余ribbon Turaev π-代數

郭雙建，張曉輝

(1.貴州財經大學數學與統計學院，貴州 貴陽 550025；2.曲阜師范大學數學科學學院，山東 曲阜 273165)

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余ribbon Turaevπ-代數

郭雙建1，張曉輝2

(1.貴州財經大學數學與統計學院，貴州 貴陽 550025；2.曲阜師范大學數學科學學院，山東 曲阜 273165)

討論了Turaevπ-代數余模范疇中的pivotal群交叉結構和ribbon群交叉結構，引入余pivotal Turaevπ-代數和余ribbon Turaevπ-代數的定義，并分別給出Turaevπ-代數伴有余pivotal結構和余ribon結構的充要條件.

Turaevπ-代數；ribbon群交叉范疇；余ribbon結構；余pivotal結構

Hopfπ-(余)代數是拓撲學家Turaev于2000年研究三維流形在余鏈環上主π-叢的Hennings不變量時所引入的代數結構，該結構在量子場和向量叢中有著廣泛的應用.[1-2]從拓撲角度看，它是將3維流形的量子不變量推廣到帶有映射同調類的3維流形上；[3]從范疇論的角度看，它是將張量范疇推廣為群交叉張量范圍，這類范疇可以誘導帶有目標空間K(π,1)的3維同倫量子場；[4]從Hopf代數的角度看，即是將Hopf代數推廣為Hopfπ-(余)代數.[5]2002年，Virelizer對Hopfπ-(余)代數做了較系統的研究.[6]2006年，Caenepeel與De Lombaerde從范疇論的角度，給出了Hopfπ-(余)代數的一種解讀.[7]隨后，王栓宏[8-10]，Zunino[11-13]等學者也相繼對Turaevπ-(余)代數做了大量的相關工作.關于Turaevπ-(余)代數經典著作見文獻[14-16]等.為了構造新的辮子交叉范疇，Van Daele與王栓宏在2008年引入了弱turaevπ-(余)代數的概念，同時推廣了弱Hopf代數和Turaevπ-(余)代數.[17]這些概念的引入，對同類研究工作起到了奠基和推動作用.

本文在上述研究的基礎上，考慮Turaevπ-代數上的余模范疇，引入余pivotal Turaevπ-代數和余ribbon Turaevπ-代數的定義，并由此分別給出Turaevπ-代數伴有余pivotal結構和余ribbon結構的充要條件.

1　預備知識

定義1[5-6]設π為群，其單位元為e.一個π-代數是指一族k-空間H={Hα}α∈π，伴有一族k-線性映射m={mα,β：Hα?Hβ→Hα β}α，β∈π(稱為乘法)，和元素1H∈He(稱為單位)，滿足對任意的α，β，γ∈π，有

mαβ,γ(mα,β?idHγ)=mα,βγ(idHα?mβ,γ)，

mα,1(idHα?η)=idHα=m1,α(η?idHα).

對任意的α，β∈π，h∈Hα，ɡ∈Hβ，記hɡ=mα,β(h?ɡ).

定義2[5-6]一個π-代數H={Hα}α∈π被稱為Hopfπ-代數，若每個(HαΔα，εα)均為k-余代數(稱為H的第α分支)，且伴有如下結構：

(1) 乘法mα,β：Hα?Hβ→Hα β為余代數同態，即

Δα βmα,β=(mα?mβ)Δα β，

(1)

(εα?ξβ)=ξα βmα，β.

(2)

此處Δβ(ɡ)=ɡ(1,β)?ɡ(2,β)，其中h∈Hα，ɡ∈Hβ，l∈Hγ，α，β,γ∈π.

(2) 存在一族k-線性映射S={Sα：Hα→Hα-1}α∈π(稱為對極)，滿足

mα-1，α(Sα?idHα)Δα=εα11=mα，α-1(idHα?Sα)Δa.

(3)

其中h∈Hα，α∈π.

定義3[5-6]稱Hopfπ-代數H為Turaevπ-代數，若存在一族余代數同構ξ={ξβ：Hα→Hβ αβ-1}(稱為共軛或者交叉結構)，滿足：

(1)ξ保持乘法.對任意的α,β,γ∈π，有ξβξγ=ξβγ：Hα→H(βγ)α(βγ)-1，特別地，ξ1|Hα=idα.

(2)ξ與m相容.對任意的β∈π，有ξβ(hɡ)=ξβ(h)ψβ(ɡ).

(3)ξ與單位元1H相容.對任意的β∈π，有ξβ(1)=1.

(4)ξ保持對極.ξβSα=Sβ α β-1ξβ.

