運用數形結合提升學生思維能力

伍麗霞

重慶市謝家灣小學教師，重慶市數學特級教師、數學骨干教師、九龍坡區數學學科帶頭人。多次在市區級數學賽課中獲獎；撰寫的多篇論文分別獲得國家、市、區級獎勵，并在各級雜志發表；參與編寫《小梅花系列叢書—五年級數學樂園》教材（教育科學出版社出版），《小學升初中數學壓軸題全解題庫》（吉林教育出版社出版）等各類教學輔導書籍。

一、數形結合可使復雜問題簡單化

華羅庚先生曾說，“數缺形時少直觀，形少數時難入微”。形象說明了數形結合的重要性，指出數學問題應從數形相聯系入手。數形結合就是把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來思考，使抽象思維與形象思維結合，通過“以形助教”或“以數解形”，可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。《義務教育數學課程標準》將培養學生用數學解決問題的能力作為重要目標。這給教師在小學數學教學中解決如何從具體事物中抽象出數學問題，如何從感性思維上升到理性思維提出了具體要求。而數形結合思想正是實現該類問題教學的有效例證之一。

長期以來，在教學中，數學知識是一條明線，受到數學教師的重視，數學思想方法是一條暗線，容易被教師忽視。在小學數學教學中，如果教師能有意識地運用數形結合思想設計教學，將非常有利于學生從不同側面加深對問題的認識和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力。在教學三年級下冊第8單元《連乘法解決問題》時發現，部分學生特別是年齡較小的學生理解數量關系還存在一定困難。為此，筆者經過思考研究，結合數學課堂趣味性與思辨性，運用數形結合思想，在生活圖片和抽象數學問題中間設置了過渡數學幾何圖形（抽象圖形），既減小了學生思維跨度，便于數學問題的進一步理解，又使學生感受到學習數學的樂趣。

二、數形結合思想的實踐應用

片段一：

用連乘法解決問題是人教版義務教育實驗課程三年級下冊8單元內容，教材采用學生排隊做操的圖案作為引導新知識的開始。

如圖1，由于圖中沒有給出更多的數學信息，呈現的三個方陣不完整，所以當教師問學生們從圖中可以發現哪些數學信息以及能提出什么數學問題時，學生的回答千奇百怪，并且對方陣的數量產生了歧義。為什么會出現這些現象呢？設想只用兩三分鐘的主題切入卻花費了將近十分鐘時間，并且學生們出現爭論，在這里糾纏不清。

片段二：

學生們終于弄清楚主題圖的含義，提出合理的數學問題后，用三種方法解決了該問題。

方法一：10×8×3=240（人）

方法二：10×3×8=240（人）

方法三：10×（3×8）=240（人）

在理解三種方法的意思時，部分學生出現困難：方法二和方法三，先求的是什么？后求的是什么？看著抽象的數量，學生眉頭緊鎖，睜著茫然的眼睛看著黑板。

怎樣才能讓學生真正理解數量之間的關系呢？主題圖出示的生活圖片為什么不能解決學生的問題？

于是，筆者與同教研組的教師們進行了研究，改進，第二次又走進課堂。

首先，將教材中不完整的主題圖修改，呈現了三個完整的方陣（見圖2），并將文字信息（三個方陣，每個方陣的行列人數等信息）滲透于圖中。這時孩子們發現，信息和收集信息的速度和準確率非常高，很快切入教師預設的主題。

其次，教學中教師把主題圖換成了點子圖（圖3、圖4）發給每個學生，學生可以根據自己的要求擺放每張點子圖。通過點子圖的擺放，學生化靜為動，通過擺放點子圖的位置，理解不同方法的含義。再通過對比尋找到三種方法的相同與不同，讓學生們更深刻理解每種方法，提升了學生的思維。在學生的臉上，教師看到了喜悅的笑容。

三、數形結合對學生思維提升的表現

課堂結束，筆者的腦海里不斷交互出現上課的情景。為什么即使是生活圖片，學生理解數量關系還會出現困難？返回到班上問學生，方陣圖片和點子圖片誰更能讓你理解這三種方法。學生紛紛表示點子圖好理解一些，緣由是點子圖通過不同的擺放更能讓人感受到數量之間的關系。誠然，根據三年級學生的年齡特點和思維特點，生活圖片到抽象數學問題的跨度太大，學生興趣和思辨能力跨越該跨度存在不同程度困難。借助幾何圖形，以形助教，使抽象問題直觀化，有利于學生的思維提升。

1.引入圖形輔助教學，將數學學習融入生活

在數學教學中，無論是數與代數、圖形與幾何，還是統計與概率等知識，處處蘊含著數形結合思想。教材借助幾何圖形的直觀來幫助學生理解抽象概念。生動形象的圖形使得抽象的知識變得趣味化、直觀化，學生在學習時，不再感到枯燥乏味，反而能從中獲得有趣的情感體驗，從而實現了主動探索，把握了概念本質。

2.抽象圖形輔助教學，使數學學習高于生活

本課中，學生借助點子圖，數形結合，化解了數學信息之間的不易理解的困難，通過點子圖的拼擺，讓抽象的思維形象地呈現，隱藏的數量關系通過“形”的表象顯露出來。學生理解了三種方法之間的區別與聯系，加深了對每種方法思路的理解，體會到了數形結合思想在解決問題中的作用。用數形結合策略表示題中量與量之間的關系，可以達到化繁為簡、化難為易的目的。“數形結合”可以借助簡單的圖形（如統計圖）、符號和文字所做的示意圖，促進學生形象思維和抽象思維的協調發展，溝通數學知識之間的聯系，從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征。

3.凝練圖形輔助教學，形成問題解決教學模式

恩格斯曾說過：“數學是研究現實世界量的關系與空間形式的科學。”在教學中，可以根據不同教學內容充分利用數形結合思想，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。

（1）“以形助數”在直觀中理解數

在“數與代數”教學中，借助圖形的直觀性將抽象的數學概念、運算等形象化、簡單化，給學生以直觀感，讓學生以多種感官充分感知，在形成表象的基礎上理解數學本質，解決數學問題。

（2）“以數想形”幫助理解各種公式

在教學有關的數學公式時，如果只讓學生死記公式，只會將知識學死。借助圖形充分理解公式的含義，可以使學生知其然，更知其所以然。

（3）“數形結合”借助表象發展空間觀念

兒童的認知規律一般來說是從直接感知到表象，再到形成概念的過程。表象介于感知和形成概念之間，抓住中間環節，促使學生多角度靈活思考，大膽想象，對知識的理解逐步深化，發展學生的空間觀念，具有十分重要的意義。

總之，通過引入生活實例，利用數形結合，合理設置數形跨度，既可提高學生學習數學的興趣，也讓學生在不斷的訓練中感悟數學思想，豐富思維活動，以提高學生的數學學習能力，又可以完成數學教學中趣味性與思辨性的實踐探索。

責任編輯：趙彩俠

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