一類分數階非線性系統的輸入輸出到狀態穩定性分析

高　揚， 趙　微

( 大慶師范學院 教師教育學院，黑龍江 大慶　163712 )

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一類分數階非線性系統的輸入輸出到狀態穩定性分析

高揚， 趙微

( 大慶師范學院 教師教育學院，黑龍江 大慶163712 )

基于Mittag-Leffler型穩定和整數階非線性系統的輸入到狀態穩定理論，在Caputo分數階導數意義下，對于導數階數在0到1開區間的分數階非線性系統，給出全新的輸入輸出到狀態穩定定義，進而建立非線性系統實現輸入輸出到狀態穩定的Lyapunov定理。舉例證明該理論的正確性和實用性。

Caputo型導數； 分數階導數； 輸入輸出到狀態穩定； Mittag-Leffler型穩定

0　引言

分數階微積分概念起源于1695年Leibniz給Hopital的信件中所提到的1/2階導數問題。1832年，Liouville給出分數階第一個合理定義。1847年，Riemann對分數階定義做了補充。Grunwald和Krug統一Liouville和Riamann分數階微積分定義，形成Riemann-Liouville型分數階微積分定義。人們提出多種定義，如Grunwald型分數階微積分和Caputo分數階微積分。

對分數階微分方程穩定性的研究也是分數階微分方程的重要部分。分數階微分方程的穩定性可分為分數階線性方程的穩定性和非線性方程的穩定性2個方面。分數階在0到1和1到2之間的分數階線性微分方程的穩定性理論已完善[1-4]。在分數階非線性方程穩定性方面還有待完善。Li Y等[5-6]利用Lyapunov函數給出非線性分數階方程的穩定性判據，其中包括非線性Caputo導數意義下微分方程穩定性的判據和Riemann-Liouville導數下微分方程穩定性的判據。2014年，Aguila-Camacho N等[7]利用一個不等式，探討一種Lyapunov函數構造問題，但只針對Caputo導數。

通過Laplace變換，利用終值定理，求出方程穩定條件的做法很成熟。通過構造分數階Lyapunov函數，得出方程穩定性條件的方法還處于初級階段。

實際生活中,系統經常被干擾和測量中的誤差影響,要求系統不但具有穩定性質,還要具有輸入到狀態(ISS)穩定性質[8]。近年來,對于ISS及派生的定義(積分型輸入到狀態穩定、輸入輸出到狀態穩定和積分型輸入輸出到狀態穩定等)的研究受到普遍關注,是非線性系統研究中的熱點問題[9-12]。

Krichman M等[9]提出輸入輸出到狀態穩定(IOSS)的概念,研究非線性系統實現輸入輸出到狀態穩定的Lyapunov特征。林相澤等[10]給出一類非線性切換系統(特殊的混雜系統) 一致輸入輸出對狀態穩定的充分條件。慕小武等[11]應用Lyapunov函數分析方法給出一類脈沖系統輸入輸出到狀態穩定的充分條件，討論系統的積分輸入到狀態穩定條件。樓旭陽等[12]探討一類混雜系統的一致輸入輸出對狀態穩定的充分條件,分析混雜系統的一致輸入輸出對狀態穩定性、光滑Lyapunov函數存在性和狀態模估計器存在性三者之間的關系，得到受擾動系統一致輸入輸出對狀態穩定性的結果,并證明混雜系統的一致輸入輸出對狀態穩定定理。

對整數階非線性系統的輸入輸出到狀態穩定性研究是一個研究熱點，而把輸入輸出到狀態穩定從整數階非線性系統推廣到分數階非線性系統具有實用價值。在分數階系統中關于輸入輸出到狀態穩定的研究成果未見報道。在Caputo分數階導數意義下，筆者對導數階數在0到1開區間的非線性系統，給出適合的輸入輸出到狀態穩定定義，進而給出非線性系統實現輸入輸出到狀態穩定的Lyapunov定理，舉例證明該理論的正確性和實用性。

1　預備知識

Mittag-Leffler型函數的定義為

要求α>0。

帶有雙參數的Mittag-Leffler型函數定義為

要求α>0,β>0。

考慮分數階非線性系統，即

(1)

式中：D為Caputo分數階算子，α∈(0,1)；f:R×Rm→Rn為局部Lipschtiz的；x(t)∈Rn為系統式(1)在t∈R+時刻的狀態，并假設f(0,0)=0。

