任意壽命分布單元表決系統備件需求量的解析算法

劉任洋，李慶民，王 慎，李 華（海軍工程大學兵器工程系，湖北　武漢430033）

任意壽命分布單元表決系統備件需求量的解析算法

劉任洋，李慶民，王 慎，李 華
（海軍工程大學兵器工程系，湖北武漢430033）

表決結構廣泛存在于裝備的可靠性設計中。針對表決系統備件需求計算困難、不準確的問題，提出了一種基于壽命分布等效的表決系統備件需求量計算方法。首先通過R-等效方法將系統中的非指數單元轉化為指數單元；而后將多指數單元表決系統等效為伽馬系統并給出等效伽馬系統參數的經驗計算公式；在此基礎上以可用度為保障約束指標，利用伽馬分布的可加性得到備件計算結果；最后在實際算例中，通過與仿真結果的比較表明，此解析算法對于指數單元具有較高精度，對于非指數單元，在可用度較高的情況下亦能滿足精度要求。

表決系統；R-等效；伽馬等效；備件需求量；可用度

網址：w w w.sys-ele.co m

0 引 言

在裝備的可靠性設計中，為了滿足一定的可靠性要求，通常采用表決結構作為一種冗余設計來提高裝備的整體可靠度［1-4］：即在N 個單元組成的系統中，只要有k（1≤k≤N）個單元正常工作，系統則不會失效，記為k/N（G）。備件作為裝備維修保障的重要資源，影響著裝備的作戰能力和全壽命保障費用［5-6］。因此，精確計算備件需求量不論是對裝備的保障性設計還是裝備的有效運行都具有重要意義。

國內外已有很多學者對表決系統的備件需求和配置問題開展研究。文獻［7］分析了k/N冷備份冗余系統的建模方法，給出了精確和近似兩種計算單層級k/N系統可用度的方法；文獻［8］從單部件可用度入手，分析和推導了冷備份系統可用度的計算方法；文獻［9］研究了備件保障與裝備戰備完好性的關系，建立了k/N系統的備件配置優化模型；文獻［10］針對已有研究未考慮備件報廢的問題，將報廢率引入k/N系統的備件配置模型中；國軍標《備件供應規劃要求》中將多指數k/N 系統假設為串聯結構，即只要有一個單元失效則立即開展換件維修工作，從而利用“指數壽命件備件需求模型”能很方便的得到備件結果。

盡管以上對表決系統備件需求的研究取得一定的成果，但在實際應用中還存在以下不足：首先，現有研究幾乎都是假設系統中單元壽命服從指數分布，而對非指數分布的情況討論較少；其次，對于故障單元的更換方式，大部分文獻均采用“壞一件換一件”的模式［11-13］，但在某些場合，如執行任務的艦艇編隊，由于時間緊急，對故障件進行頻繁的更換和維修往往影響任務的執行，此時，采用批量更換策略卻能起到更好的效果；第三，國軍標將表決系統假設為串聯系統的方法雖然易于計算，但得到的備件需求結果是保守、不準確的。

針對上述問題，本文提出一種表決系統備件量的解析算法。依次通過R-等效和伽馬等效過程將任意壽命分布單元表決系統等效為伽馬系統；根據伽馬分布的可加性，以部隊常用的可用度為保障約束指標，對系統備件量進行迭代求解。

1 基于R-等效的任意分布單元指數近似方法

1.1 R-等效原理

由于指數分布失效率為常數，能大大簡化備件計算過程，因此在處理非指數單元時若能將其等效為指數單元就可為備件需求計算帶來方便。文獻［14］提出了基于累計失效次數相等的指數近似方法，該方法精度較高且易于實現，本文在其基礎上根據失效次數與可用度之間的關系，引入R-等效（可靠度相等）原則將表決系統中的非指數單元轉化為指數單元。

