某連續梁地震響應分析

詹英杰， 唐懷平， 童少偉

(西南交通大學， 四川成都 610031)

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某連續梁地震響應分析

詹英杰， 唐懷平， 童少偉

(西南交通大學， 四川成都 610031)

選擇某連續梁，采用有限元軟件建立相應模型，并選擇汶川地震波作為荷載進行加載計算。作者分析了該連續梁跨中點的應力、撓度時程響應及根部的應力時程響應;采用功率譜密度函數分析了地震波頻域特性，根據功率譜密度函數頻域特性分析，重新計算了模型在固有頻率接近地震功率譜密度峰值處情況下的響應。

地震；連續梁；響應；應力；荷載；功率譜密度

地震對土木結構的破壞作用巨大，汶川“5·12”大地震中，無數的房屋、橋梁、道路被毀；人身財產安全在地震中也受到了巨大的威脅。近年來，結構抗震設計也越來越成為人們關心的問題。基于此，筆者對我國某連續梁進行了抗震驗算，分析了結構固有特性、地震荷載特性與結構響應之間的相互影響。

1　模型概要

1.1連續梁模型

選擇一我國高速鐵路線上的連續梁作為計算模型，采用有限元計算軟件進行數值模擬。該連續梁模型整體采用C50號混凝土材料，跨度為40+64+40 m，模型見圖1。

材料參數為：

彈性模量：E=3.55E10 MPa

密度：ρ=2 600 kg/m3

泊松比：μ=0.3

圖1　計算模型

軟件中采用solid45空間實體單元對結構進行網格劃分；底面采用兩方向位移約束；端部一邊采用三方向位移約束，另一邊采用兩方向位移約束。

1.2地震荷載

筆者選擇了汶川地震波作為該橋的驗算地震波。由于汶川地震強度大、持續時間長。本文僅選擇其8 s時間的波(圖2)作為本次計算荷載；選定波的峰值加速度為2.28 m/s2；離散荷載共計400步，每個荷載步持續時間為0.02 s，其值遠低于結構固有第一階頻率0.27 s，因此可選擇作為驗算荷載。

圖2　地震波荷載

2　模型計算

根據選定的模型以及相應的荷載，即可在通用有限元軟件中進行計算；計算采用瞬態動力學方法進行。瞬態動力學計算方法存在一定缺陷，如：計算量大，對計算機的性能要求較高；需要的存儲容量高，對計算機的存儲容量要求較高。但是，現今計算機性能日益提升，瞬態動力學方法的優點也日益體現，例如計算處理器性能的提升，對計算大型矩陣將不存在困難，存儲容量的加大，使得數據存儲不存在困難，并且，瞬態動力學計算是基于時間域的計算，其結果有直觀的物理意義，可以很好的被人們接受。

為了解結構在該荷載作用的響應以及對結構的影響，筆者重點選擇了幾個關鍵截面上的響應作為分析對象：跨中截面應力和撓度響應、根部截面的應力響應，其分析結果見圖3～圖6。

圖3　跨中正應力時程曲線

圖4　跨中撓度時程曲線

圖5　根部正應力時程曲線

圖6　根部剪應力時程曲線

通過處理后，該結構根部剪應力最大值為32 881.9 Pa，正應力最大值為1.953 MPa；跨中正應力最大值為2.375 MPa，撓度最大值為0.0078 m，總結發現，結構應力均未超過C50混凝土的強度限值；撓度也小于相關標準中的L/400的規定。筆者認為，從該橋整體上的響應分析，可初步判斷結構可以抵抗該地震荷載的作用。

根據結構動力學的常識，結構的響應取決于荷載的大小、荷載的形式以及結構本身的形式以及相應的結構特性，為驗證結構響應同荷載類型的相關性，筆者繼續通過功率譜密度函數分析的方式，分析了荷載特性與結構特性之間的聯系對結構響應的影響。

3　功率譜密度函數分析

3.1功率譜密度函數理論

譜分析是研究振動的一個重要手段。根據傅里葉分析，任何一個周期T的周期運動x(t)都可以展開成傅里葉級數：

(1)

(2)

上式的物理意義：任何形式的周期運動可以看成是基頻(ω)和一系列的泛諧振的疊加。

對于任何非周期運動的時間函數x(t)，不能把它展開成傅里葉級數，而只能將其寫成傅里葉積分，假設。

(3)

則：

(4)

(5)

即非周期運動的頻率譜是連續譜。

對于隨機過程，自然可以推測其頻率譜也是連續譜。然而：

(1)有些隨機過程x(t)有可能是隨時間t而無限連續下去，即x(t)在任何時刻都具有有限值，如理想白噪聲，此時條件式(3)不成立，即將x(t)表示成傅里葉積分不成立。

(2)有些運動或過程，它們有隨機性，但又不是完全的隨機，而是有一定的規律(色噪聲，如粉紅噪聲)。

因此，對于一般的隨機運動不能利用傅里葉變換求出其振幅-頻率譜，有的即便可以求出，但不能反映出運動的某些特性。

繼而，定義自相關函數(離散卷積)，x(t)的自相關函數C(τ)的定義是：

(6)

式中的τ是時間的移動值。這樣，C(τ)的值表示兩時刻(t和t+τ)運動或隨機過程的相關聯程度：當x(t)幅值一定時，C(τ)越大，則意味著x(t+τ)與x(t)越相似；又τ越小時，x(t+τ)與x(t)越相似，從而C(τ)值越大。反之，τ越大時x(t+τ)與x(t)差別可能越來越大。最后兩者完全無關而C(τ)趨于0。

