)圖象的切線方程

導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的變化率，從圖形上來(lái)看，表現(xiàn)為切線的斜率，如：導(dǎo)數(shù)f′（x0）表示曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線的斜率.如果導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則切線的斜率為負(fù)，切線呈現(xiàn)為下降趨勢(shì)，曲線在該點(diǎn)附近也是下降趨勢(shì)，函數(shù)單調(diào)減.如果導(dǎo)數(shù)為正，函數(shù)單調(diào)增.而求切線方程可以分兩步：第一步求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率，得到曲線在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線的斜率；第二步根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程即y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）.

【例1】原題（選修2-2第二十九頁(yè)練習(xí)第一題）改編如圖是導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象，那么函數(shù)f（x）在下面哪個(gè)區(qū)間是減函數(shù)（）

A.（x1，x3）B.（x2，x4）C.（x4，x6）D.（x5，x6）

【解析】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間就是其導(dǎo)函數(shù)小于零的區(qū)間，故選B.

第二層次：巧用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，是對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義運(yùn)用的進(jìn)一步加深，這一層次題出現(xiàn)在高考中不是要求考生花大量筆墨去算，而是要理解函數(shù)值的增加或減小快慢情況對(duì)切線斜率的影響，倘若計(jì)算運(yùn)算量將會(huì)很大.這一層面題目一般選項(xiàng)都會(huì)出現(xiàn)圖象，你可以計(jì)算出精確值，也可以通過(guò)考慮圖象的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行篩選估計(jì)等即可得出答案，具體見(jiàn)例題：

【例2】（2013年江西高考理科）如圖，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線，l1，l2之間l∥l1，l與半圓相交于F，G兩點(diǎn)，與三角形ABC兩邊相交于E，D兩點(diǎn)，設(shè)弧FG的長(zhǎng)為x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l從l1平行移動(dòng)到l2，則函數(shù)y=f（x）的圖象大致是（）

【解析】本題考查函數(shù)的圖象，扇形弧長(zhǎng)，三角函數(shù)，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.當(dāng)x逐漸增大時(shí)，y也逐漸增大，故y隨x的增大而增大.故先排除B項(xiàng).

【解法2】直接觀察發(fā)現(xiàn)x量逐漸減少，而y增量沒(méi)有改變，其實(shí)也就相當(dāng)于告訴我們當(dāng)x增量一直保持不變時(shí)，y增量會(huì)逐漸增大，因此圖象看上去會(huì)越來(lái)越陡，故選擇D.

·編輯魯翠紅