基于Lagrange方程的3-PPR并聯機構動力學分析與仿真*

張　軍，謝志江

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基于Lagrange方程的3-PPR并聯機構動力學分析與仿真*

張軍1，謝志江2

(1.長江師范學院 機械與電氣工程學院，重慶408100； 2.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶400044)

以3-PPR并聯機構為研究對象，通過運用歐拉旋轉矩陣和矢量法推導了該機構的運動學逆解，求解了機構的雅克比矩陣，為機構建立動力學模型提供理論依據。運用拉格朗日方程法和虛功原理建立了該機構的動力學模型。通過運用MATLAB編寫該模型的仿真程序，進行逆動力學仿真，將仿真結果與該模型在ADAMS中進行的仿真結果進行了對比分析,二者相對誤差較小，結果表明所建立的逆動力學模型是正確的，為該機構后續的運動控制奠定基礎。

并聯機構;動力學模型;拉格朗日;仿真分析

0　引言

動力學分析主要就是研究空間物體所受作用力與物體的運動之間的關系，對整個機器人的運動學研究以及后續對機構進行優化設計研究起著承上啟下的作用[1]。對機構進行動力學分析的一個非常重要的前提條件就是必須建立與該機構實際相對等的動力學模型。由于我們所常見的并聯機構的結構比較復雜，往往其動力學模型是一個復雜的多變量、多參數耦合和多自由度系統。目前廣大科研工作者主要還是采用牛頓-歐拉(Newton-Euler)法[2-3]、虛功原理法[4-5]和凱恩(Kane)方程法[6-7]等方法并聯機構的動力學模型。這些不同的建模方法所推導出來的動力學方程式不同，理論依據不同，難易程度也不同，雖然最終所得到的動力學計算結果相同，但往往結果誤差相對較大，精度相對較低，不利于機構的運動控制。本文基于3-PPR并聯機構的結構特點以及拉格朗日方程式的使用范圍，采用拉格朗日方程法，以整個機構的力學系統為研究對象，通過廣義坐標系來描述機構的運動，建立3-PPR并聯機構的動力學模型和以及對逆動力學模型正確性和精確性進行驗證，為機構運動控制提供理論依據。

1　機構位置分析

1.1機構結構分析

3-PPR并聯機構主要由定平臺、動平臺和三組相同的運動支鏈組成。而運動支鏈又由直流伺服電機、精密行星齒輪減速機、滾珠絲杠螺母副、十字交叉導軌副、連桿和滾珠軸環等組成。三組相同的運動支鏈的十字交叉導軌副在定平臺上成等邊三角形均勻分布。每個十字交叉導軌各自的下導軌通過螺釘與定平臺連接，滑塊通過連桿與滾珠絲杠螺母連接。上導軌與動平臺之間通過滾珠軸環連接形成一個轉動副。該并聯機構的驅動由三組精密伺服電機帶動對應的滾珠絲杠轉動，而滾珠絲杠上的螺母通過連桿帶動滑塊移動。3-PPR并聯機構的三維模型如圖1所示。

1.動平臺 2.定平臺 3.直流伺服電機 4.精密行星齒輪減速機 5.滾珠絲杠 6.絲杠螺母 7.滾珠軸環 8.十字交叉導軌副 9.連桿

圖13-PPR并聯機構三維模型

1.2機構雅克比矩陣

為了對3-PPR并聯機器人的運動平臺位姿進行詳細的描述，需要建立相關的動坐標系和定坐標系。分別將動坐標系O1-X1Y1Z1和固定坐標系O-XYZ固定在動平臺和定平臺的中心上，如圖2所示。在所有運動副處于零位時, 動坐標系方向與固定坐標系方向重合。圖中Ui和Bi分別表示各下滑塊和各上滑塊的中心位置, Di表示各自轉動副的旋轉中心。3個轉動副的轉動軸線相互平行且垂直于動平臺，且轉動中心Di在同一個平面上；三個下滑塊共面，且U1和U2的滑動路徑相互平行，采用XZ平面對稱布置,而滑塊U3的滑動路徑垂直于U1和U2的滑動路徑，且滑塊U3中心位于滑塊U1和U2連線的中心線上；三個上滑塊Bi共面，與各自下滑塊的滑動路徑垂直，且到各自對應的下滑塊的垂直距離相等。

圖2　3-PPR并聯機構結構圖

動平臺D1D2D3為等邊三角形，中心點到各頂點的距離為2l，下平臺U1U2U3為等邊三角形，中心點到各頂點的距離為2r。假設動平臺的參考點即坐標原點相對定平臺在X方向的位移m，在Y方向的位移n，繞Z軸的旋轉角度為θ。那么滑塊Ui在定坐標系OXYZ中的坐標分別為：

