基于新蘊涵算子的剩余格

程惠茹

（河南師范大學數學與信息科學學院，河南　新鄉453007）

基于新蘊涵算子的剩余格

程惠茹

（河南師范大學數學與信息科學學院，河南新鄉453007）

定義了一個新的蘊涵算子，證明了該蘊涵算子能構成剩余格和可交換剩余格，還證明了BL-代數是可交換剩余格的特殊情況。

蘊涵算子；剩余格；BL-代數

1986年，K.T.Atanassov提出了直覺模糊集（IFS）的概念，并發展了Zadeh模糊集的相關理論［1-2］。直覺模糊集的推導技巧為描述和處理事物的模糊性、系統的不確定性和魯棒性提供了有效方法，直覺模糊蘊涵算子和剩余格理論在模糊推理中發揮著重要的作用。張建名等［3］研究了BL-代數中的廣義模糊慮子。ZHU Yiquan等［4］研究了剩余格中的慮子理論。薛占熬等［5］研究了基于Lukasiewicz的直覺模糊三I蘊涵算子的RIL。YU Shan等［6］研究了廣義直覺模糊函數的不定積分。徐澤水［7］給出了決策度量中直覺模糊數的排序方法，并研究了區間直覺模糊信息的集成方法和它在決策中的應用。周曉輝等［8］研究了三角模糊數直覺模糊Bonferroni平均算子及其應用。秦華妮等［9］對直覺模糊集的結構化進行了分析。B.Davvaz等［10］對粗糙直覺模糊信息系統進行了研究。A.Saha等［11］研究了軟區間值直覺模糊粗糙集。K.V.Thomas等［12］研究了格上的粗糙直覺模糊集。GONG Zengtai等［13］研究了變精度直覺模糊粗糙集模型及應用。在此基礎上，筆者定義了一個新的蘊涵算子，證明了該蘊涵算子既可以構成剩余格，又可以構成可交換剩余格，并證明BL-代數是可交換剩余格的特殊情況。

1　基礎知識

定義1［1-2］：設U是一個非空論域，U上的直覺模糊集A定義為，其中，μA(x): U→[0,1]和νA(x): U →[0,1]分別表示A的隸屬函數和非隸屬函數，且對于任意的x∈ U，有

定義2［1-2］：設A和B為直覺模糊集，對于x∈U，記，這兩個直覺模糊集的包含關系、等價關系定義為如下形式：1）A?B，并且μA(x)≤μB(x)，νB(x)≤νA(x)；2）A= B，并且μA(x)=μB(x)，νA(x)=νB(x)。

定義3［1-2］：設A和B為直覺模糊集，對于x∈U，記這兩個直覺模糊集的交、并和補運算定義為如下形式：1）2）

2　基于新蘊涵算子的剩余格

蘊涵算子在模糊邏輯推理中起著關鍵作用，下面根據定義1、定義2和定義3構造新的蘊涵算子，并證明該蘊涵算子能構成剩余格和可交換剩余格。

定理1：設A、B和C為直覺模糊集，若直覺模糊蘊涵?關于第一個變量是單調遞減的，關于第二個變量是單調遞增的，則有以下結論成立：

1）由A?B可以得出B?C?A?C；

2）由B?C可以得出A?B?A?C 。

證明：1）由定義2及條件A?B可知，μA(x )≤ μB(x)，νA(x)≥νB(x)。又由定義4可知，，A?C=?x,?μA(x)。由μA(x)≤μB(x)和νA(x)≥ νB(x)，有故有，則有B?C?A?C成立。

由定義2及條件B?C可知，μB(x)≤μC(x )， νB(x)≥νC(x)，又由定義4可知，。由μB(x)≤μC(x )，有，又由νB(x)≥νC(x )，有，則有A?B?A?C成立。

定義5［14］：設P是偏序集，稱P上的二元運算?與→為互為伴隨是指以下條件成立：1）?:P×P→P關于兩個變量都是單調遞增的；2）→:P×P→P關于第一變量是不增的，關于第二變量是不減的；3）對于任意的a、b、c∈P，有a?b≤c當且僅當a≤b→c。

把“→”拓展到直覺模糊集上，用符號“?”表示，當P上的二元運算?與?互為伴隨時，稱(?,?)為P上的伴隨對。

定義6［14］：有界格L稱為可交換剩余格是指以下條件成立：1）L上有伴隨對(?,?)；2）是帶單位元1的交換半群，其中1是L的最大元。

定理2：(RS,∩,?)為剩余格的充分條件是以下結論成立：1）∩是不減的，即A≤B時，有A∩C≤B∩C；2）?關于第二個變量是不減的，即B≤C時，有A ?B≤A?C；3）?關于第一個變量是不增的，即A≤B時，有B?C≤A?C；4）A∩B≤C當且僅當A≤B?C；5）∩滿足結合率，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；6）∩滿足交換率，即A∩B=B∩A；7）∩以1為左單位元，即1∩A=A。

