星形映照的新子族與Roper-Suffridge延拓算子

王朝君，崔艷艷，朱思峰

(周口師范學院數學與統計學院，河南 周口 466001)

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星形映照的新子族與Roper-Suffridge延拓算子

王朝君，崔艷艷，朱思峰

(周口師范學院數學與統計學院，河南 周口 466001)

在Reinhardt域上及復Banach空間單位球上討論了星形映照的一類新子族，即復數λ階殆星映照.證明了幾類推廣的Roper-Suffridge延拓算子保持復數λ階殆星映照的不變性，從而能夠在多復變數空間的不同區域中構造復數λ階殆星映照，所得結果推廣了已有的結論.

星形映照；殆星映照；Roper-Suffridge算子

1　預備知識

單復變幾何函數論中有許多優美的結論，例如單葉全純函數的增長、掩蓋定理等.然而在將這些結論推廣到多復變數空間的過程中，人們發現即便是“在單位圓盤上全純單葉函數展開式的系數的模是有界的”這樣的基本結果，在多復變數中也不成立.后來人們考慮對映照加以幾何上的限制，從而討論具有特殊幾何形狀的雙全純映照，例如星形映照、凸映照、螺形映照等. 目前對于星形映照和凸映照已經有了許多很好的結論，近年來許多學者開始討論他們的子族.[1-7]

2010年，B?l?eti和Nechita[8]引入了Cn中單位球上星形映照的新子族：復數λ階殆星映照的定義.2013年，趙燕紅[9]將復數λ階殆星映照的定義推廣到Reinhardt域及復Banach空間單位球上，研究了復數λ階殆星映照與Loewner鏈的關系，得到了復Banach空間單位球上復數λ階殆星映照的解析特征.然而在多復變數空間中很難找到具體的復數λ階殆星映照的例子，但是若借助Roper-Suffridge算子[10]，則可以由單復變中的復數λ階殆星函數構造出許多多復變數空間中的復數λ階殆星映照.

本文主要討論Reinhardt域上及復Banach空間單位球上復數λ階殆星映照在一些推廣的Roper-Suffridge算子下的不變性.文中用D表示單位圓盤，B表示復Banach空間X中的單位球.

定義1[9]設Ω?Cn是有界星形圓形域，其Minkowski泛函ρ(z)除去一個低維流形域外一階可導.令λ∈C，Reλ≤0，f是Ω上的正規化局部雙全純映照，若

定義2[9-10]設f：B→X是一個正規化局部雙全純映照.若λ∈C，Reλ≤0且Re{(1-λ)Tx[(Df(x))-1f(x)]}≥-Reλ‖x‖，x∈B{0}，則稱f是B上的復數λ階殆星映照.

2　主要結論及其證明.

則

由引理1知

由于f是D上的復數λ階殆星函數，則

(1)

由(1)式及引理2知

定理得證.

由于fj是D上的復數λ階殆星函數，

從而 Jg(z)z+g(z)≠0.又顯然F(0)=0，JF(0)=I，故F(z)是Ω上的正規化局部雙全純映照，且

證明與定理2同理可得，這里不再贅述.

定理4設f是D上的復數λ階殆星函數，β1=1，βj∈[0，1](j=2，…，n-1).則

證明由文獻[14]可知F(x)是復Banach空間單位球B上的正規化雙全純映照，且

由于f是D上的復數λ階殆星函數，則

從而

Re{(1-λ)Tx[(DF(x))-1F(x)]}=

由定義2知定理得證.

[1]FITZGERALD C H，THOMAS C R. Some bounds on convex mappings in several complex variables[J]. Pacific J of Math，1994，165：295-320.

[2]BARNARD R W，FITZGERALD C H，GONG S. The growth and 1/4-theorem for starlike mappings inCn[J].Pacific J of Math，1991，150：13-22.

[3]龔升.多復變數的凸映照和星形映照[M].2版.北京：科學出版社，2003：182-227.

[4]崔艷艷，劉愛超. 一類強α次殆星形映照的增長和掩蓋定理[J]. 東北師大學報(自然科學版)，2014，46(1):17-21.

[5]馮淑霞，劉太順，任廣斌.復Banach空間單位球上幾類映射的增長掩蓋定理[J].數學年刊，2007，28A(2)：215-230.

[6]徐慶華，劉太順.正規化雙全純映照的增長和掩蓋定理[J].數學年刊，2009，30A(2)：213-220.

[7]王建飛.Cn中一類星形映射子族的增長定理及推廣的Roper-Suffridge算子[J].數學年刊，2013，34A(2)：223-234.

[8]BAlAETI C M，NECHITA V O. Loewner chains and almost starlike mappings of complex orderλ[J].Carpathian J Math，2010，26(2)：146-157.

[9]趙燕紅.復Banach空間單位球上的復數λ階殆星映射[D].金華：浙江師范大學，2013.

[10]ROPER K A，SUFFRIDGE T J. Convex mappings on the unit ball of Cn[J]. J Anal Math，1995，65：333-347.

[11]劉名生，朱玉燦.有界完全Reinhardt域上推廣的Roper-Suffridge算子[J].中國科學A輯，2007，37(10)：1193-1206.

[12 ]閆春燕.Roper-Suffridge 算子與Loewner鏈[D].開封：河南大學，2008.

[13]劉小松.多復變數幾何函數論中某些雙全純映照子族的性質[D].合肥：中國科學技術大學，2004.

[14]崔艷艷，王朝君.復Banach空間上推廣的Roper-Suffridge延拓算子[J].數學雜志，2014，34(3)：515-520.

(責任編輯：李亞軍)

New subclass of starlike mappings and Roper-Suffridge extension operators

WANG Chao-jun，CUI Yan-yan，ZHU Si-feng

(Mathematics Department，Zhoukou Normal University，Zhoukou 466001，China)

A kind of new subclass of starlike mappings，namely almost starlike mappings of complex orderλ，on Reinhardt domains and on the unit ball in complex Banach spaces is studied. From the definitions，it is proved that some generalized Roper-Suffridge operators preserve the invariance of almost starlike mappings of complex orderλ，thus it can construct almost starlike mappings of complex orderλon different domains in several complex variables. The results extend the existing conclusion.

starlike mappings；almost starlike mappings；Roper-Suffridge operator

1000-1832(2016)03-0021-04

2015-03-30

國家自然科學基金資助項目(11271359，U1204618)；河南省科技廳科技發展計劃項目(102400450003)；周口師范學院青年基金資助項目(zknub3201608)；河南省高等學校重點科研項目(17A110041).

王朝君(1981—)，男，碩士，講師，主要從事多復變函數論及微分方程研究；通信作者：朱思峰(1977—)，男，博士，副教授，主要從事復分析研究.

O 174.56[學科代碼]110·41

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.005