定義4[5-6]設H={Hα}α∈G為一族余代數.一個右H-π-余模是指一族k-空間M={Mα}α∈π，使得每個Mα均為右Hα-余模.此時記其余模結構為ρMα：Mα→Hα?Mα，其中ρM={ρMα}α∈π.

采用Sweedler符號來進行元素描述：對于m∈Mα，記余模作用為

ρMα(m)=m(-1,α)?m(0,α).

若M={Mα}α∈π和N={Nα}α∈π均為H-π-余模，稱一族映射f={fα：Mα→Nα}α∈π為π-余模同態，若對任意的α∈π，均有ρNαfα=(idHα?fα)ρMα.此時記H-π-余模范疇為MH，記其中的有限維余模子范疇為Corep(H).

定義5設π為群，e為π的單位元.設存在張量范疇(C,?，I，a,l,r)，C中存在一族以π為指標集的子范疇{Cα}a∈π，使得C為這族子范疇的無交并，且對任意的α,β∈π，當對象U∈Cα，V∈Cβ時，有U?V∈Cα β，則稱C為π-分次張量范疇，簡記為π-范疇.此時子范疇Cα稱為C的α-分支.

定義6[13]稱群交叉范疇C=(C，(·)*)為左rigid群交叉范疇，若C中容許左對偶，且滿足下面兩個條件：

(1) 設對象U∈Cα，則其左對偶U*為Cα-1中的對象；

(2) 共軛同構保持對偶關系，即對于β∈π，U∈C，有φβ(evU)=evφβ(U)，φβ(coevU)=coevφβ(U).其中ev為左賦值映射，coev為左余賦值映射.

類似地，可定義右rigid群交叉范疇.一個既為左rigid群交叉范疇又為右rigid群交叉范疇的張量范疇被稱為rigid群交叉范疇.

設C為rigid范疇.X，Y∈C，ɡ：Y→X為態射.則ɡ的左轉置映射ɡ*定義如下

于是此時可定義？*：X→X*，稱之為左對偶函子.類似地，稱*？：X→*X為右對偶函子.

定義7[13]稱rigid群交叉范疇C=(C，(·)*)為pivotal群交叉范疇，若C中存在一族從共軛右對偶函子到左對偶函子的張量自然同構?U：U(*U)→U*(其中U為C中對象)，滿足φα(?U)=?φα(U).

定義8[2]記C中從對象U到對象V的態射集為C(U,V).一個群交叉范疇C被稱為凝子群交叉范疇，若C中存在一族同構c={cU,V∈C(U?V，(UV)?U)}U,V∈C，使得下列條件成立：

(1) 對任意的α∈G，f∈Cα(U，U′)，ɡ∈C(V，V′)，有((αɡ)?f)°cU,V=cU′,V′°(f?ɡ)；

(2) 對任意的U，V，W∈C，有

(3) 對任意的U，V∈C，α∈π，有φα(cU,V)=cφα(U)，φα(V).

定義9[4]稱辮子rigid群交叉范疇C為ribbon群交叉范疇(或簡稱為ribbon群范疇)，若C存在自對偶扭曲，即存在一族同構θ={θU：U→UU}U∈C，滿足下列條件：

(1)θ是自然的，即對任意的α∈π，φ∈Cα(U，V)，有

θV°φ=(αφ)°θU；

(G1)

(2) 對任意的U∈Cα，V∈Cβ，有

θU?V=cU?VV,UU°cUU,VV°(θU?θV)；

(G2)

(3) 對任意的U∈C，α∈π，有

φα(θU)=θφα(U)；

(G3)

(4) 對任意的U∈Cα，有

(idUU?θUU*)°coevUU=(θU?idU*)°coevU.

(G4)

2　Corep(H)中的pivotal群交叉結構

從本節開始，約定H={(Hα，Δα，εα，Sα，ξα)}α∈π為Turaevπ-代數.

對任意的V∈Corepα(H)，令V*=*V=homk(V，k)，分別定義Hα-1的余模作用：

f(0,α-1)(v)?f(1,α-1)=f(v(0,α))?Sα(v(1,α))，v∈V，f∈V*；

定義賦值映射和余賦值映射如下：

其中ei和ei為V的對偶基.易證如上定義的V*為V的左對偶，*V為V的右對偶，因此Corep(H)是一個rigid范疇.此時，易知上述定義的交叉結構φ與賦值映射之間的相容性條件是滿足的，于是有如下命題.

命題1Corep(H)為rigid群交叉范疇.

J(U)=U(*U)，J(φ)=α(*φ).

則此時有集合同構Nat(F°J，F°?*)?H*，其中?*為左對偶函子.

