外圓內正六邊形同軸線中TEM波的場結構及其特性阻抗

王福謙（長治學院電子信息與物理系，山西長治046011）

外圓內正六邊形同軸線中TEM波的場結構及其特性阻抗

王福謙
（長治學院電子信息與物理系，山西長治046011）

利用數值保角變換，給出外圓內正六邊形同軸傳輸線內的TEM波的分布規律，繪制出其橫截面上的場結構圖，并計算出其特性阻抗。研究結論對于計算該傳輸線的衰減常數、了解其功率容量、考慮功率耦合及設計有關的有源器件均有一定的參考價值。

外圓內正六邊形傳輸線；數值保角變換；TEM波；電磁場結構；特性阻抗

0　引 言

隨著微波理論和技術的迅速發展，對新型傳輸線的研究提出了更高的要求。一系列新型的微波過渡部件、微波濾波器和新型定向耦合器的研究，是建立在對新型傳輸線的理論分析基礎上的。因此，分析外圓內正六邊形同軸線具有一定的理論價值和實用意義。對于復雜截面同軸線，由于其結構特點，要分析其場分布和各種特性參數，一般不能用常規解析法直接求解。本文擬利用數值保角變換法研究外圓內正六邊形同軸傳輸線內TEM波的分布規律，繪制出其場結構圖，并給出高精度的特性阻抗計算公式。

1　外圓內正六邊形同軸傳輸線橫截面的變換

將z平面上邊長為a的正六邊形的外部變換為w平面上單位圓的外部的變換函數［1］：

w=1.08651

圖1為外圓內正六邊形同軸線的橫截面，其內、外均為金屬導體，邊長和半徑分別為a和b，則由式（1）可實現該傳輸線的橫截面的變換，內正六邊形變換為單位圓，外圓變換為位于之間的具有與正六邊形相同對稱性的閉合曲線［見圖2中的閉合曲線，該曲線由式（1）通過MATLAB軟件繪制］，而r1、r2及其幾何平均半徑的數值如下［1］：

圖1　變換前的外圓內正六邊形同軸傳輸線的橫截面

經上述數值保角變換后，z平面上的邊長為a的正六邊形和半徑為b的圓，就映射為w平面上的單位圓和位于半徑分別為r1、r2之間的具有與正六邊形相同對稱性的閉合曲線。由于在w平面上傳輸線內導體的橫截面的形狀為圓，外導體可近似看作半徑為的圓（見圖2），其內部電磁場在該截面上的分布近似呈軸對稱性，故在w平面上可近似地按圓同軸傳輸線的情形來討論電磁場分布規律。

圖2　變換后的外圓內正六邊形圓同軸傳輸線的橫截面

2　TEM波的電場和磁場的分布

外圓內正六邊形同軸線中的TEM波的求解，可由靜態場在相同邊界條件下的解，得到其電場在此傳輸線橫截面上的分布，乘以波動因子e-jβz得到電場的解，再由麥克斯韋方程獲得其磁場的解［2］。據此，在圓同軸線內電場分布表達式的基礎上，由數值保角變換可得外圓內正六邊形同軸線中TEM波的電場強度和磁場強度的分布：

式中：V0為外圓內正六邊形同軸傳輸線內、外導體之間電壓的幅值；a和b分別為其內、外導體的邊長和半徑；β為沿傳播方向ez上的相位常數，對于TEM波，波數為工作頻率；ε、μ為傳輸線所填充介質的電磁參量，當傳輸線內部為空氣時，介質的電磁參量取ε0和μ0）；ex、ey為外圓內正六邊形同軸傳輸線橫截面上沿橫、縱坐標軸方向的單位矢；式（5）、式（6）為外圓內正六邊形同軸傳輸線中

TEM波的電場與磁場分布的近似表達式。在得到該傳輸線電磁場的解析解（E，H）之后，由公式P=（式中的積分在傳輸線的橫截面上進行）可計算出傳輸線上的傳輸功率，當其中的電場強度最大值取不發生電擊穿的最大值時，所得到的傳輸功率值即為該傳輸線的功率容量；知道傳輸線中的電磁場的解析解之后，可以根據電磁場的分布情況，在此傳輸線上的恰當位置、選擇恰當的耦合結構，實現該傳輸線與其他電磁結構之間的能量耦合；或在該傳輸線中的恰當位置接入有源器件，設計實現所需的功能。

圖3為利用MATLAB軟件所繪制出的外圓內正六邊形傳輸線橫截面上TEM波場結構圖（其中a=2 mm、b=6 mm）。由于其內導體棱角上出現的電荷角分布效應，內導體表面附近的電場分布情況比較復雜。從圖3可以看出，傳輸線內導體表面附近以外的電場在此傳輸線橫截面上的分布呈現出中心對稱，作出的圖與預期結果（電場線與磁感線及導體表面均垂直）相符。圖4為由HFSS軟件仿真的外圓內正六邊形傳輸線橫截面上某一時刻TEM波的場結構圖（其中a=2 mm、b=6 mm），將其場線分布與圖3比較可以看出，MATLAB軟件的數值模擬結果，與HFSS軟件的結構仿真結果一致。這說明本文中研究外圓內正六邊形傳輸線內TEM波場結構的方法正確，結論可靠。