轉動副旋轉中心Di(i=1,2,3)在動坐標系O1-X1Y1Z1中的坐標分別為：

設滑塊U1和U2的X向位移為S1，S2；滑塊U3的Y向位移為S3，由該3-PPR機構的特殊性可知，α=θ,β=0,γ=0。則很容易就可以得到轉動副的旋轉中心Di在定坐標系中的位置坐標Dio及向量UiDio。

轉動副的旋轉中心Di在定坐標系中的位置坐標Dio為：

滑塊Ui到轉動副的旋轉中心Di的向量坐標UiDio為：

位置反解方程轉變成關于動平臺位姿的函數如下所示：

S3=f3(m,n,θ)=2lsinθ+n

對并聯機構的位置逆解的兩端同時分別求偏微分可得：

令

式中[J]3×3即為所要求解的速度雅克比矩陣。

2　拉格朗日動力學模型建立

本文中的3-PPR并聯機構是一種雙平臺多支鏈并聯結構，主要由基座、滑塊組、連桿組和動平臺組成。如圖1所示。拉格朗日動力學模型的精度與系統機構模型的簡化有直接的關系。同時，對機構進行模型簡化也與動力學建模的復雜程度有直接的關系。在全面綜合考慮整個并聯機構各個部件的質量、質心分布和體積等因素的影響，本文所建立的動力學模型力求與并聯機構實際的模型保持一致。各部件的簡化方法說明如下：

① 基座即由底板組成，故可不做任何簡化；

② 滑塊組由上下滑塊組成，形成滑塊組；

③ 動平臺組由連桿、滾珠軸環和動平臺組成，形成一個動平臺組；

2.1機構動能分析

根據以上的簡化分組方法，我們可以得到并聯機構的動能為：

式中：mi—第i個滑塊的質量；

m—動平臺、滾珠軸環、連桿和三根上導軌的質量之和；

vx—動平臺沿固定坐標系X軸移動的速度；

vy—動平臺沿固定坐標系Y軸移動的速度；

ωz—動平臺繞固定坐標系Z軸轉動的角速度；

Jz—動平臺繞固定坐標系Z軸轉動的轉動慣量。

其中，滑塊組的速度與動平臺組的速度之間有如下關系：

式中：J為雅克比矩陣。

2.2機構勢能分析

同并聯機器人的動能一樣，根據模型簡化后可知，整個并聯機構的勢能為基座的勢能、滑塊組的勢能和動平臺的勢能之和。由于該3-PPR并聯機構所有的活動構件都只在自己所屬的平面內做平面運動，因此該機構的勢能：P=0。

2.3動力學模型建立

下面用拉格朗日方法求解動平臺組上的各個廣義分力以及廣義合力。

該并聯機構系統的拉格朗日函數為：

然后根據拉格朗日方程可以得到下列方程組：

式中：Ji1,Ji2,Ji3為雅克比矩陣J中的子量。

以上所求為作用在動平臺組上的廣義力分力，則作用在動平臺組上的廣義力為：

將三個滑塊的驅動力組合為矢量形式，即可表示為：

假設各滑塊的虛位移分別為:

動平臺組的虛位移為

虛位移是在機械系統在約束條件下的無限小位移，則底板上三個滑塊所做的虛功之和為：

W1=fT·δl=f1·δ1x+f2·δ2x+f3·δ3y

而動平臺組所做的虛功之和為：

W2=FT·δs=Fx·δx+Fy·δy+Tz·δθz

根據虛功原理[5]，在動平臺末端執行器平衡的情況下，整個并聯機構系統中任意位移所產生的虛功總和為零。即滑塊所做的虛功之和等于末端執行器動平臺的虛位移產生的虛功之和，即有：

W1=W2或fT·δl=FT·δs

又由前面運動學逆解可知：δs=J·δl

即可得到滑塊組的驅動力矩與動平臺所受到的力的關系：f=JT·F

上式表明，在不考慮滑塊與導軌處摩擦的情況，在外力的作用下，末端執行器(動平臺)保持平衡的條件是滑塊組的驅動力矩滿足上式。

3　動力學仿真分析

當動平臺在一定的載荷的作用下沿著某一規律運動時，該機構中所有運動副的受力情況也會相應的產生變化。在整個運動過程中，該并聯機構的所有運動副的受力情況以及各運動副所受力的變化情況是否滿足實際要求，這些數據對于工程設計人員在設計該并聯機器人和對該并聯機構的實際控制過程中具有重要的意義。因此，對該機構的動力學模型進行動力學仿真就顯得非常重要。

在該并聯機構的運動學所建模型的基礎上，將所做位置逆解時所測量得到的三個滑塊的位移曲線圖進行數據存儲，然后生成3條樣條曲線，去掉動平臺上的多自由度點驅動，最后將生成的3條樣條曲線作為三個對應滑塊的驅動運動，使動平臺能夠得到所期望的運動規律。

