帶非線性阻尼項n維歐拉方程組經典解的爆破

朱旭生，趙康鑫，傅春燕，王　莉

(華東交通大學 理學院，江西 南昌 330013)

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帶非線性阻尼項n維歐拉方程組經典解的爆破

朱旭生，趙康鑫，傅春燕，王莉

(華東交通大學 理學院，江西 南昌 330013)

研究了n維空間帶非線性阻尼項的等熵歐拉方程組初值問題經典解的爆破。當初值條件有緊支集時，利用泛函方法，證明了如果非線性阻尼系數有界時，其初值問題的經典解必定會在有限時間內爆破。

非線性阻尼；歐拉方程組；泛函方法；經典解；爆破

0　引言

本文主要考慮如下n維等熵可壓縮歐拉方程組的初值問題：

(1)

對應的初始條件為：

(2)

對于歐拉方程組經典解的研究有很多，主要集中在一維或三維空間中歐拉方程組整體解存在[1-4]以及經典解的爆破[5-11]方面。文獻[1-3]分析了帶線性阻尼項的等熵歐拉方程組，當初始數據是常狀態附近的小擾動時，利用能量估計法，證明了經典解的整體存在。文獻[5,7-8]研究了不帶阻尼項的可壓縮歐拉方程組經典解的爆破。而對于帶非線性阻尼項的歐拉方程組的研究[4,6]卻很少。本文在文獻[6]的基礎上，將一維空間中的阻尼系數(α+f(u))推廣到n維空間的一般非線性函數α(ρ,u)。結合文獻[5]的方法，分別在m(0)≥0和m(0)<0這兩種條件下，通過構造適當的泛函，得到了當初始數據較大時，經典解不會整體存在的結論。

1　預備知識

定義

(3)

引理1[1]設(ρ,u)是初值問題(1)和初始條件(2)在Rn×[0,T)的C1解，則：

(4)

引理2[5]設(ρ,u)是初值問題(1)和初始條件(2)在Rn×[0,T)的C1解，則對所有的0≤t

m(t)=m(0)。

(5)

2　主要結論

定義：

F1(t)=∫Rnx·ρudx=∫B(t)x·ρudx；

(6)

(7)

當m(0)≥0時，若F1(0)足夠大，可以證明初值問題(1)和初始條件(2)的經典解會爆破。

證明由于

F1(t)=∫Rnx·ρudx=∫B(t)x·ρudx，

所以

再由初值問題(1)，通過分部積分得到：

(8)

其中：

可以采用H?lder不等式進行證明：

由于

所以

(9)

另外，對于∫B(t)α(ρ,u)x·ρudx的處理，有：

采用Schwarz不等式和基本不等式，對上式作以下處理：

所以

(10)

將式(9)和式(10)代入式(8)就可以化為：

(11)

再由Schwarz不等式得：

(12)

綜合式(11)和式(12)得：

(13)

當0≤t≤τ，式(13)可化為：

(14)

由定理1中條件可知：

所以式(14)可以改寫成：

(15)

然后對式(15)兩邊同時在[0,t]積分，就可得到：

(16)

注:一般情況下考慮0≤α(ρ,u)≤β，從定理1的證明過程中來看，當α(ρ,u)為負值時也成立，稱之為反阻尼系數。適當程度下，當初始數據較大時，經典解也必定會在有限時間內爆破。

當m(0)<0時，若F1(0)足夠大，同樣可以證明初值問題(1)和初始條件(2)的經典解會爆破。

證明一方面，同定理1中式(8)，再利用式(10)，有：

(17)

p′(ρ)=Aγργ-1>0，p″(ρ)=Aγ(γ-1)ργ-2>0。

所以，根據凸函數的性質以及m(0)<0，可得：

(18)

將式(18)代入到式(17)就可以化為：

(19)

另一方面，定理1中式(12)仍然成立，即：

(20)

綜合式(19)和式(20)得：

(21)

當0≤t≤τ，式(21)可化為：

(22)

再根據定理2假設條件可知：

所以式(22)可以改寫成：

(23)

定義：

(24)

(25)

定理3若(ρ,u)是初值問題(1)和初始條件(2)在Rn×[0,T)的C1解，若對任意固定的時刻τ>0，滿足：

則T<τ。

證明先對F2(t)進行求導，再由初值問題(1)，通過分部積分得到：

(26)

其中：

(27)

(28)

將式(27)和式(28)代入式(26)可以化為：

(29)

然后有Schwarz不等式：

(30)

綜合式(29)和式(30)得：

(31)

當0≤t≤τ， 再由定理3假設條件可知，式(31)可以化為：

(32)

注：從式(31)開始，也可作如下處理：

其余證明過程類似，不作贅述，同樣可得如下結論：

3　結束語

一般采用泛函方法來研究經典解的爆破，即往往是在某些初始數據的泛函較大時證明解必定在有限時間內爆破。當然，根據所提的不同條件也產生了各種不同爆破的結果，其中有些結果還未得到進一步的推廣。例如從不帶阻尼項到帶阻尼項情形的爆破結果還需要完善，尤其帶非線性阻尼項的研究成果較少。另外，在有界區域考慮經典解的爆破現象還未建立相關的結論。正因為歐拉方程組在流體力學中占有重要的地位，所以研究可壓縮歐拉方程組意義重大。本文通過構造適當的泛函，研究了帶非線性阻尼項的可壓縮歐拉方程組初值問題的經典解，當初始泛函較大時，證得了經典解必定會在某一時刻前爆破。

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國家自然科學基金項目(61472138,11561024);江西省自然科學基金項目(20151BAB201017)

朱旭生(1968-),男,江西高安人,副教授,博士,主要研究方向為偏微分方程.

2016-03-08

1672-6871(2016)06-0085-06

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.06.018

O175.2

A