圖3　外圓內正六邊形傳輸線內TEM模的場結構

圖4　外圓內正六邊形傳輸線橫截面上TEM波的場結構圖

圖5和圖6為通過HFSS軟件仿真出的外圓內正六邊形同軸線內TEM波的三維電磁場結構圖（其中a=2 mm、b=6 mm），場分布形象直觀，便于對場結構的整體把握。在考慮功率耦合及設計有源器件時，也可參考傳輸線TEM波的場結構圖，如上所述，在傳輸線上選取恰當位置，以實現該傳輸線與其他電磁結構之間的能量耦合或接入有源器件。由圖3～圖6及式（5）、式（6）可以看出，在傳輸線內部，愈靠近內導體表面，電磁場愈強.因此，內導體的表面電流密度較外導體內表面的表面電流密度大。

圖5　外圓內正六邊形傳輸線內TEM波的場結構圖

圖6　外圓內正六邊形傳輸線內TEM波的場結構圖

所以外圓內正六邊形傳輸線的熱損耗主要發生在截面尺寸較小的內導體柱上。

3　特性阻抗

經變換式（1）和式（4），外圓內正六邊形同軸線的橫截面已映射為半徑分別為1和r-的兩近似同心圓，由于映射前后傳輸線單位長度的電容量保持不變，這樣就可由內、外半徑分別為1和r-的同軸傳輸線的電容值，通過公式方便地求出此傳輸線的特性阻抗的近似值。據此，本文給出外圓內正六邊形同軸線特性阻抗的計算公式如下：

式中：ε、μ為傳輸線所填充介質的電磁參量，當傳輸線內部為空氣時，介質的電磁參量取ε0和μ0；a 和b分別為外圓內正六邊形同軸線內、外導體的邊長和半徑。

需要說明的是，由于電荷的角效應，內導體棱角處電荷密度大，而每邊中點處的電荷密度小。對變換后的圖2而言，內圓柱導體與無電荷角效應的外切圓弧之間的電容，要比其與內切圓弧之間的電容要大。所以，對于用內切圓和外切圓的邊界尺寸取幾何平均來“逼近”變換后的多邊形外導體邊界，由于交替出現了電容增大和電容減小的情況，故對計算總平均電容來說，電荷角效應的影響很小。因此，由式（7）計算出的外圓內正六邊形同軸線特性阻抗值的近似值，具有較高的精確度。表1中分別列出了本文的計算方法與多極理論及矩量法所得的結果（介質為空氣），其中R為外導體半徑，r為內導體內接圓的半徑。通過比較可以看出，本文的計算結果與多極理論的計算結果相當接近，相對誤差的最大值為7‰，最小值為2.7‰，平均相對誤差為3.9‰。表1中的計算結果也與文獻［3-6］給出的數據幾乎一致，相對差值均在2‰以內。由此也可佐證本文所給出的研究方法的正確性。文獻［7］所給出的矩量法的計算結果稍有誤差。

式（7）為外圓內正六邊形同軸線特性阻抗的解析計算式。通過保角變換法計算復雜截面傳輸線的特性阻抗，公式推導過程簡單，物理意義明確，精確度很高，可方便地計算任意尺寸的外圓內正六邊形同軸線的特性阻抗。復雜截面傳輸線的特性阻抗也可用多極理論或矩量法計算，但多極理論準解析計算規則需要針對不同情形確定不同的內極、外極和極的次數等，原理相對復雜；而矩量法需對計算區域進行離散化處理，離散網格尺寸大小是求解精確性的關鍵，一般而言，網格越小越精確，但由于減小網格尺寸勢必造成未知量數目的增加，使得存儲量和計算量大幅增加，因此矩量法計算特性傳輸線特性阻抗的精度受計算機內存的限制，此即文獻［7］所給出的用矩量法計算外圓內正六邊形同軸線特性阻的數值，與其他方法相比較稍有偏差的原因。

表1　外圓內正六邊形同軸傳輸線的特性阻抗

4　結束語

計算機數值模擬的研究方法已成為繼實驗研究和理論分析之外的第三種研究手段。本文將理論分析與計算機數值模擬及場結構仿真相結合，對外圓內正六邊形同軸傳輸線進行了研究，得到了該傳輸線內的TEM波的近似解析解，利用軟件MATLAB 和HFSS繪制出了其場結構圖，并給出了該傳輸線特性阻抗的計算公式。本文研究方法的物理意義明確、分析過程簡單，所得結論對于了解傳輸線的功率容量、計算衰減常數、考慮功率耦合及設計有關的有源器件等都是不可缺少的，對傳輸線的設計與應用亦具有一定的理論意義。

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The Field Structures of the TEM Wave in a Coaxial TransmissionLine With Circular-outer-Conductor and Regular Hexagon-inner-Conductor and Its Characteristic Impedance

WANG Fu-qian
（DePartment of Electronic Information and Physics，Changzhi University，Changzhi046011，China）

The distribution of the TEM wave in a coaxial transmission line with circular-outer-conductor and regularhexagon-inner-conductor is gotby using numerical conformalmaPPing，themaPof structureof electromagnetic field on its cross section is Plotted，furthermore，its characteristic imPedance is calculated.This research result to calculate the decay constantof the transm ission line，realize its Power caPability，consider its Power couPling and design the related active device has the certain reference value.

a coaxial transmission linewith circular-outer-conductor and regular-hexagon-inner-conductor；numerical conformalmaPPing；TEM wave；structure of electromagnetic field；characteristic imPedance

TM248.3

A

1672-6901（2016）02-0029-04

2015-05-05

山西省自然科學基金（2012011028-1）資助；山西省 2015大學生創新創業訓練資助（2015432）

王福謙（1957—），男，教授.

作者地址：山西長治市城北東街73號［046011］.