超音速彈丸低伸彈道的近似解析解

劉　鵬，王雨時，聞　泉，張志彪

(南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京　210094)

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超音速彈丸低伸彈道的近似解析解

劉鵬，王雨時，聞泉，張志彪

(南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京210094)

針對引信和彈藥試驗用超音速彈丸低伸彈道諸元求解過程較為復雜的問題，利用超音速段空氣阻力定律有理式函數經驗公式求解彈丸低伸彈道質心運動方程組，提出了超音速彈丸低伸彈道諸元中速度與時間的解析函數式。該解析式編程簡單，應用方便。實例表明，所得到的超音速彈丸低伸彈道諸元近似解析解公式具有較高的求解精度。

外彈道學；數學模型；經驗公式；低伸彈道；外彈道近似解；彈道預估

0　引言

彈藥和引信產品研制與生產驗收試驗以及部隊訓練試驗，涉及的多是低伸彈道問題。雖然計算機及其應用技術已經很普及，但要解算彈丸外彈道，涉及的不但有常微分方程組的數值求解問題，還需要有較為系統的外彈道學知識，而這對非彈道學專業的人員是有一定難度的。

為了尋求便于應用的彈道學解算方法，人們多年來一直在進行探索和研究。這包括計算機普及前誕生的低伸彈道的西亞切近似分析解法(需查西亞切輔助函數表)，也包括計算機普及后的各種近似解析公式。如文獻[1]以反坦克火炮為背景，以研究直射程和直射角為主，應用級數展開原理給出了低伸彈道諸元的公式，但計算復雜，應用繁瑣；文獻[2]利用西亞切阻力定律在初速大于300 m/s情況下的簡化表達式，給出了反坦克武器直射距離的計算公式。文獻[3]以步兵近戰武器彈道為背景，利用低速(小于250 m/s)情況下的平方阻力定律，推導出了低速低伸彈道的任意點諸元求解公式。文獻[4]和[5]對此結果作了進一步歸納整理。文獻[6]和[7]所用理論和公式與文獻[3]的相同。文獻[8]以火控計算機為應用背景，針對航炮空中射擊彈道，應用最小二乘法將3≥Ma≥1.5的彈丸空氣阻力定律曲線處理成了直線，以直接解析法取代傳統表解法解算航空炮彈2 000 m以內的外彈道，得出航炮射擊諸元。文獻[9]利用超高速情況下(大于1 270 m/s)的平方阻力定律，給出了超高速彈丸低伸彈道方程的近似解析解，即速度降與阻力特性之間的關系式。文獻[10]借助最小二乘法回歸得到的中高速段(400～1400 m/s和630～960 m/s)阻力函數經驗公式，給出了中高速段低伸彈道的近似解析解，即飛行時間與速度、飛行距離的解析關系式，但其誤差較大。在超出其速度范圍之外時，最大相對誤差達20%。

本文利用超音速(4≥Ma≥1)彈丸空氣阻力定律有理式經驗公式，對彈丸低伸彈道近似求解，得到較高精度的彈丸速度和飛行距離解析表達式。

1　對應1943年阻力定律的彈道方程近似解析解

經典外彈道學給出的彈丸質心運動微分方程組[11]為：

(1)

式(1)中，v為彈丸速度，m/s；c為彈道系數，m2/kg；H(y)為空氣重度函數，無量綱；F(v,cs)為阻力函數，N/m2；g為重力加速度，m/s2；θ為彈道傾角，(°)；t為發射時記起的時間，s；cs為當地聲速，m/s；x為彈丸飛行水平距離，m；y為彈丸飛行高度，m。

對于低伸彈道，可以忽略射角、高度和重力加速度的影響，即θ=θ0≈0，y≈0，H(y)=H(0)=1，從而簡化上述的彈丸質心運動微分方程。式(1)中的第一個方程可以簡化為：

(2)

對于一個特定的彈丸c是一定的。再將H(y)看作常數，記中間變量p=4.737×10-4cH(y)，p的計量單位為m-1，則式(2)可簡化為：

(3)

記馬赫數M=v/cs，則式(3)變為：

(4)