自相關函數存在以下性質：

其一：C(τ)是實偶函數，即:

因為：

上面第二式是由代換λ=t-τ得到，第三式是考慮到由于積分上下限同時改變τ而積分時間間隔T不變，當T→∞時，這樣改變不引起結果變化；

其二：C(0)是C(τ)的最大值，因為：

所以，C(0)≥|C(τ)|；

其三:C(0)等于x(t)的均方根值。

其四:對于周期運動，x(t)是周期函數，則C(τ)也是周期函數。此時，C(τ)不僅在τ=0處取極大值，在nT處(T為周期)都會出現極大值；

其五：在某些情況下，運動并不是規則的，但也不是完全隨機的。設，如果x(t)包含隨機過程s(t)和規則運動部分r(t)兩部分：

則，x(t)的自相關函數等于這兩部分各自自相關函數之和：

依據上述性質，我們可以用自相關函數分析隨機過程中的確定信號或者隨機特征。

為表示運動的頻譜特性，可以對自相關函數進行傅里葉變換：

C(τ)的傅里葉變換S(ω)即可用來描述運動的頻譜特征，S(ω)又稱為功率譜密度函數。

可見，功率譜密度函數S(ω)在頻域中反映了荷載的分布情況，對于隨機的地震荷載信號，其也存在一定的頻域荷載峰值，通過功率譜密度函數的分析，可以了解該荷載在哪個頻率下，對結構的作用最大。

3.2地震波的功率譜密度函數分析

筆者對所選用的地震荷載譜進行了功率譜密度函數分析，得到了頻域下的功率譜密度函數分布(圖7)。

通過對上述的功率譜密度圖形分析，可知，選定的地震波對頻率較低的區域作用小，當頻率f<2時，PSD值基本在0附近；對2.53.5的范圍內，PSD值又較小。

圖7　功率譜密度

4　基于功率譜分析下的結構響應計算

筆者基于對選定的地震波的功率譜密度分析結果，對模型參數進行了小幅度修改，并重新進行了計算。

4.1結構模態分析

筆者采用BlockLanczos方法對連續梁結構進行了兩組模態分析，第一組采用標準C50混凝土材料參數進行網格劃分；第二組將混凝土的彈性模量E改成3.06MPa，計算結果見圖8、圖9。

圖8　標準參數下結構第一階模態

圖9　修改參數后結構第一階模態

其中，圖8為結構材料為標準C50材料參數下的結構第一階縱向彎曲模態。從截圖可知，結構第一階縱向彎曲固有頻率為3.769Hz；圖9為結構材料為修改彈性模量E為3.06MPa后，結構第一階縱向彎曲模態，從截圖可知，結構第一階縱向彎曲固有頻率為3.5Hz。

通過前文的功率譜密度分析可知，修改參數后結構的第一階縱向彎曲固有頻率剛好與功率譜密度中的一個峰值重合。

4.2參數修改后結構響應分析

基于前一步對結構模態的分析，筆者繼續對該修改了材料參數的模型進行結構地震作用下的瞬態動力學分析，并提取了同第二步中一致的關鍵截面響應數據，見圖10～圖13。

圖10　跨中正應力時程曲線

圖11　跨中撓度時程曲線

圖12　根部正應力時程曲線

圖13　根部剪應力時程曲線

通過處理后，提取響應參數的最大值，并同原始計算模型的結果進行比較分析，可將結果匯總成一個表格(表1)。

表1　不同材料參數下的結構最大響應值

從表1的計算結果可知，結構在彈性模量E改變13.8 %的情況下，該連續梁結構承受同樣地震荷載時，結構關鍵截面的響應大幅度提高，其中根部正應力提高幅度達到68.9 %，其他選定的響應值提高幅度均超過50 %。

從結構動力學的角度看，這種放大作用是由于結構荷載特征周期和結構的固有頻率之間存在共振的情況，共振現象在一般的結構設計時都是應該盡力避免的。

5　結論

本文以數值模擬與理論分析相結合的方式，對我國某高速鐵路線連續梁模型進行了地震荷載作用下的結構瞬態動力學分析，得到了一些有參考意義的結論。

(1)通過結構地震荷載作用下的瞬態動力學分析，可以獲得結構時域響應信息，可通過對時域響應信息的清晰判斷來評估結構的安全性，可作為結構設計參考。

(2)通過對地震波荷載離散形式下的功率譜密度函數分析，得到了頻域下地震波的功率譜密度分布情況，并結合結構的模態分析，計算了模態頻率和功率譜密度函數峰值點對應頻率接近情況下的結構動力學響應，結合原始計算響應，筆者發現，結構模態頻率和功率譜密度函數峰值點對應頻率接近時，結構關鍵截面的動力響應明顯的增大了。

(3)通過上述分析，筆者認為，結構設計時，設計師還應該考察當地的地質情況，盡可能的了解當地的地震卓越周期，在結構設計時，結構低階頻率要盡可能避開當地的地震卓越周期。

[1]劉秉正. 非線性動力學與混沌基礎[M]. 長春：東北師范大學出版社，1994.

[2]劉式達，劉式適. 非線性動力學和復雜現象[M]. 北京：氣象出版社，1989.

[3]裘伯永,盛興旺. 橋梁工程[M]. 北京: 中國鐵道出版社，2008.

[4]李喬. 混凝土結構設計原理[M]. 北京：中國鐵道出版社，2009.

[5]盛和太,喻海良, 范訓益.ANSYS有限元原理與工程應用實例大全[M]. 北京:清華大學出版社，2006.

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[定稿日期]2016-03-07