三個滑塊驅動的驅動軌跡分別為：

TraZ=AKISPL(time,0,SPLINE_1,0)

TraZ=AKISPL(time,0,SPLINE_2,0)

TraZ=AKISPL(time,0,SPLINE_3,0)

在動平臺上施加一個垂直于動平臺的外載荷，然后進行1秒100步的動力學仿真，就可以在ADAMS的后處理模塊中得到三個滑塊的驅動力的曲線圖。如圖3所示。然后在Matlab中對該3-PPR并聯機器人進行動力學仿真，所得結果如圖4所示。

圖3　基于ADAMS仿真的滑塊的驅動力

圖4　基于Matlab仿真的滑塊的驅動力

在兩個視圖中分別取滑塊驅動力的最大值和最小值來計算兩種方法仿真所得到的結果的相對誤差，從而進一步驗證該并聯機構動力學的正確性。

在ADAMS和Matlab中分別測得滑塊的最大驅動力為：

Fmax1=3.0313N

Fmax2=2.9384N

在ADAMS和Matlab中分別測得滑塊的最小驅動力為：

Fmin1=-3.0391N

Fmin2=-2.9685N

則分別運用ADAMS和Matlab對動力學進行仿真求得結果的相對誤差為：

由上式可知，通過兩種方法分析所得到的結果的相對誤差比較小，從而進一步驗證了該并聯機構的拉格朗日動力學模型的正確性。

4　結論

(1)建立了3-PPR并聯機構的坐標系，用矢量方程圖解法求解出了并聯機構的運動學逆解的解析解和雅克比矩陣。

(2)在保證簡化模型與實際模型一致的前提下，通過對機構模型進行一系列的簡化，求解出了機構運動能量的解析解，運用拉格朗日方程法和虛功原理推導了機構的運動學方程。

(3)用Matlab軟件求解機構動力學方程的理論解，繪出理論仿真圖線。運用ADAMS軟件對機構進行動力學仿真，對仿真結果與理論結果進行對比分析，求解出二者最大驅動力和最小驅動力的相對誤差，均較小，進一步驗證了該并聯機構的拉格朗日動力學模型的簡化方法的正確性。為機構設計和應用及實現快速控制提供理論依據。

[1] 黃真，孔令富，方躍法. 并聯機器人機構學理論及控制[M].北京:機械工業出版社，1997.

[2] 印松，陳竟新，唐矯燕. 基于牛頓-歐拉法的3-UPS/S并聯機構動力學分析 [J].制造業自動化，2013,35(1):86-88.

[3] 郝秀清，胡福生，陳建濤. 基于牛頓-歐拉法的3PTT并聯機構動力學分析及仿真[J].中國機械工程，2006,17(Z):33-36.

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[5] 宋小科，楊曉鈞.基于虛功原理的4PUS-1RPU并聯機構動力學分析 [J].組合機床與自動化加工技術，2012(6):25-30.

[6] 李兵，王知行，李建生.基于凱恩方程的新型并聯機床動力學研究[J].機械科學與技術，1999,18(1):41-43.

[7] 李新友，陳五一，韓先國.基于Kane方程的3UPS/S并聯機構動力學研究[J].機床與液壓，2011,39(13):1-5.

(編輯李秀敏)

Dynamics Analysis and Simulation to 3-PPR Parallel Mechnism Based on Lagrange

ZHANG Jun1,XIE Zhi-jiang2

(1.College of Mechanical Engineering, Yangtze Normal University, Chongqing 408100,China;2.The State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044,China)

Taking the 3-PPR parallel mechanism as the researching target, by using Euler rotation matrix and vector method, the inverse kinematics solution of the parallel mechanism is deduced, the Jacobi matrix of the mechanism are solved And the theoretical foundation for the dynamic model of mechanism are provided. Using the method of Lagrange equation and the principle of virtual work established the dynamic model of the parallel mechanism. Writing the simulation program and simulating the inverse dynamics of the model by the MATLAB software. Verified the correctness of the inverse dynamics model by Comparing the relative error with the simulation results in ADAMS and Matlab software, Laying a foundation for the subsequent motion control mechanism.

parallel mechanism;dynamics model;lagrange;simulation

1001-2265(2016)08-0057-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.08.016

2015-03-01；

2015-04-08

國家自然科學基金項目(U1530138)

張軍(1987— )，男，重慶人，長江師范學院助理講師，碩士，研究方向為機械創新設計、機電一體化，(E-mail)530808282@qq.com； 謝志江(1962— )，男，湖南雙峰人，重慶大學教授，博士生導師，研究方向為并聯機器人、機電一體化、故障診斷。

TH166;TG659

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