網絡控制系統的事件觸發與量化控制協同設計

馬巧利，周 川，陳蘭浪（南京理工大學自動化學院，江蘇　南京210094）

網絡控制系統的事件觸發與量化控制協同設計

馬巧利，周 川，陳蘭浪
（南京理工大學自動化學院，江蘇南京210094）

針對資源受限的離散時間網絡控制系統，提出一種基于性能優化的事件觸發和量化控制協同設計方法。該方法主要通過事件觸發降低網絡帶寬占用，采用帶有縮放因子的動態量化器降低量化誤差的影響，并將該網絡控制系統建模成具有不確定參數的離散時間切換系統；根據穩定性和二次性能指標要求，利用分段李雅普諾夫函數和線性矩陣不等式技術將性能指標最優問題轉化為具有矩陣不等式約束的優化問題，給出了保證系統漸近穩定且二次性能指標最小的事件觸發器參數、動態量化器可調參數及控制器增益協同設計方法。最后，通過仿真驗證了所提方法的有效性。

網絡控制系統；事件觸發器；量化控制；二次性能指標；協同設計

網址：www.sys-ele.com

0 引 言

網絡控制系統（networked control system，N CS）因具有易擴展、成本低、連接線少等諸多優點，得到了深入的研究與廣泛應用。然而，網絡控制系統也存在著數據丟包、延時、帶寬受限等問題，從而影響到控制系統的性能。針對帶寬受限問題，通過引入事件觸發機制減少信息傳輸次數，可降低帶寬占用以提高網絡服務性能。因而，事件觸發機制的設計成為解決網絡控資源受限問題的重要途徑之一。

事件觸發機制因其“按需傳輸”的特性，在帶寬受限的網絡控制系統中得到廣泛研究［1-7］。文獻［1］針對具有通信時延和數據丟包的網絡控制系統，給出了非理想通信條件下保證系統漸近穩定的事件觸發機制和H∞控制器協同設計的方法。文獻［2-4］針對網絡控制系統中狀態不完全可測情況，研究了基于事件觸發的輸出反饋控制問題。文獻［5-6］針對帶有擾動的網絡控制系統，分別設計了使系統有界穩定的事件觸發條件和使系統指數穩定并具有H∞性能指標的事件觸發條件和控制器增益。文獻［7］針對一類連續時間非線性系統，基于系統狀態和最優預測狀態間的誤差，給出了保證系統有界穩定的事件觸發模型預測控制算法。該算法通過降低優化問題的求解頻率節約了計算資源。文獻［8］針對分布式事件觸發控制系統，針對每個傳感器單獨設計事件觸發條件，并利用啟發式算法實現了事件觸發參數的在線自適應調整。針對網絡控制系統的性能優化問題，文獻［9］基于二次性能指標最優研究了保證系統漸近穩定和二次性能指標最小的調度器和控制器的協同設計方法。然而，網絡控制系統作為一類離散數字控制系統通常要采用量化器及量化控制，上述研究結果未考慮網絡控制系統的量化問題。針對網絡控制系統中的量化問題，文獻［10-12］采用靜態量化器，給出了保證系統漸近穩定的事件觸發條件和控制器增益協同設計方法。為了減小靜態量化器的量化誤差，帶有動態量化器的量化控制問題得到了廣泛研究。文獻［13］提出了一種在線更新量化器參數的控制策略，并使系統具有H∞性能指標。文獻［14-15］分別針對線性、非線性系統研究了時變量化器作用下的的量化控制問題，通過調整量化誤差界使得系統全局漸近穩定。針對另一種由靜態量化器和縮放因子聯合構成的動態量化器，文獻［16］研究了線性系統的量化輸出控制問題，聯合設計了使系統穩定動的態量化器和輸出反饋控制器。文獻［17］針對一類帶有非線性干擾的線性系統的量化反饋問題，通過改造水平-中心型均勻量化器設計了使量化誤差指數趨于零的量化策略，并給出了保證系統輸入-狀態穩定（input-to-state stability，ISS）穩定的充分條件。以上研究僅單一考慮了保證系統漸近穩定的觸發機制或量化器的設計及量化控制問題。為進一步提高網絡控制系統的綜合性能，降低設計的保守性，本文將在已有的研究基礎上尋求使得系統漸近穩定并具有最小二次性能指標的觸發器、動態量化器和控制器協同設計方法。

本文主要工作和貢獻是針對一類資源受限的離散時間網絡控制系統，提出一種基于性能優化的事件觸發機制和量化控制協同設計方法。該方法通過事件觸發來降低網絡帶寬占用并用動態量化器減少量化誤差，建立網絡控制系統的離散時間切換系統模型，利用分段李雅普諾夫函數和線性矩陣不等式（linear matrix inequality，L MI）技術，給出使系統漸近穩定并具有最小二次性能指標的事件觸發參數、控制器增益和動態量化器參數的協同設計策略。