可靠度函數R（t）的定義為系統在指定條件下和指定的時間t內不發生故障的概率。指數型單元的可靠度函數為

R-等效原理就是從表征單元壽命的基本參數出發，采用可靠度相等的原則，將非指數單元等效為指數單元。設任務時間為T，則有

式中，λe為等效指數單元的失效率，得到

一般來說，故障時刻在平均壽命E處的概率較大。通過大量試驗表明，當任務時間超過平均壽命時仍用平均壽命代入計算具有更高的精度：

R（T）的物理意義為單元能夠正常工作至時間T的概率，若按一定的統計方法對失效次數進行統計，就能對其進行估計。以下給出幾種典型壽命分布單元的R-等效計算方法。

1.2 威布爾型單元等效方法

對于服從尺度參數為α，形狀參數為β的威布爾單元W（α，β），其可靠度函數［15］為

平均壽命為

1.3 正態型單元等效方法

對于服從均值為μ，標準差為σ的正態單元N（μ，σ），其可靠度函數為

平均壽命為μ。根據R-等效原則，在任務時間T內，得到等效指數單元失效率

1.4 伽馬型單元等效方法

對于服從形狀參數為a，尺度參數為b的伽馬單元G（a，b），其可靠度函數為

2 基于伽馬等效的表決系統備件量確定

2.1 伽馬等效原理

在可靠性理論中，指數分布是a=1的伽馬分布，伽馬分布是指數分布的推廣。由伽馬分布性質可知，N個伽馬分布之和仍為伽馬分布。針對表決系統壽命分布難確定的問題，如果能將其等效為伽馬分布，則利用伽馬分布的可加性能很好模擬系統的換件過程從而快速方便的計算備件需求量。

依據沖擊失效理論：壽命服從伽馬分布的系統G（a，b），可經受若干次外界沖擊，而當沖擊次數累積達到a次時系統就會失效。根據k/N表決系統定義：當失效單元數量累積到（N-k+1）時，該系統會失效。因此，G（a，b）系統和k/ N表決系統二者在失效條件上的物理意義是等效的。

通過上述分析，本文在R-等效的基礎上將多指數單元表決系統近似等效為壽命服從伽馬分布的伽馬系統G（a，b）。如果表決系統有足夠的壽命樣本，參數a、b可通過樣本擬合的方式得到，但實際保障過程中可得的裝備故障數據往往很少，這將嚴重影響擬合效果造成參數估計不準確。

本文給出一種求解參數a、b的經驗公式。k/N系統可靠度函數為

式中，Rs（t）為系統可靠度；R（t）為單元可靠度。對于服從任意壽命分布的單元，經R-等效后均可近似看作失效率為λe的指數分布，則有

進而得到k/N系統平均壽命

將k/N系統等效為伽馬系統G（a，b）后，由伽馬分布性質可知Es=ab，因此，令a=N-k+1，則b此經驗公式操作簡單，不需要獲取系統的壽命樣本，可為工程應用帶來便利。

2.2 表決系統備件量確定流程

在換件維修模式下，壽命服從參數（a，b）的伽馬系統，假設備件更換時間忽略不計，則系統在n次換件下的壽命仍服從伽馬分布，其參數為（a（n+1），b）。本文選取可用度作為系統的保障指標，其計算公式為

Req（t）為考慮換件次數下等效伽馬系統G（a（n+1），b）的可靠度函數

式（16）建立了可用度與換件次數之間的關系，因此在給定的可用度指標下即可利用該式不斷迭代計算換件次數和備件量。下面給出由任意分布單元構成的表決系統備件量計算流程，如圖1所示。

圖1 任意分布單元表決系統備件需求量計算流程

步驟1 根據R-等效原則，利用式（4）將k/N系統中的非指數單元等效為指數單元。

步驟2 將等效后的多指數單元系統等效為伽馬系統G（a，b）。參數a，b的經驗計算公式如下：

步驟3 設置保障指標目標值A0，令換件次數n=0。

步驟4 通過式（15）計算保障系統指標A。

步驟5 若A≥A0，則得到單元備件需求量S=n× （N-k+1），否則置n=n+1，轉入步驟4。

3 算例分析

某8/10系統由10個蓄電池單元組成，當有效單元數量少于8個時，該系統發生故障，對失效單元進行換件維修。系統可用度目標值A0設為0.98，任務時間T為1 500 h。為了更充分的說明本文方法的正確性和有效性，以下分別以單元壽命服從指數分布、威布爾分布、正態分布以及伽馬分布為例進行計算和討論。

（1）當單元壽命服從λ=1/1 000的指數分布時，本文和仿真方法所得備件需求量都為15，算法的迭代過程如表1所示。圖2為該指數單元在不同任務時間下的備件量計算結果。