定義1[5]分數階系統式(1)的解是Mittag-Leffler穩定的，若

則函數m(x)是局部Lipschtiz的。其中t0為初始時刻，α∈(0,1)，λ>0,b>0,m(0)=0,m(x)≥0。

引理2[7]設x(t)∈R是一個連續可導函數，對任意時間t≥t0，有

對任意α∈(0,1)成立。

2　主要結論

考慮帶有輸入和輸出的分數階系統，即

(2)

式中：x(0)=x0為初始條件；x(t)∈Rn,u(t)∈Rm分別為式(2)在t∈R+時刻的狀態和控制輸入。設輸出映射h:Rn→Rp是連續的，且h(0)=0。對任意ξ∈Rn和輸入u，令y(t,ξ,u)為式(2)的輸出函數，即y(t,ξ,u)=h(t,ξ,u)。假定f(0,0)=0。

注1任意u∈Rm，由f的局部Lipschtiz性質知，式(2)關于初始條件x(0)=x0有解。

因輸入輸出到狀態穩定性在整數階非線性系統中廣泛應用，故推廣它到式(2)的分數階系統中。

定義2(Mittag-Leffler型輸入輸出到狀態穩定)若存在Mittag-Leffler型函數Eα(-λtα)(λ>0)和K函數γ1,γ2，使得任意初值x(0)=x0，任意有界輸入u(u∈L∞)，則有

(1)式(2)的解在[0,Tx0,u)存在；

(2)|x(t,x0,u)|≤max{{m(x(0))Eα(-λtα)}b,γ1(‖y(s,x0,u)|[0,t]‖),γ2(‖u(s)|[0,t]‖)},?t∈[0，Tx0,u)。

其中b>0,m(0)=0,m(x)≥0,且m(x)為局部Lipschitz的。

注2事實上，u可以是小的有界擾動，式(2)轉化為分數階系統的抗干擾問題。

利用Sontag E D的輸入到狀態穩定相關理論建立式(2)的Mittag-Leffler型輸入輸出到狀態穩定(MLIOS)Lyapunov定理。

引理3若存在β>0,存在Mittag-Leffler型函數Eα[-βtα]具有性質：對連續函數w:[0,T]→R≥0及數v*≥0,若任意t∈[0,T]，有

(3)

則

證明：設S={ξ|ξ≥0,w(ξ)≤v*},則S為正不變集合。

事實上，若存在t0≥0,使得t0?S,則?ε>0，?t1>t0,使得

取t1為使得w(t1)≥v*+ε最小的t1。

由連續函數的保號性，有鄰域U(t1)?R≥0存在，使得

由式(3)知w(t)關于t單調減少(t∈U(t1))。因此，存在t2∈U-(t1)，且t2>0，使得w(t2)≥w(t1)。

這與t1的定義矛盾，故存在T，使得?t∈[0,T]，有

(2)T∈S。

首先證明(1)。

設

由Laplace變換，有

其中w(s)為w(t)的Laplace變換，M(s)為M(t)的Laplace變換。

再用逆Laplace變換，有

綜合(1)和(2)，有

證畢。

定理1對式(2)，若存在Lyapunov函數V和α1>0,α2>0,β>0滿足：

(1)α1‖x‖≤V(x(t))≤α2‖x‖;

(2)存在K函數σ1,σ2，使得任意x∈Rn,任意u∈Rm，有

則式(2)為Mittag-Leffler型輸入輸出到狀態穩定的。

證明：當

時，有

進而由引理3，有

再利用條件(1)，有

故式(2)為Mittag-Leffler型輸入輸出到狀態穩定(MLIOSS)的。

3　實例

例1設有分數階系統，即

(4)

由定理1知，式(4)是Mittag-Leffler型輸入輸出到狀態穩定的。

4　結束語

在Caputo分數階導數意義下，對于導數階數在0到1開區間的非線性分數階系統，給出基于Mittag-Leffler穩定相應的輸入輸出到狀態穩定定義，進而給出非線性分數階系統實現輸入輸出到狀態穩定的Lyapunov定理。舉例證明該理論的正確性和實用性。

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2015-12-07；編輯：關開澄

大慶市科技計劃項目(szdfy-2015-63)；大慶師范學院博士啟動基金項目(12ZR09)

高揚(1979-)，男，博士研究生，副教授，主要從事非線性系統方面的研究。

10.3969/j.issn.2095-4107.2016.03.015

O175.6

A

2095-4107(2016)03-0118-05