1 問題描述

考慮一類離散時間線性時不變網絡控制系統：

式中，x（k）∈Rn，u（k）∈Rm，y（k）∈Rn分別為被控對象的狀態變量、控制輸入、輸出變量；A，B，C均為適維矩陣。

圖1 網絡控制系統結構

假設1 傳感器為時間驅動，采樣周期為h，控制器和執行器均為事件驅動，且數據傳輸采用單包傳輸。

網絡控制系統的結構如圖1所示，系統在每個采樣時刻的采樣狀態記為x（k）（k=0，1，2，…）。事件觸發器根據觸發條件判斷該采樣狀態是否需要經網絡傳輸。（k）表示k時刻經過觸發器之后的傳輸狀態，（k）表示經過量化器（·）作用后的狀態信息。（k）和u（k）分別表示經過量化器（·）前后的控制輸入。

事件觸發條件設計如下：

式中，＾x（k-1）表示最近一次傳輸的狀態，當系統當前狀態x（k）滿足觸發條件（2）時更新傳輸的狀態信息。σ是根據二次性能指標（5）確定的最優閾值參數。記

則有

選取如下二次性能指標：

式中，Q=diag｛Q1，Q2｝∈R（n+m）×（n+m），Q1∈Rn×n，Q2∈Rm×m均為正定矩陣。

且具有如下性質：

動態量化器可表示為

因此，動態量化器的量化范圍和量化誤差界分別為Mμ 和Δμ。根據量化器的輸入值v在每個采樣時刻對μ進行調整。具體調整方法分為兩個階段：當初始狀態未知時，增加μ直到v能夠被測量到，即v位于量化范圍之內，此時，v的值將迅速下降到趨于0的鄰域；當v在0的鄰域時，減少μ，使v收斂至平衡點。通過不斷調整縮放因子μ的大小，減少量化誤差對系統的影響，并使網絡控制系統最終漸近穩定。當v∈Rn，即v為向量時，Q（v）=（Q（v1），Q（v2），…，Q（vn））。

采用如下控制器：

式中，K為控制器增益。根據式（9），經量化器作用有

令η（k）=（xT（k）（k-1））T，則由式（1）、式（4）、式（10）～式（12）得閉環網絡控制系統狀態方程為

式中

本文研究目標是針對閉環網絡控制系統（13），設計事件觸發條件（2）的閾值參數、控制器增益（10）以及動態量化器的調整策略式（11）、式（12），使得系統漸近穩定并滿足二次性能指標（5）最小。即

2 基于二次性能的事件觸發機制和量化控制協同設計

引理1［18］給定對稱矩陣，其中S11是 r×r的矩陣，則以下3個不等式是等價的：

引理2［19］對于任意適當維矩陣X，Y和任意常數ε＞0，下列矩陣不等式成立：

定理1 針對閉環網絡控制系統（13），采用事件觸發機制（2）、量化器（11）、（12）和控制器（10），若存在正定矩陣P0∈R2n×2n，P1∈R2n×2n，Q∈R（m+n）×（m+n），常數0＜σ＜1，量化器的縮放因子μ1k，μ2k，使得Pα（k+1）=P0，P1時，式（15）成立，則閉環網絡控制系統（13）漸近穩定且二次性能指標（14）的上界最小。

其中

證明 （1）引入分段二次李雅普諾夫函數：

式中，η（k）=（xT（k）（k-1））T；Pα（k）∈R2n×2n為對稱正定矩陣。

如果對任意η（k）≠0，ΔV（k）滿足

式中，tr（·）表示矩陣的跡，根據

因此式（19）等價于最小化性能指標式（14）的上界，即式（15a）。

（2）穩定性條件：

根據式（4）、式（11）、式（12）有

記

下面針對不同狀態下的α（k）討論系統的漸近穩定性：

（1）α（k）=0時，即k時刻未觸發，根據事件觸發條件（2）有：eT（k）e（k）＜σxT（k）x（k），假設k+1時刻的觸發狀態未知，則

由量化器的縮放因子調節規律式（15d）和式（15e），存在一個ε∈（0，1）使得下式成立：

根據量化器性質（7），當|＾x（k）|≤M1μ1k，|ˉu（k）|≤M2μ2k時，有

由式（15b）與式（23）知

即式（17）成立。

（2）同理，當α（k）=1，即k時刻觸發時，根據事件觸發條件（2）有：eT（k）e（k）≥σxT（k）x（k），假設k+1時刻的觸發狀態未知，令

根據式（15c）知Φ1＜0，有

J′＜-ε2λmin（-Φ1）|η（k）|2＜0，即式（17）成立。綜上可知，閉環網絡控制系統（13）漸近穩定。證畢

下面定理2是將定理1轉化為具有線性矩陣不等式約束的優化問題。

定理2 針對閉環網絡控制系統（13），采用事件觸發機制（2）、動態量化器（11）（12）和控制器（10），若存在正定矩陣P0∈R2n×2n，P1∈R2n×2n，Y ∈R（m+n）×（m+n），以及常數0＜σ＜1，矩陣K，量化器縮放因子μ1k，μ2k，使得Pα（k+1）=P0，P1時式（24）成立，則閉環網絡控制系統（13）漸近穩定且二次性能指標（14）的上界（19）最小。即定理1的優化問題轉化為以下L MI優化問題：

