二元光滑函數(shù)芽在奇點(diǎn)處分岔解支數(shù)目的拓?fù)涠裙?/h1>
2016-09-22 08:27:59馬麗麗
東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) 2016年3期 關(guān)鍵詞：理論
李 強(qiáng)，馬麗麗
(齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)
?
二元光滑函數(shù)芽在奇點(diǎn)處分岔解支數(shù)目的拓?fù)涠裙?/p>
李強(qiáng)，馬麗麗
(齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)
討論了二元光滑函數(shù)在奇點(diǎn)處的分岔解支數(shù)目問(wèn)題.在孤立奇點(diǎn)的假設(shè)下，給出了通過(guò)拓?fù)涠扔?jì)算二元光滑函數(shù)芽的分支解數(shù)目的一個(gè)公式.
奇點(diǎn)；分岔解；拓?fù)涠?/p>
0 引言
非線性方程解的存在性問(wèn)題是非線性分析、微分方程、分歧理論等領(lǐng)域的重要研究課題.方程F(x)=0 的可能分歧點(diǎn)是F的奇點(diǎn)，根據(jù)奇點(diǎn)理論中映射芽的有限決定性方法，能夠?qū)晌⒎钟成銯進(jìn)行分類，進(jìn)而通過(guò)對(duì)與F強(qiáng)等價(jià)類的戈魯比茨基-沙弗(GS)范式進(jìn)行討論，給予F在奇點(diǎn)附近的解的分歧問(wèn)題以有力的回答.對(duì)于映射芽的強(qiáng)、弱決定性參見文獻(xiàn)[1-2].
拓?fù)涠壤碚撌茄芯糠蔷€性算子定性理論的有力工具，它在研究奇重特征根所產(chǎn)生的分歧問(wèn)題中有著十分重要的應(yīng)用.本文主要考慮有限維空間上的拓?fù)涠龋碆rouwer度.Brouwer度的引入方式有很多，最早起源于代數(shù)拓?fù)渲嘘P(guān)于不動(dòng)點(diǎn)的研究，之后在不同的角度建立了Brouwer度，但所得到的結(jié)果是一致的.
1 預(yù)備知識(shí)
(1.1)
(1.2)
由于原點(diǎn)為函數(shù)G|N的臨界點(diǎn)，則由(1.2)式有
(1.3)
(1.4)
即
由(1.4)式，
(1.5)
對(duì)任意的x∈U，
由(1.3)式得
結(jié)合(1.1) 與(1.5)式得
從而引理得證.
令M為1維帶邊緊流形，則M的邊界?M為有限集. 若G:M→R為光滑函數(shù)，設(shè)函數(shù)G在M內(nèi)有有限個(gè)臨界點(diǎn)，且均為非退化臨界點(diǎn). 記
其中C表示G在M內(nèi)的臨界點(diǎn)集.
引理1.3設(shè)函數(shù)G滿足如下條件：
則有
圖1 引理1.3示意圖
引理 1.3的示意圖見圖1.如圖1所示，
即
.
2 主要結(jié)果
對(duì)于前文所述的F，G，H及區(qū)域X，有如下計(jì)算公式.
(2.1)
(2.2)
記d為映射x‖‖的Brouwer度，由拓?fù)涠鹊亩x及(2.2) 式，m1-m2=d. 顯然，若y在原點(diǎn)臨近且趨近于G，則，且于是函數(shù)滿足引理 1.3 的條件，因而
根據(jù)(2.1)式，
定理得證.
由定理2.1有
3 舉例
圖的解曲線
使得
于是
從而
[1]陳亮，孫偉志，裴東河. 映射芽的強(qiáng)相對(duì)有限決定性 [J]. 東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，36(4)：16-20.
[2]石昌梅，裴東河. 光滑函數(shù)芽的弱決定性 [J]. 東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，45(3)：1-4.
[3]周鹍. 奇點(diǎn)處分岔解支的數(shù)目問(wèn)題 [J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1997，18(10)：905-909.
[4]FUKUDA T，AOKI K，SUN W Z. On the number of branches of a plane curve germ[J].Kodai Mathematical Journal，1986，9(2)：179-187.
[5]FUKUI T. An algebraic formula for a topological invariant of bifurcation of 1-parameter family of function-germs[J]. Stratifications，singularities，and differential equations，1990，55：45-54.