表1 指數單元（λ=1/1 000）備件量計算過程

圖2 本文方法和仿真方法的備件需求量對比

（2）當單元壽命服從（α，β）=（800，2）的威布爾分布時，本文和仿真方法所得備件需求量都為18，算法迭代過程如表2所示。圖3為該威布爾單元在不同任務時間下的備件量計算結果。

表2 威布爾單元（（α，β）=（800，2））備件量計算過程

圖3 本文方法和仿真方法的備件需求量對比

（3）當單元壽命服從（μ，σ）=（1 000，500）的正態分布時，本文和仿真方法所得備件需求量都為12，算法迭代過程如表3所示。圖4為該正態單元在不同任務時間下的備件量計算結果。

表3 正態單元（（μ，σ）=（1 000，500））備件量計算過程

圖4 本文方法和仿真方法的備件需求量對比

（4）當單元壽命服從（a，b）=（1 000，500）的伽馬分布時，本文和仿真方法所得備件需求量都為21，算法迭代過程如表4所示。圖5為該伽馬單元在不同任務時間下的備件量計算結果。

表4 伽馬單元（（a，b）=（0.8，1 000））備件量計算過程

圖5 本文方法和仿真方法的備件需求量對比

綜合以上算例可以看出，本文算法應用于指數單元時相對誤差最小，在0.05%～1.17%之間，這是因為本文描述的兩次等效過程都為近似等效過程，存在一定的誤差積累，而指數單元只需對其進行一次伽馬等效，這也說明了本文的伽馬等效方法具有較高的精度。對于其他分布類型的單元，在可用度較低時相對誤差普遍較大，如威布爾單元在備件量為0時，可用度的相對誤差達到了31.95%，但隨著可用度的逐漸增大，相對誤差逐步減小至0.95%。事實上，雖然在低可用度下誤差較大，但本文提出的等效算法仍有其適用性：首先，低可用度下的備件配置結果或可用度評估往往不是裝備保障人員所關心的，因為通常情況下，為了保證裝備的戰備完好性和執行任務的能力，一般要求可用度在0.8甚至0.95以上，而在這個范圍內，以上算例中誤差最大值僅為伽馬單元的2.42%，完全滿足一般的精度要求；其次，本文解析算法的耗時僅為仿真方法的十分之一，在面對大批量備件需求計算問題時具有明顯優勢。

另外還需說明的是，雖然解析方法的備件量計算結果與仿真方法有時存在較大差別，但這主要是批量換件導致的，實際的換件次數誤差最多為1次。

4 結束語

本文提出了基于R-等效、伽馬等效的表決系統備件量計算模型，能對任意壽命分布單元構成的表決系統備件量進行求解。算例中通過與仿真結果的比較表明，本文等效方法對指數單元具有較高精度，對于其他分布單元，在部隊較為關心的高保障指標范圍內，其精度也能滿足要求。

［1］Krishnan R，Somasundaram S.Reliability analysis of repairable consecutivek-out-of-n：G systems with sensors and repairmen［J］.International Journal of Quality&Reliability Management，2011，28 （8）：894-908.

［2］Fang Y F，Chen J J，Cao H J.Analysis of dynamic reliability of the repairablek-out-of-nsystem under several times random shocks［J］.Journal of Xidian University，2014，41（5）：180-184.（方永鋒，陳建軍，曹鴻鈞.可修復的k/n表決系統的可靠性分析［J］.西安電子科技大學學報，2014，41（5）：180-184.）

［3］W u W Q，Tang Y H，Y u M M，et al.Reliability analysis of akout-of-n：G repairable system with single vacation［J］.Applied Mathematical Modeling ，2014，38（24）：6075-6097.

［4］S midt-Desto m bes K S D，Heijden M C V D，Harten A V.A vailability ofk-out-of-nsystems under block replacement sharing limited spares and repair capacity［J］.International Journal of Production Economics，2007，107（2）：404-421.

［5］Francesco C，Giulio D G，M assim o T.M ulti-echelon，m ulti-indenture spare partsinventory control subject to system availability and budget constraints［J］.Reliability Engineering and System Safety，2013，119（1）：95-101.

