基于單程波動方程的曲面波裂步傅里葉疊前深度偏移

李慧杰，陳秀梅

（同濟大學 航空航天與力學學院，上海　200092）

基于單程波動方程的曲面波裂步傅里葉疊前深度偏移

李慧杰，陳秀梅

（同濟大學 航空航天與力學學院，上海200092）

波動方程疊前深度偏移方法是當前解決復雜地質構造并精確成像的最有效方法，但常規炮集疊前數據深度偏移涉及到巨大的波場外推計算量，計算效率偏低。這里將曲面波技術與裂步傅里葉算子（SSF）相結合，提出曲面波裂步傅里葉偏移方法。該方法通過構建適合波場理論的曲面波合成算子來合成曲面波數據，然后結合適用于炮域的裂步傅里葉波場延拓算子對曲面波波場進行延拓成像，其能夠保證地下目標成像質量的同時進一步極大提高成像效率。應用復雜Marmousi模型成功驗證了該方法的高效性和準確性。

單程波動方程；曲面波合成算子；裂步傅里葉；疊前深度偏移

波動方程疊前深度偏移基于地震波動力學規律和波場延拓理論，充分利用疊前原始數據，能夠真實地反演出地下構造，是解決復雜構造精確成像最有效的手段［1］，然而這種方法由于波場外需要推花費巨大的計算量。如何在保證成像精度的同時又減少計算量提高計算效率，是研究者一直探索的目標，其研究總體來說有兩條線路。

其一是對波場數據的處理。1992年Berkhout提出了一種快速有效的面炮技術［2］，該技術將多個單炮合成一個面炮，將多炮記錄合成為一個面炮記錄。通過這種技術，不需要對每個炮記錄單獨偏移，在不損失精度的情況下大大減少了用于偏移的疊前數據量，從而也提高了計算效率。之后陳生昌（2002）把面炮合成偏移方法和Mosher等的偏移距平面波偏移方法［3］放在一個統一的理論框架里，提出了一套基于平面波分解的波動方程疊前深度偏移方法［4］。Chen等（2004，2011）［5-6］拓展了面炮技術，提出了曲面波思想，建立了曲面波合成與偏移理論及方法，并將“曲面波源”與地質深度模型結合，提出了面向目標的地表控制照明技術。這樣的理論建立使面炮成像更靈活、更具拓展性。

其二是對波場延拓算子的改進。1978年Gazdag提出相位移法（PS）［7］，該方法無傾角限制，無頻散，但由于在ω-kx域中延拓，kx與v（x）的關系無法確定，因而不能適應橫向變速情況。Stoffa等（1990）提出一種分裂步Fourier方法（SSF）［8］，該方法基于小擾的理論，將速度場分為背景速度和擾動項之和，并交替在ω-kx域和ω-x域中推導出波場延拓公式，實現對橫向速度的變化處理，是權衡偏移效率和偏移精度后較為理想的波場延拓方法。

文中首先以曲面波技術為基礎，根據速度模型約束構建曲面波合成算子來得到曲面波震源以及曲面波記錄，然后基于適用于炮域的單程波波場延拓理論將高效精確的SSF波場延拓算子應用到曲面波域中，并結合相應成像條件實現曲面波SSF偏移成像。這樣在不損失傳統炮集數據偏移精度的同時，進一步提高了偏移效率。最后通過Marmousi模型驗證該方法的準確性和高效性。

1　曲面波數據的合成

曲面波技術［6］是拓展的面炮技術，其將面炮合成算子作為基核，并賦予基核算子方向照明擾動特性，構建曲面波合成算子。通過合成算子作用將炮集數據記錄合成曲面波記錄，再適用于單程波動方程偏移算法進行偏移。根據波動原理，曲面波技術同樣要求滿足面炮偏移的基本物理假設，即曲面波場滿足基于地震波場的“WRW”正演離散矩陣模型，且假定地震數據已經消除了與地表地層有關的效應。