(責(zé)任編輯：李亞軍)
A formula of topological degree for the number of bifurcation solutions of binaryC∞function germ singularities
LI Qiang，MA Li-li
(School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China)
A formula of topological degree for computing the number of branches of binaryC∞function germs，which having an isolated singular point，is presented.
singularity;bifurcation solution;topological degree
1000-1832(2016)03-0030-05
2015-05-10
黑龍江省科學(xué)基金項(xiàng)目資助(QC2016008).
李強(qiáng)(1980—)，男，博士，講師，主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究.
O 177.5[學(xué)科代碼]110·57
A
[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.007
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李 強(qiáng)，馬麗麗
(齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)
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二元光滑函數(shù)芽在奇點(diǎn)處分岔解支數(shù)目的拓?fù)涠裙?/p>
李強(qiáng)，馬麗麗
(齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006)
討論了二元光滑函數(shù)在奇點(diǎn)處的分岔解支數(shù)目問(wèn)題.在孤立奇點(diǎn)的假設(shè)下，給出了通過(guò)拓?fù)涠扔?jì)算二元光滑函數(shù)芽的分支解數(shù)目的一個(gè)公式.
奇點(diǎn)；分岔解；拓?fù)涠?/p>
0 引言
非線性方程解的存在性問(wèn)題是非線性分析、微分方程、分歧理論等領(lǐng)域的重要研究課題.方程F(x)=0 的可能分歧點(diǎn)是F的奇點(diǎn)，根據(jù)奇點(diǎn)理論中映射芽的有限決定性方法，能夠?qū)晌⒎钟成銯進(jìn)行分類，進(jìn)而通過(guò)對(duì)與F強(qiáng)等價(jià)類的戈魯比茨基-沙弗(GS)范式進(jìn)行討論，給予F在奇點(diǎn)附近的解的分歧問(wèn)題以有力的回答.對(duì)于映射芽的強(qiáng)、弱決定性參見文獻(xiàn)[1-2].
拓?fù)涠壤碚撌茄芯糠蔷€性算子定性理論的有力工具，它在研究奇重特征根所產(chǎn)生的分歧問(wèn)題中有著十分重要的應(yīng)用.本文主要考慮有限維空間上的拓?fù)涠龋碆rouwer度.Brouwer度的引入方式有很多，最早起源于代數(shù)拓?fù)渲嘘P(guān)于不動(dòng)點(diǎn)的研究，之后在不同的角度建立了Brouwer度，但所得到的結(jié)果是一致的.
1 預(yù)備知識(shí)
(1.1)
(1.2)
由于原點(diǎn)為函數(shù)G|N的臨界點(diǎn)，則由(1.2)式有
(1.3)
(1.4)
即
由(1.4)式，
(1.5)
對(duì)任意的x∈U，
由(1.3)式得
結(jié)合(1.1) 與(1.5)式得
從而引理得證.
令M為1維帶邊緊流形，則M的邊界?M為有限集. 若G:M→R為光滑函數(shù)，設(shè)函數(shù)G在M內(nèi)有有限個(gè)臨界點(diǎn)，且均為非退化臨界點(diǎn). 記
其中C表示G在M內(nèi)的臨界點(diǎn)集.
引理1.3設(shè)函數(shù)G滿足如下條件：
則有
圖1 引理1.3示意圖
引理 1.3的示意圖見圖1.如圖1所示，
即
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2 主要結(jié)果
對(duì)于前文所述的F，G，H及區(qū)域X，有如下計(jì)算公式.
(2.1)
(2.2)
記d為映射x‖‖的Brouwer度，由拓?fù)涠鹊亩x及(2.2) 式，m1-m2=d. 顯然，若y在原點(diǎn)臨近且趨近于G，則，且于是函數(shù)滿足引理 1.3 的條件，因而
根據(jù)(2.1)式，
定理得證.
由定理2.1有
3 舉例
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[4]FUKUDA T，AOKI K，SUN W Z. On the number of branches of a plane curve germ[J].Kodai Mathematical Journal，1986，9(2)：179-187.
[5]FUKUI T. An algebraic formula for a topological invariant of bifurcation of 1-parameter family of function-germs[J]. Stratifications，singularities，and differential equations，1990，55：45-54.
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