式中

證明 由引理1，式（15b）可轉化為

再次利用引理1，式（25）可轉化為

式（26）分別左乘、右乘diag｛I，Pα（k+1），I｝，有

由引理2，分離Pα（k+1）、K得

由引理1，式（28）可轉化為

令Y=Q-1，可得式（24b）。

同理，式（15c）可轉化為

令Y=Q-1，可得式（24c）。綜上可知定理2成立。證畢

3 算例仿真

考慮N CS中被控對象離散時間狀態方程如下：

根據定理2，利用L MI工具箱求得

不同的觸發狀態下對應的量化器參數范圍如下：

設定系統的采樣周期為0.1 s，初始狀態為x（0）=［-6 6］T，量化器縮放因子分別取μ1k=0.3，μ2k=4.6。基于上述事件觸發機制和量化控制的閉環網絡控制系統的觸發時刻及狀態響應曲線如圖2和圖3所示，表1給出了事件觸發閾值取不同值時對應的二次性能指標。

圖2 事件觸發時刻和觸發間隔

表1 不同事件觸發閾值對應的二次性能指標

圖3 系統狀態響應

由圖2和圖3仿真結果可知，本文所設計的事件觸發機制和量化控制策略，可以明顯減少觸發次數并保證該閉環網絡控制系統的漸近穩定性。表1表明，本文設計方法在不明顯占用額外帶寬的情況下可使二次性能指標最小。因此，上述基于二次性能指標的事件觸發機制和量化控制協同設計策略，不僅減少了帶寬占用且保證了閉環網絡控制系統的漸近穩定性和二次性能指標最小。

4 結 論

本文主要針對一類資源受限的離散網絡控制系統，研究了使系統漸近穩定且二次性能指標最小的事件觸發器和控制器的協同設計方法。文中采用帶有縮放因子的動態量化器，根據量化特性和事件觸發機制將系統建模成具有不確定參數的離散時間切換系統；根據分段李雅普諾夫函數和線性矩陣不等式技術將性能指標最優問題轉化為具有線性矩陣不等式約束的優化問題，并給出了最優事件觸發參數、控制器增益和量化器的參數調整范圍。最后，通過仿真，驗證了該設計方法可以在減少帶寬占用的同時保證系統漸近穩定且二次性能指標最小。本文后續工作將進一步研究實現事件觸發參數的自適應在線動態調整方法。

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Co-design of event-trigger and quantized control for networked control systems

Ma Qiao-li，Zhou Chuan，Chen Lan-lang
（School of Automation，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）

A co-design scheme of event-triggered mechanism and quantized control based on optimal performance for a class of discrete-time networked control system（N CS）with resource constrained is proposed. The proposed method can reduce the occupation of network bandwidth by event-triggered mechanism and also reduce the quantized error by using dynamic quantizer with adjustable zoo ming parameters，then the N CS is modeled as a discrete-time switched system with uncertain parameters.Furtherm ore，based on the requirement of stability and quadratic performance index，the design problem is converted into an optimization problem with linear matrix inequality（L MI）constraints by using piecewise Lyapunov function and L MI techniques，and the co-design method of corresponding event-trigger parameter，the adjustable parameter of dynamic quantizer and controller gain is provided to ensure asymptotic stability and minim u m quadratic performanceindex.Finally，we verify the effective of the proposed scheme by simulation.

networked controlsystems；event-trigger；quantized control；quadratic performanceindex；co-design

T P 13

A

10.3969/j.issn.1001-506 X.2016.03.27

1001-506 X（2016）03-0652-06

2015-09-23；

2015-10-25；網絡優先出版日期：2015-11-23。

網絡優先出版地址：http：∥w w w.cnki.net/kcms/detail/11.2422.T N.20151123.1324.010.html

南京理工大學研究生創新計劃項目（NJU S T GIP201408）資助課題

馬巧利（1990-），女，碩士研究生，主要研究方向為網絡控制系統的調度與控制。

E-mail：maqiaoli11@163.com

周 川（1970-），男，博士、教授，主要研究方向為系統的故障診斷與重構控制、網絡控制系統的分析與設計。

E-mail：njust_zc@126.com

陳蘭浪（1994-），男，主要研究方向為網絡控制系統。

E-mail：chenlanlang2015cll@163.com