證明：結論1）、結論2）和結論3）已由定理1證明，結論5）和結論6）可由定義3得出，下面僅證結論4）和結論7）。

由以上證明過程可知，A∩B≤C當且僅當A≤B?C，即結論4）成立。

定理3：代數結構(RS,∩,?)為可交換剩余格的充分必要條件是以下結論成立：1）(L,∧,∨,0,1)是有界格，相應的序為≤，0和1分別為最小元和最大元；2）(L,∧,1)是單位元為1的可交換半群；3）對于任意a、b、c∈L，a∧b≤c當且僅當a≤b?c。

證明：由定理2的證明過程可知，(RS,∩,?)是可交換剩余格。

定理4：設(L,∧,∨,?,?,0,1)是一個可交換剩余格，如果對于任意的x、y、z∈L，有A∧B=A?(A?B)和(A?B)∨(B?A)=1成立，則(L,∧,∨, ?,?,0,1)構成BL-代數。

綜上所述，可知(L,∧,∨,?,?,0,1)是一個BL-代數。

在定理4中，(A?B)∨(B?A)=1稱為預線性公理。

例如，閉區間［0，1］關于自然序、運算min(∧)和max(∨)、任意確定的連續t-模(?)及其相伴剩余蘊涵(?)構成一個BL-代數([0,1];min,max,?,?)。

可以驗證，BL-代數是特殊的可交換剩余格。

［1］ATANASSOV K T.Intuitionistic Fuzzy Sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1986，20:87-96.

［2］ATANASSOV K T，GARGOV G.Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Sets［J］.Fuzzy Sets and Systems，1989，31 （3）:343-349.

［3］ZHANG J M，YANG Y.Some Types of Generalized Fuzzy Filters of BL-algebras［J］.Computers and Mathematics with Applications，2008，56:1604-1616.

［4］ZHU Y Q，XU Y.On Filter Theory of Residuated Lattices ［J］.Information Sciences，2010，180（19）:3614-3632.

［5］薛占熬，劉杰，程惠茹，等.基于Lukasiewicz的直覺模糊三I蘊涵算子的RIL［J］.南京大學學報（自然科學），2015 （1）：99-104.

［6］YU S，XU Z S，XU J P，et al.Indefinite Integrals of Generalized Intuitionistic Multiplicative Functions［J］.Fuzzy Optimization and Decision Making，2015，14（4）:459-476.

［7］徐澤水.區間直覺模糊信息的集成方法及其在決策中的應用［J］.控制與決策，2007（2）：215-219.

［8］周曉輝，姚儉，吳天魁，等.三角模糊數直覺模糊Bonferroni平均算子及其應用［J］.計算機應用研究，2015（2）：434-438.

［9］秦華妮，洪智勇，駱達榮.直覺模糊集的結構化分析［J］.控制與決策，2015（3）：561-564.

［10］DAVVAZ B，JAFARZADEH M.Rough Intuitionistic Fuzzy Information Systems［J］.Fuzzy Information Engineering，2013，5（4）:445-458.

［11］SAHA A，ANJAN M.Soft Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Rough Sets［J］.Annal of Fuzzy Mathematics and Information，2015，9（1）:279-292.

［12］THOMAS K V，NAIR S L.Rough Intuitionistic Fuzzy Sets in a Lattice［J］.International Mathematical Forum，2011，6（27）:1327-1335.

［13］GONG Z T，ZHNAG X X.Variable Precision Intuitionistic Fuzzy Rough Sets Model and Its Application［J］.International Journal of Machine Learning and Cybernetics，2014，5（1）:263-280.

［14］王國俊.非經典邏輯與近似推理［M］.北京：科學出版社，2000：26-30.

【責任編輯王云鵬】

The Residuated Lattice Based on the New Implication Operator

CHENG Huiru
（College of Mathematics and Information Science，Henan Normal University，Xinxiang 453007，China）

A new implication operator was defined in this paper.It was proved to constitute residuated lattice and the exchangeable residuated lattice.BL-algebra was proved to be a special case of the exchangeable residuated lattice.

implication operator；the residuated lattice；BL-algebra

O141.1

A

2095-7726（2016）03-0007-03

2015-12-21

程惠茹（1985-），女，河南濮陽人，碩士，研究方向：直覺模糊集。