證明對任意的?∈Nat(F°J，F°?*)，h∈Hα，定義映射A：Nat(F°J，F°?*)→H*如下

A(?)={A(?)α}α∈π，A(?)α(h)∶=?Hα(α(εα))(h).

對任意的ɡ={ɡα}α∈π∈H*，u∈U∈Corepα(H)，ψ∈*U，定義映射B：H*→Nat(F°J，F°?*)如下

B(f)={Q(ɡα)}α∈π，B(ɡα)U(αψ)(u)=ψ(u(0,α))ɡα(u(1,α)).

首先驗證B定義的合理性.對任意的Corepα(H)中的態射φ：U→V，ν∈*V，u∈U，

(φ*°B(ɡα)V)(αν)(u)=(B(ɡα)V(αν))(φ(u))=ν(φ(u(0,α)))ɡα(u(1,α))=

α(*φ(ν))α(u(0,α))ɡα(u(1,α))=(B(ɡα)U°α(*φ))(αν)(u)，

即B(f)是自然變換，故B定義合理.

下證A和B互逆.一方面，A(B(ɡα))α(h)=B(ɡα)Hα(α(εα))(h)=ɡα(h)；另一方面，考慮到

B(A(?)α)U(αψ)(u)=ψ(u(0,α))A(?)α(u(1,α))=

ψ(u(0,α))?Hα(α(εα))(u(1,α))=?Hα(α(εα))(ψ(u(0,α))u(1,α)).

故只需證明?Hα(α(εα))(ψ(u(0,α))u(1,α))=?U(αψ)(u)即可.為此，定義映射

從而A和B互逆.

下設?∈Nat(F°J，F°?*)和ɡ={ɡα}α∈π∈H*為在上述同構下互相對應的元素.

引理1?為H-余線性的，當且僅當ɡ滿足對任意的α∈π，a∈Hα，均有

(4)

證明充分性.對任意的u∈U∈Corepα(H)，ψ∈*U，

?U(α(ψ(0,α-1)))(u)?ξα(ψ(0,α-1))=ψ(0,α-1)(u(0,α))ɡα(u(1,α))ξα(ψ(0,α-1))=

?U(α(ψ))(0,α-1)(u)??U(α(ψ))(1,α-1)，

即?U為H-余線性的.

必要性.取U=Hα，εα=ψ，由?Hα的余線性性質，直接可得到等式(4).

引理2?同構，當且僅當ɡ卷積可逆.

證明充分性.設ɡ的卷積逆為ɡ-1.對任意的u∈U∈Corepα(H)，φ∈U*，定義自然變換?′為

易知

引理3?為張量自然變換，當且僅當ɡ對任意的α，β∈π，a∈Hα，b∈Hβ，滿足

ɡβ α(ba)=ɡα(a)ɡβ(b).

(5)

證明充分性.對任意的u∈U，v∈V,U∈Corepα(H),V∈Corepβ(H)，μ∈*U，ν∈*V，有

?U?V(βν?αμ)(v?u)=(βν?αμ)((v?u)(0,β α))ɡβ α((v?u)(1,β α))=

βν(v(0,β))αμ(u(0,α))ɡβ α(v(1,β)u(1,α))=βν(v(0,β))αμ(u(0,α))ɡβ(v(1,β))ɡα(u(1,α))=

(?V(βν)??U(αμ))(v?u)=(?V??U)(βν?αμ)(v?u).

即φ為張量自然變換.

必要性.取U=Hα，V=Hβ，μ=ξα，ν=εβ，由?的張量性質，即可得到等式(5).

引理4對任意的α,β∈π，U∈Corepβ(H)，?滿足φα(?U)=?φα(U)，當且僅當ɡ對任意的α,β∈π，a∈Hα，β∈Hβ，

ɡβ(b)=ɡα β α-1(ξα(b)).

(6)

證明充分性.對任意的u∈U∈Corepβ(H)，φ∈U*，

φα(?U)(α βφ)(αu)=α(?U(βφ)(u))=φ(u(0,β))ɡβ(u(1,β))=

αφ(α(u(0,β)))ɡα β α-1(ξα(u(1,β)))=?α β φ(αu).

必要性.取U=Hβ，φ=εβ，即可知等式(6)成立.

定義10設H={Hα}α∈π為Turaevπ-代數.稱線性型ɡ={ɡα}a∈π∈H*為H上的余pivotal結構，若ɡ為卷積可逆的，且滿足等式(4)—(6).此時稱H={(Hα，ɡα)}α∈π為一個余pivotal Turaevπ-代數.

例1若π=e，則易知此時H={(Hα，ɡα)}α∈π為一個余pivotal Hopf代數.