1.1面炮合成

由于地震波傳播理論是一個線性時不變系統，可對每個頻率的成分進行單獨處理，故在頻率域中考慮波場的傳播過程。對于點源記錄，根據“WRW”模型，頻率域中地表處的單炮點源記錄可以表示為其中W-（z0，zn）和W+（zn，z0）分別為上下行波傳播算子；x表示地表空間位置；ω表示角頻率；R（zn）是反射系數矩陣；S （x，z0；ω）為震源子波。若將地表z0處不同位置激發的點源子波組成矩陣，記為S（z0），相應的觀測炮記錄組成的矩陣記為P（z0），同時令則式（1）可以轉化為以下形式此時定義地表一復數值合成算子向量L（z0）=（L1，L2，L，Ln）T，將它作用于震源波場，得Ssyn（z0）為面炮震源。對方程（3）兩邊乘以向量L（z0）得

令其中 Psyn（z0）為合成面炮記錄。由此可知面炮震源和面炮記錄是由震源子波和接收炮記錄經過合成算子L（z0）作用后得到的。

1.2曲面波合成算子定義與曲面波合成

由面炮的合成過程可知，合成算子L（z0）為任意復向量，這種合成波場任意性大，復雜情形高。根據Chen （2004，2011）定義，這里給出在地表z0處曲面波合成算子向量的一般表達形式。式中fi=f（xi，z0）是任意二元復數函數，表示在地面炮點xi處的離散樣點值，可看作炮點震源子波的相位延遲時間，為任意實函數，表示相位延遲時相對橫向變量的x變化率，稱為曲面波射線擾動參數。

從定義可知曲面波合成算子仍是任意復向量，且曲面波震源的激發面是一個具有空間橫向變化曲率的曲面 （二維為曲線）。當時，算子

圖1　曲面波激發與震源延遲時距關系圖

1.3曲面波裂步傅里葉法偏移

由于算子Λ與xs無關，所以式（12）可以進一步化簡為

根據曲面波合成原理

同理可以得到曲面波震源波場函數方程，并結合相應邊界條件得到基于單程波動方程的曲面波疊前深度偏移方程

根據攝動理論，將某一空間位置上實際聲波速度分解為該深度層上的參考速度v0（z），以及相對參考速度的攝動速度Δv（x，z），這樣

裂步傅里葉方法（SSF）正是基于這一理論，將疊前數據深度外推的實現分為2個步驟：第一步是在頻率波數域完成的，即針對背景慢度的相移處理；第二步驟是在頻率空間域的時移處理，主要是針對慢度擾動的處理［8］。

以曲面波波場記錄函數為例，其在深度方向SSF延拓公式為

圖2顯示了曲面波裂步傅里葉法合成與偏移的詳細流程。

圖2　曲面波SSF偏移流程圖

2　模型計算

用公認的Marmousi模型數據驗證本文方法，該模型具有相對強烈的橫向變速，深層含復雜儲集層，是檢驗疊前深度偏移方法的標準模型，圖3為其速度場。模型正演數據共240炮，觀測系統為96道接收，炮間距與道間距均為25 m，最小偏移距200 m，最大偏移距2 575 m，記錄長度3 s，時間采樣率4 ms。

在曲面波數據合成過程中，依據速度模型中的背斜構造約束，給定曲面波基核函數為f（x，z0）=exp（-i10.0ω·x·sin0.00023x），圖4顯示了基核曲面波震源和相應曲面波記錄。圖5、6分別是曲面波SSF深度偏移剖面以及傳統炮集SSF深度偏移剖面。其中曲面波方法偏移選取取51個曲面波射線擾動參數，其范圍為（-350 μs/m，350 μs/m）。從成像結果可以看出，兩種方法都能比較清晰地顯示淺層的三組大斷層和深層的儲集體，反映波場隨速度變化的趨勢，但受SSF算法本身精度影響，也都有明顯的噪聲背景，尤其在橫向速度變化較大區域，細節表現仍然有待提高。

