中國股票市場的隨機尖點突變模型

林黎

(華東理工大學商學院,金融工程研究所,上海200237)

中國股票市場的隨機尖點突變模型

林黎

(華東理工大學商學院,金融工程研究所,上海200237)

采用最新的隨機突變建模技術對中國股市建模.通過對自變量的篩選,分別對上證指數和深證綜指給出了不同的模型.對歷史數據的滾動窗口檢驗顯示,兩市優選出的突變模型在數據解釋力上均要優于線性模型和偽突變的Logistic模型;中國股市不僅存在預期的不對稱性,在特殊的時期還存在交易行為和市場情緒的分化特征.另外,滬市的隨機尖點突變特征較深市更為明顯,不過這些特征在近年已趨于減弱,表明市場正逐漸成熟.

突變理論;隨機尖點突變;股市泡沫;市場情緒;極大似然估計

1　引　言

突變理論是用于研究系統中自變量的連續微小變化如何導致宏觀因變量產生非連續性突然變化的系統科學方法論.在20世紀70年代初由法國數學家Thom提出[1,2],繼由Zeeman的大力推廣后[3],突變理論曾在國際上風靡一時.在國內,它與Prigogine的耗散結構論、Haken的協同論曾一度并稱現代科學方法的“新三論”[4].然而,盡管突變理論在物理、工程領域獲得很好應用,它在社會及行為科學領域的應用嘗試卻從一開始就備受指責[5,6].尤其Zahler等[5]的批評被廣泛流傳,學術界對其研究熱情也迅速衰減.

傳統對突變理論運用于社會行為中的批評集中于以下幾點:1)模型過度的依賴于定性而非定量的描述;2)模型對某些經濟應用問題不恰當的量化和統計處理;3)模型的數學假設過于嚴格.究其原因,主要在于傳統觀突變理論中的數學模型僅適用于對確定性動態系統的刻畫,而社會、經濟問題往往更適宜用帶有隨機性的系統來描述1原始的Zahler等的批評包括十個小點,分別為不連續性概念的混淆、Thom理論的合理外推問題、預測與事實相悖,缺乏對預測的證實方法、對突變泛型的誤用、數學上的誤導、突變證據的誤讀、含糊的假設、量化的謬誤,存在描述突變的其他理論.其中1,2,4,6,7,8,9主要針對社會行為系統中運用突變理論的問題.為了回應這方面的指責,考慮隨機性的突變模型應運而生.早在20世紀80年代初,Cobb等[7,8]就借用確定性微分方程推廣為隨機微分方程的思路,嘗試通過在傳統突變模型中增加It^o擴散項來描述隨機性系統的突變,其中突變的特征用具有雙峰的概率密度函數來刻畫,而雙峰的密度函數則通過極大似然估計(MLE)來完成.然而,Cobb提出的MLE其估計結果非常不穩定,同時由于Cobb的模型不滿足突變理論要求的微分同胚變換的不變性,極大的限制了它的應用,長期未引起重視.近年來,隨著技術的進步,隨機突變理論在理論和統計方法上取得了一系列的研究突破,產生了可以對突變模型進行統計推斷的一致性方法[10-13].因此,應用隨機突變理論進行經濟建模在最近幾年來又重新煥發了生機.Rosser[13]通過突變理論興衰進行總結后指出,將突變理論排除在社會經濟領域之外不外乎“除蕪亦去菁,因噎廢食”2英文原文為:The baby of catastrophe theory was largely thrown out with the bathwater..

適宜突變理論刻畫的系統須具有如下的幾個特征:1)系統具有跳躍性,即宏觀觀測變量會以非連續跳躍的形式突然從一個狀態轉為另一個狀態:2)系統變化具有奇性,表現為在某種狀態下,系統對控制變量變化的敏感程度發散:3)系統擁有多模態,這些模態是狀態變量在相同原因下發生的不同變化,其中不同的模態可以對稱,也可以非對稱.金融市場作為特殊的一類經濟系統,涌現出一系列獨特的宏觀規律,通常被稱之為“典型特征”(stylized facts)[14].其中的一些典型特征與突變理論所描述的現象有很高的相似性,如歸因于收益率跳躍性的厚尾分布特征,具有區制轉換特征和泡沫現象,盈利與損失的非對稱性,以及內生性崩盤現象等.用突變理論來建模對這些現象進行分析,不僅在揭示“典型特征”成因的內在機制方面有很大的理論價值,同時對于投資者進行風險管理、交易策略設計,以及對監管者正確制定市場調控和引導措施等方面也有重大應用意義.