綜上，由命題1—2，引理1—4，可得以下本文主要結果之一.

定理1設H={Hα}α∈π為Turaevπ-代數.則H為余pivotal Turaevπ-代數，當且僅當H的余表示范疇Corep(H)為pivotal群交叉范疇.

3　Corep(H)中的ribbon群交叉結構

由文獻[9]可知，H={Hα}α∈π被稱為余擬三角Turaevπ-代數，若存在k-線性映射σ={σβ,γ：Hβ?Hγ→k}β,γ∈π，使得對任意的β，γ，θ∈π，x∈Hβ，y∈Hγ，p∈Hθ，下列條件成立：

(C1)σβ，γθ(x，yp)=σβ，θ(x(1,β),p)σβ，γ(x(2,β),y)；

(C2)σβγ，θ(xy,p)=σβ，γθγ-1(x，ξγ(p(1,θ)))σγ，θ(y,p(2,θ))；

(C3)σβ，γ(x(1,β),y(1,γ))x(2,β)y(2,γ)=ξβ(y(1,γ))x(1,β)σβ，γ(x(2,β),y(2,γ))；

(C4)σβ，γ(x,y)=σθβθ-1，θγθ-1(ξθ(x),ξθ(y))；

以下約定H={(Hα，σ)}α∈π為余擬三角Turaevπ-代數.

注2對任意的α，β∈π，由文獻[9]中定理3.5，易知余擬三角結構可誘導余模范疇Corep(H)中的辮子結構cU,V為

I(U)=UU，I(φ)=αφ.

則此時有集合同構Nat(F，F°I)?H*.

證明對任意的θ∈Nat(F，F°I)，h∈Hα，定義映射P：Nat(F，F°I)→H*，

P(θ)={P(θ)α}α∈π，P(θ)α(h)∶=εαk(θHα(h)).

對任意f={fα}α∈π∈H*，u∈U∈Corepα(H)，定義映射Q：H*→Nat(F，F°I)，

Q(f)={Q(fα)}α∈π，Q(fα)U(u)=fα(u(1,α))α(u(0,α)).

首先驗證Q定義的合理性.對任意Corepα(H)中的態射φ：U→V，u∈U，有

Q((fα)V°φ)(u)=fα((φ(u))(1,α))α((φ(u))(0,α))=

fα(u(1,α))(αφ(α(u(0,α))))=(αφ°Q(fα)U)(u).

即Q(f)是自然變換，故Q定義合理.

下證P和Q互逆.一方面，我們有

P(Q(fα))α(h)=εα(Q(fα)H(h))=εα(fα(h(2,α))α(h(1,α)))=fα(h).

另一方面，因為

Q(P(θ)α)U(u)=(P(θ)α)(u(1,α))α(u(0,α))=εα(θHα(u(1,α)))α(u(0,α))，

故只需證明εα(θHα(u(1,α)))α(u(0,α))=θU(u)即可.為此，任取U*中的元素，并定義映射為

α(εα(θHα(u(1,α)))α(u(0,α)))=εα(θHα(u(1,α)))α(α(u(0,α)))=

εα(θHσk(

設θ∈Nat(F，F°I)和f={fα}α∈π∈H*為在上述同構下互相對應的元素.由以上證明過程可知θ滿足公式(G1).

引理5θ為H-余線性的，當且僅當f為共軛余交換的，即f滿足對任意的α∈π，h∈Hα，均有fα(h(1,α))h(2,α)=ξα(h(1,α))fα(h(2,α)).

證明充分性.設α∈π，u∈U∈Corepα(H)，易知

(ρUU°θU)(u)=fα(u(2,α))α(u(0,α))?ξα(u(1,α))=

fα(u(1,α))α(u(0,α))?u(2,α)=((θU?idHα)°ρU)(u)，

于是θα為Hα-余線性的.

必要性.取U=Hα，由θα的余線性性質，對任意的h∈Hα，均有fα(h(3,α))α(h(1,α))?ξα(h(2,α))=fα(h(2,α))α(h(1,α))?h(3,α).兩邊同時以εα?id作用，即可知命題成立.

引理6θ為同構，當且僅當f為卷積可逆的.

直接驗證即可知θ′即為θ的逆元.

則類似于引理2，易證f′即f的卷積逆.

引理7θ滿足公式(G2)，當且僅當f對任意的α,β∈π,a∈Hα，b∈Hβ，滿足

σβ,α(ξβ(b(1,β))，a(1,α))σα,β(ξα(a(2,α))，ξβ(b(2,β)))fα(a(3,α))fβ(b(3,β))=fα β(ab).