［6］Luo Y，Ruan M Z，Li QM.Configuration project optimization for repairable spare parts under discretional structures［J］.Systems Engineering and Electronics，2012，34（9）：1865-1871.（羅，阮智，李慶民.任意結構下可修復備件的配置方案優化［J］.系統工程與電子技術，2012，34（9）：1865-1871.）

［7］Wang N C，M a L，Guo L H，et al.Availability for repairable redundancy system with the restriction of spare parts［C］∥Proc.of the18th International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management，2011：1096-1098.

［8］de Smidt-Destombes K S，Van E N P，Barros A L，et al.A spare parts model with cold-standby redundancy on system level［J］.Computer and Operations Research，2011，38（7）：985-991.

［9］Nie T，Sheng W.Research on two-echelon supply support optimizing for repairable spare parts ofK：Nsystem［J］.Systems Engineering and Electronics，2010，34（7）：1452-1455.（聶濤，盛文.K：N系統可修復備件兩級供應保障優化研究［J］.系統工程與電子技術，2010，34（7）：1452-1455.）

［10］Xue T，Feng YW，Qin Q.Optimization of repairable spare parts for K/Ncold-standby redundant system considering scraps［J］.Journal of South China University of Technology （National Science Edition），2014，42（1）：41-46.（薛陶，馮蘊雯，秦強.考慮報廢的K/N冷備份冗余系統可修復備件優化［J］.華南理工大學學報（自然科學報），2014，42（1）：41-46.）

［11］Ruiz-Castro J E，Li Q L.Algorithm for a general discretekout-of-n：G system subject to several types of failure with an indefinite number of repairpersons［J］.European Journal of Operational Research，2011，211（1）：97-111.

［12］Zhang Y L，W u S M.Reliability analysis for ak/n（F）system with repairable repair-equipment［J］.Applied Mathematical Modelling，2009，33（7）：3052-3067.

［13］Chakravarthy S R，Go mez-Corral A.The influence of delivery times on repairablek-out-of-nsystem with spares［J］.A pplied Mathem atical Modelling，2009，33（5）：2368-2387.

［14］Liu T H，Zhang Z H，Liang S J，et al.Analytical algorith m of spare demand for Weibull-type repairable system［J］.Systems Engineering and Electronics，2012，34（5）：966-972.（劉天華，張志華，梁勝杰，等.威布爾型可修備件需求量的解析算法研究［J］.系統工程與電子技術，2012，34（5）：966-972.）

［15］Gan M Z，Kang J S，Gao Q.Military equipment maintenance engineering［M］.2nd ed.Beijing：National Defense Industry Press，2010.（甘茂治，康建設，高崎.軍用裝備維修工程學［M］. 2版.北京：國防工業出版社，2010.）

Analytical algorithm of spare demand for voting system of any life distribution units

LIU Ren-yang，LI Qing-min，W A N G Shen，LI Hua
（Department of Weaponry Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

The voting structure is widely used in reliability design of equipment.For the co m putation of spare demand for the voting system is difficult and inaccurate，a method to calculate spare demand for the voting system is proposed based on life distribution equivalence.First，non exponential units are converted to exponential units by R-equivalence.Then the voting system of exponential units is converted to Gam ma system and the parameter calculation formulas for the equivalent system are presented.With constrains of availability index，the spare demand results are obtained based on the additive property of Gamma distribution.Finally，in the actual example compared with simulation results，the analytical algorith m put forward in this paper owns high precision for exponential units and can also meet precision demands under high availability for non exponential ones.

voting system；R-equivalence；Gamma equivalence；spare demand；availability

E 911；TJ 761.1

A

10.3969/j.issn.1001-506 X.2016.03.36

1001-506 X（2016）03-0714-05

2015-02--02；

2015-09-05；網絡優先出版日期：2015-12-14。

網絡優先出版地址：http：∥w w w.cnki.net/kcms/detail/11.2422.T N.20151214.1348.006.html

總裝預研基金（51304302，51304303）資助課題

劉任洋（1989-），男，博士研究生，主要研究方向為裝備綜合保障。

E-mail：463572090@qq.com

李慶民（1957-），男，教授，博士，主要研究方向為武器系統對抗仿真、裝備保障模擬與仿真。

E-mail：licheng0001@hotmail.com

王 慎（1983-），男，工程師，博士，主要研究方向為裝備綜合保障仿真。

E-mail：wangshen_hust@163.com

李 華（1972-），男，高工，博士，主要研究方向為武器系統對抗仿真、裝備保障模擬與仿真。

E-mail：akbng094nba@163.com