利用最新的隨機突變建模技術,Barunik等[15,16]在最近建立了股票市場的隨機尖點突變模型(stochastic cusp catastrophe model,SCC),這可以看做是Zeeman[17]的確定性股市突變模型推廣到隨機突變下的版本.與Zeeman偏于定性的模型不同,Barunik的股票模型完全基于對現實數據的統計建模,可以判別不同模型及參數選擇對數據解釋力優劣性,同時能夠有力的回應傳統對突變模型應用的批評.他們將模型用于對股市崩盤的建模和解釋,取得了良好的研究結果.這其中吸收了Levy[18]關于社會相變思想對市場崩盤的理解–-集合信念函數的分叉性質導致多穩態的存在和市場的不穩定性.國內已有學者嘗試將突變理論運用于對經濟價格動態行為的建模[19,20],部分學者還直接利用尖點突變模型來對構建了股票的突變模型[21,22],然而客觀上這些研究還局限在利用傳統確定性突變理論對經濟系統的建模方法論上,更多的是一些描述性的量化分析,難免落于Zahler等所批評的窠臼之內.最近,徐巖等人在經濟行為的分析中引入了隨機突變模型[23],但是他們的研究僅對模型進行了數值仿真,并沒有針對真實數據進行統計建模.目前尚未見到從隨機突變角度實證研究國內金融市場的文獻.

本文借鑒Barunik等人的思路和隨機突變建模技術,通過篩選合適的解釋變量構筑中國股票市場的隨機尖點突變模型.借助對真實數據的統計建模與推斷,嘗試分析中國股市最近十年來大幅震蕩中所潛藏的投資者信念與情緒的分化規律,并探尋基本面投資者和技術分析投資者在市場演化中所扮演的角色.

2　模型的理論框架

2.1隨機尖點突變模型簡介

隨機尖點突變模型是在經典尖點突變的確定性微分方程模型的基礎上加入表征系統波動的It^o擴散項而得到,因此它在保留了原系統動力性質的同時允許內在的隨機性.經典的尖點突變模型一般表示為

其中V(zt;α,β)=-z4t/4+βz2t/2+αztzt為系統的狀態變量,表示系統的勢函數.系統總是在勢的作用下向著均衡點(勢最低處)運動,當第一個方程的右端變為0時,系統運動到均衡點,此時滿足.由于均衡條件方程是一個三次方程,因此均衡時系統的狀態變量z*t取值的可能個數須由勢函數中的控制參數α,β來共同決定.在突變理論中,α稱之為非對稱性因子,β稱之為分叉控制因子. 由(α,β,z*t)構成的尖角突變均衡曲面間圖1所示.

圖1　尖點突變均衡表面示意圖Fig.1 Cusp surface for equilibrium state

當分叉控制因子逐漸變大時,系統的均衡狀態將會從一個變為三個,于是系統狀態將會在三個可能的均衡態間突變.在模型的實際運用中,控制參數不是常數,而是依賴于具體問題的自變量的函數,即

其中x1t,x2t,...,xnt為伴隨系統動態演化的自變量.此時控制參數成為控制變量記為αx和βx.在此基礎上,隨機尖點突變的模型表示為隨機微分方程

其中W是一個維納過程.此時,即使不發生突變,系統的狀態也會在均衡平面的上下來回波動,對均衡狀態的描述則通過密度函數來刻畫.相應地,系統在不同均衡狀態的可能突變取值轉換為系統狀態密度函數多峰形態的呈現.

Wagenmakers等[11]證明,狀態變量隨控制變量的條件密度函數隨時間收斂于

其中矩陣x=x1t,x2t,...,xnt,ψ是一個標準化參數,λ決定著狀態變量的原點大小.

圖2給出了不同控制變量值組合下的條件狀態變量密度函數示意圖.

圖2　不同控制參數下的狀態變量密度函數Fig.2　Shape of density for different control parameter pairs

圖2中非對稱因子和分叉控制因子的含義更為明顯.當αx取值正向變大時,系統狀態有更多機會取正值,反之,則系統取負值的機會較多.同時βx越大,條件密度函數的雙峰形態越明顯,分叉效應越發顯著,此時系統的最可幾值的間距也相應越大.當βx變為負時,系統的分叉特征消失,回歸到傳統的單峰分布.

圖3和圖4是不同參數下的簡單仿真結果.兩次仿真均取α=0.其中圖3取β=0.5,而圖4取β= 3,仿真步數均為N=1 000,每步間隔Δt=0.1.下半圖給出理論的密度函數和非參估計下的密度函數.其中非參估計的核函數選用Epanechnikov核,帶寬調整值δ=0.7.