代入文獻[12]給出的1943年空氣阻力定律在1≤M≤4范圍內的近似解析函數式

(5)

后作分離變量處理，得

(6)

令q=1/M，則式(6)變為：

即

(7)

利用MATLAB軟件解式(7)可得：

11.260q+10.564arctan(2.3330q-3.8846)+

7.2870ln(q2-3.3302q+2.9562)=cspt+A

(8)

式中，A為由初始條件t=0、v=v0(初速)確定的常數。

將q=1/M、M=v/cs代入，得到彈丸速度v與時間t的解析函數式

(9)

該式為超越方程，難以求其反函數，可用數值迭代法求解。

2　數值迭代算法的應用

對于海拔高度為0的低伸彈道而言，H(y)=1，則p=4.737×10-4c。另cs取地面標準值341.2m/s，彈丸初速v0和彈道系數c已知。將q=q初=1/M0=cs/v0=341.2/v0，t=t0=0代入式(8)中即可求得A。

把方程等價變換為：

q=f(q)

只要f(q)在q的值域內連續，且|f′(q)|<1，那么它的根可由：

q1=f(q0)

q2=f(q1)

?

qn+1=f(qn)

來接近。令

q=[-10.564arctan(2.3330q-3.8846)-

7.2870ln(q2-3.3302q+2.9562)+

cspt+A]/11.260

(10)

則有

又因為1≤M≤4，則0.25≤q≤1。利用MATALB可求得|f′(q)|在0.25≤q≤1范圍內的極值為0.7746<1，則式(10)的迭代過程是收斂的，可以用于外彈道計算。迭代格式為：

qi+1=[-10.564arctan(2.3330qi-3.884 6)-

7.287 0ln(qi2-3.330 2qi+2.956 2)+

cspt+A]/11.260

(11)

對應的v=cs/qn(qn為q的逼近值)。

為了進一步估算出對應的水平位移x，可近似取：

(12)

式中,xt為對應t時刻的水平距離；Δt為時間步長；n=t/Δt；vj為第j個Δt時刻的速度。

3　對應西亞切阻力定律解析式的彈道方程近似解析解

西亞切阻力定律雖已有解析式[11]但卻不便于用于彈道方程近似解析解。利用上述方法對文獻[12]給出的在1≤M≤4范圍內的西亞切阻力定律經驗公式

做相同處理。得：

0.016 866lnM+0.016 464/M-

0.455 27ln(M-0.748 79)=cspt+A

(13)

將M=v/cs代入，得到彈丸速度v與時間t的解析函數式為：

0.016 866ln(v/cs)+0.016 464/(v/cs)-

0.455 27ln[(v/cs)-0.748 79]=cspt+A

(14)

0.748 79,

則

再令式(12)等式左邊為：

Φ(M)=0.016 866lnM+0.016 464/M-

0.455 27ln(M-0.748 79)

則

因為1≤M≤4，所以Φ′(M)<0，則Φ(M)在1≤M≤4范圍內單調遞減，-0.5093≤1≤Φ(M)≤0.6454，對應可知-0.5093≤csat+A≤0.6454。故

利用MATALB軟件求得當1≤M≤4時|f′(M)|<0.031<1，則式(13)的迭代過程是收斂的，可以用于外彈道計算。其迭代格式為：

(15)

對應的v=csMn(Mn為M的逼近值)。

與對應1943年阻力定律的彈道方程近似解析解相比，對應西亞切阻力定律的彈道方程近似解析解形式比較簡單。

4　驗證算例

以25mm口徑艦炮榴彈為例，對式(11)和式(12)的準確性進行驗證。迭代時取q0=1/M0=cs/v0。查文獻[13]知該榴彈初速v0=890m/s、彈重m=0.282kg、彈形系數i43=1.3，計算結果與射表所載[10]數值對比如表1所列。

以23mm口徑航炮榴彈為例，對式(15)的準確性進行驗證。查文獻[13]知該榴彈初速v0=720m/s、彈重m=0.174kg、彈形系數ic=0.66，有效射程不小于1 000m。取射角θ0=1.5°。再利用式(1)對該槍彈進行數值求解，比較結果如表2所列。