圖3　Marmousi速度模型

筆者用PC機對兩種計算方法進行計算效率的統計，結果如表1所示。可見曲面波偏移所需時間遠遠低于常規炮集偏移時間，效率上提高了近5倍，約等于炮數與擾動參數個數之比。

圖4　曲面波基核算子及其相應曲面波記錄

圖5　曲面波裂步傅里葉偏移剖面

圖6　傳統單程波裂步傅里葉偏移剖面

表1　計算時間對比

3　結　論

基于單程波動方程的裂步傅里葉偏移方法能夠兼顧成像效率和精度，其根據速度分裂思想將速度場分為背景速度項和擾動速度項，并交替在域、域實現波場的相移和時移。本文引入了曲面波裂步傅里葉［9-10］偏移方法及具體實現過程，從定義曲面波基核函數出發，并對經過有限個照明方向掃描的合成有限個曲面波記錄進行SSF偏移。這樣的處理方法極大程度減少了波場外推的計算量，在保證原有延拓算子成像精度的同時進一步提高了成像效率。通過對Marmousi模型偏移結果的對比驗證了該方法的高效性準確性和實用性。

［1］劉喜武，劉洪．波動方程地震偏移成像方法的現狀與進展［J］．地球物理學進展，2002，17（4）：582－591．

［2］BERKHOUT A J．Areal shot-record technology［J］．Journal of Seismic Exploration，1992，1（2）：251－264．

［3］Mosher C C，Foster D J，Hassassanzadeh S．Common angle imaging with offset plane waves．67th Ann.Internat.Mtg.Soc. Expl.Geophysics，Expanded Abstracts，1997：1379－1382．

［4］陳生昌，曹景忠，馬在田，等．平面波偏移法［J］．勘探地球物理進展，2002，25（3）：37－41．

［5］CHEN X M，WANG H Z，Cheng J B，et al．Prestack depth migration by surface rotation controlled illumination［J］．Chinese J Geo-physics，2004，47（1）：306－311．

［6］CHEN X M．MA Z T，WANG H Z，GUO H N．Curved-wave prestack depth migration［J］．Geophysics，2011，76（3）：115－129．

［7］GAZDAG J，SGUAZZERO P．Migration of seismic data by phase shift plus interpolation［J］．Geophysics，1984，49（2）：124－131．

［8］STOFFA P L，et al．Split-step Fourier migration［J］．Geophysics，1990，55（4）：410－421．

［9］尚宇，武小燕.傅里葉級數在心電信號模擬中的應用［J］.西安工業大學學報，2016（1）：21-25.

［10］何金朋，李陽陽，劉罡.基于傅里葉變換的LED單元板均勻性評價方法［J］.電子科技，2013（9）：169-171.

Curved-wave SSF prestack depth migration based on one-way wave equation

LI Hui-jie，CHEN Xiu-mei
（School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics，Tongji University，Shanghai 200092，China）

The wave equation prestack depth migration method plays an important role in resolving the problems about seismic imaging of complex geologic bodies in the laterally varying condition.However，conventional wave equation prestack migration based on common shot gathers needs to downward continuation for every trace sample of every shot which involves a huge wave field extrapolation.Here，curved-wave Split-step Fourier prestack migration was put forward by combining curved-wave technology and SSF continuation operator.Curved records and sources were generated by putting curved-wave synthesis operator constructed by defining curved-wave base kernel and a sequence of ray parameters into use，after applying Split-step Fourier continuation operator deduced in shots records to curved records and curved sources，migration imageing result can be achieved in curved-wave field.This kind of processing approach can ensure the quality of imaging of underground targets and further improve the imaging efficiency at the same time.At last，complex Marmousi model was tested to validate the correctness and high efficiency of this method.

one-way wave equation；curved-wave synthesis operator；split-step fourier；prestack migration

TPO

A

1674－6236（2016）09-0072-04

2015-06-03稿件編號：201506045

李慧杰（1988—），男，河北張家口人，碩士研究生。研究方向：地震波偏移技術。