(7)

證明充分性.對于α，β∈π，u∈U∈Corepα(H)，v∈V∈Corepβ(H)，

(cU?VV，UU°cUU,VV°(θU?θV))(u?v)=

(cU?VV,UU°cUU,VV)(fα(u(1,α))fβ(v(1,β))α(u(0,α))?β(v(0,β)))=

cUU,VV(fα(u(2,α))fβ(v(2,β))σα,β(ξα(u(1,α))，ξβ(v(1,β)))α β(v(0,β))?α(u(0,α)))=

σα,β(ξα(u(2,α)),ξβ(v(2,β)))fα(u(3,α))fβ(v(3,β))σαβ α-1，α(ξα β(v(1,β))，ξα(u(1,α)))αβ α(u(0,α))?α β(v(0,β))=

σβ,α(ξβ(v(1,β))，u(1,α))σα,β(ξα(u(2,α)),ξβ(v(2,β)))fα(u(3,α))fβ(v(3,β))αβ α(u(0,α))?α β(v(0,β))=

fα β(u(1,α)v(1,β))αβ α(u(0,α))?α β(v(0,β))=θU?V(u?v)，

即公式(G2)成立.

必要性.取U=Hα，V=Hβ，在公式(G2)等號兩邊同時以(εαβ αβ-1α-1?εαβ α-1)作用，即可知結論成立.

引理8θ滿足公式(G3)，當且僅當f對任意的α,β∈π,b∈Hβ，滿足

fβ(b)=fαβ α-1(ξα(b)).

(8)

證明充分性.對任意的v∈V∈Corepβ(H)，

ξα(θV)(αv)=α(θV)(αv)=fβ(v(1,β))α β(v(0,β))=

fαβ α-1(ξα(v(1,β)))α β(v(0,β))=θαV(αv)，

即公式(G3)成立.

必要性.取V=Hβ，在公式(G3)等號兩邊同時以εαβ α-1作用，即可知結論成立.

引理9θ滿足公式(G4)，當且僅當f對任意的α∈π，a∈Hα，滿足

fa-1(ξα(Sα(a)))=fα(a).

證明充分性.對于α∈π，u∈U∈Corepα(H)，

((idUU?θUU*)°coevUU)(1k)(u)=∑(idUU?θUU*)(αei?αei)(u)=

αu(0,α)fα-1(ξα(Sα(u(1,α))))=αu(0,α)fα(u(1,α))=

∑fa(ei(1,α))αei(0,α)?ei(u)=((θU?idU*)°coevU)(1k)(u)，

即公式(G4)成立.

必要性.取U=Hα，在公式(G4)等號兩邊同時以εα作用，即可知結論成立.

定義11設H={Hα}α∈π為余擬三角Turaevπ-代數.稱線性型f={fα}α∈π∈H*為H上的余ribbon結構，若f為共軛余可換的，卷積可逆，且滿足等式(7)—(9).稱H={(Hα,fα)}α∈π為一個余ribbon Turaevπ-代數.

例2若π=e，則易知此時H={(Hα，fα)}α∈π為一個余ribbon Hopf代數.

綜上，由命題3及引理5—9，可得本文另一主要結果.

定理2設H={Hα}α∈π為余擬三角Turaevπ-代數.則H為余ribbon Turaevπ-代數，當且僅當H的余表示范疇Corep(H)為ribbon群交叉范疇.

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(責任編輯：李亞軍)

Coribbon Turaevπ-algebras

GUO Shuang-jian1，ZHANG Xiao-hui2

(1.School of Mathematics and Statistics，Guizhou University of Finance and Economics，Guiyang 550025，China；2.School of Mathematical Sciences，Qufu Normal University，Qufu 273165，China)

The crossed ribbon structure and crossed pivotal structure inCorep(H) are studied，where the category ofπ-comodules over a Turaevπ-algebraH.The notions of a copivotal Turaevπ-algebra and a coribbon Turaevπ-algebra are introduced.Finally，the necessary and sufficient conditions forCorep(H) to be a crossed pivotal category and to be a crossed ribbon category are given.

Turaevπ-algebra；crossed ribbon category；coribbon structure；copivotal structure

1000-1832(2016)03-0014-07

2015-01-18

國家自然科學基金資助項目(11371088)；國家數學天元基金資助項目(11426073)；江蘇省自然科學基金資助項目(BK2012736)；貴州省科技廳基金資助項目(2014GZ81365).

郭雙建(1981—)，男，博士，副教授，主要從事Hopf代數及量子群研究；通信作者：張曉輝(1985—)，男，博士，講師，主要從事Hopf代數及量子群研究.

O 153.3[學科代碼]110·21

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.004