表1　25 mm口徑艦炮榴彈外彈道近似解及數值解與射表所載外彈道諸元對比

表2　23 mm航炮榴彈外彈道近似解與數值解對比

由表2可以看出，利用式(12)進行近似解析求解得到的彈丸速度與采用微分方程數值解所得結果差異很小，相對誤差在0.103%以內。而在計算彈丸水平位移時，時間步長Δt取值越小，水平距離準確度越高。

由圖1可以看出，在超音速范圍內時，無論射角大小，彈丸速度近似解析解與數值解相差都很小。在亞音速范圍內，速度相對誤差隨著速度的減小逐漸增大，且射角越大，相對誤差越大。4 s以內，式(11)的近似解析解與60°射角時數值解結果最大相對誤差為2.61%。12 s以后，式(11)給出的結果出現不穩定現象，其原因是此時已超出了式(11)適用范圍(M≥1)。

圖1　14.5 mm口徑四管高射機槍穿燃彈外彈道式(11)近似解析解與不同射角條件下的數值解對比Fig.1　Comparison of four tube 14.5 mm caliber antiaircraft API cartridge ballistic approximate analytical solution of equation (11) and numerical solution under the condition of different jet Angle

由圖2可以看出，105 mm坦克炮榴彈的速度近似解析解在超音速段與數值解相差很小，預報彈丸速度的最大相對誤差為6.74%。而60 s以后，式(11)給出的結果出現不穩定現象，其原因也是此時已超出了式(11)適用范圍(M≥1)。

式(12)的物理意義是計算彈丸的飛行路程。如圖3和圖4所示，當射角在20°以下時，式(12)的誤差較小。而當射角在20°以上時，彈丸的水平位移與路程的差異將隨著射角的增大而顯著增大，因而式(12)誤差較大。

圖2　105 mm口徑坦克炮榴彈外彈道式(11)近似解析解與不同射角數值解對比Fig.2　Comparison of 105 mm caliber tank gun cartridge ballistic approximate analytical solution of equation (11) and numerical solution under the condition of different jet Angle

圖3　14.5 mm口徑四管高射機槍穿燃彈外彈道水平距離近似解與不同射角條件下數值解對比Fig.3　Comparison of four tube 14.5 mm caliber antiaircraft API cartridge ballistic approximate analytical solution of horizontal distance and numerical solution under the condition of different jet Angle

圖4　105 mm口徑坦克炮榴彈外彈道水平距離近似解與不同射角數值解對比Fig.4　Comparison of 105 mm caliber tank gun cartridge ballistic approximate analytical solution of horizontal distance and numerical solution under the condition of different jet Angle

5　結論

利用彈丸超音速段空氣阻力有理式經驗公式分析得到的低伸彈道近似解析解，其估算結果與數值解算的結果誤差很小。該表達式是低伸彈道的一種數學解法，不需要對外彈道微分方程組進行數值求解，編程簡單，應用方便，可用于預估超音速彈丸低伸彈道參數。

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Approximate Analytical Expression of Supersonic Projectile Low Trajectory

LIU Peng, WANG Yushi, WEN Quan, ZHANG Zhibiao

(College of Mechanical Engineering , NUST, Nanjing 210094, China)

For the problem of low trajectory parameters of supersonic projectile for fuze and ammunition test solution was complicated, rational empirical formulas for air resistance law of projectile at supersonic section was uesed to solve mass center motion equations of low trajectory, a analytic function of speed and time of low trajectory for supersonic projectile was present. The analytic function was simple to program and convenient to use. Examples showed that approximate analytic expression of low trajectory for supersonic projectile had higher accuracy.

external ballistics; mathematical model; empirical formula; low trajector; ballistic approximate solution; ballistic forecast

2015-11-03

江蘇省自然科學基金青年基金項目資助(BK20140786)

劉鵬(1991—)，男，湖南長沙人，碩士研究生，研究方向：引信及彈藥技術。E-mail:skig906@163.com。

TJ012.3

A

1008-1194(2016)04-0042-05