圖3　隨機尖點突變仿真:α=0,β=0.5Fig.3 Simulation for SCC model with α=0,β=0.5

圖4　隨機尖點突變仿真:α=0,β=3Fig.4　Simulation for SCC model with α=0,β=3

2.2股票市場隨機尖點突變模型

2.2.1模型的含義與解釋

引入尖點突變假說來刻畫和解釋股票市場不確定行為最經典的模型是Zeeman的定性模型[17].最近,Barunik等[15]將Zeeman模型改造為隨機尖點突變模型,但仍保留了Zeeman的基本思想,即股市中的交易者被簡單地假設為僅包括基本面交易者和技術分析交易者兩類.其中前者被視為市場外力,因為作為知情交易者他們力量對比很大程度地決定了市場的超額需求水平,從而表征了非對稱性控制變量的變化;而后者行為更像是市場內在機制的一部分,在外部供需力量平衡的情況下,他們的行為在市場自我實現的同時注入了不穩定性因素,因此反映在市場分叉控制變量的變化上.同時,假設這兩類交易者的行為對市場狀態變化的影響都是瞬時的,于是,市場的突變行為完全來自于特定控制變量取值下的系統自身尖點突變機制––多重均衡點的重新定位.本文在對股市隨機尖點模型的解釋上也將基于上述的基本假設.

僅就定性解釋而言,股市隨機尖點突變模型的狀態變量即可以選用反映整個市場的價格指數也可以用其收益率.然而,考慮到股市價格指數一般并不滿足平穩性和遍歷性,處于定量分析考慮,選用指數的收益率來構建隨機尖點突變的均衡曲面更為合適.然而,由于隨機尖點突變模型只適用于σ為常數且方程(4)不經過非線性變換的情形,Barunik等人[16]提出用已實現波動率(realized volatilty,RV)調整后的標準化收益率r*t作為股市狀態變量進行建模,這是因為RVt在數學形式上依概率收斂于當日總波動率,同時,其中μτ為價格隨機微分方程中的瞬時漂移項.

根據隨機尖點突變模型(4),假設股票市場標準化收益率rt* 滿足如下隨機微分方程

式(6)表明,股票市場的行為取決于兩個關鍵的控制變量αx,βx.它們表征了整個股票市場中基本面交易者和技術分析交易者的相互作用.按照模型的基本解釋,非對稱性變量αx反應了基本面交易者對市場牛市和熊市的信念強弱對比.對照圖1和圖2,αx為正,表明基本面交易者偏牛市預期,收益率的取值集中偏于正值(偏度為負),反之表明基本面交易者偏熊市預期.另外,分叉控制變量βx表征了技術分析交易所占的比例.由于技術分析交易完全依賴于歷史行情信號,所以它所占的比重越大,市場越容易產生交易分化,因此收益率呈現雙峰分布的形態特征也越發明顯.同時,它也間接的反應了交易者的情緒(錯誤定價)分化.當市場不存在技術分析交易和也無情緒時βx≤0,市場全由知情的基本面交易者主導,漲跌僅由隨機的證券供給不平衡產生,收益率歸于對稱分布.相反地,當大量充斥技術分析交易和錯誤定價時,市場變得很不穩定,收益率容易在大幅的正向和負向之間產生跳變.

2.2.2模型的估計和檢驗方法

股市隨機尖點突變建模的關鍵是要找到一組合理的自變量來解釋αx和βx,使得考慮進這些自變量之后模型(6)能夠比傳統的模型對實際數據有更強的解釋力.運用Grasman等[12]所改進的一致性Cobb極大似然估計法來對模型進行估計,其中的優化搜索算法為有區間限的L–BFGS–G方法.

對于模型的統計檢驗,參考Barunik等[16]提出的方法.首先比較隨機尖點突變模型和普通線性模型的赤池信息量(AIC)和貝葉斯信息量(BIC),這近似的相當于進行兩個模型的χ2似然比檢驗.如果突變模型的兩個信息量均顯著低于線性模型相應的信息量,說明突變模型對數據有更好的解釋力.其次,再比較突變模型與如下形式的非線性Logistic模型的AIC與BIC.

非線性Logistic模型不具有退化的臨界點,但由它刻畫的狀態變量同樣能模擬出突變的效果(斜率任意大),因此必須進行檢驗以在統計上排除數據由是Logistic曲線產生的可能性.另一方面還必須評估不同模型對數據的擬合效果,選擇偽R2作為評估指標,其定義為

3　中國股票市場的模型實證

3.1數據描述

本文通過上證指數和深證綜合指數來對模型進行實證.樣本時間段為2003-01-02～2011-12-30共9年的數據.兩股指選用日收盤數據來計算收益率,即rt=(Pt-Pt-1)/Pt-1.同時,為計算每日的已實現波動率RVt,利用銳思金融數據庫提供的股指日交易1min高頻數據.RVt具體的計算方法為︿,其中N為每日交易分鐘的總數,為第t日第i分鐘的日內股指收益率.模型實證的標準化收益率

圖5和圖6分別顯示了在特定時間窗口上證指數和深證綜指利用日已實現波動率調整的標準化收益率的表現和其非參核密度估計的結果.其中非參估計的核函數選用Epanechnikov核,帶寬調整值δ=0.3.時間窗口選取為為2007-06-15～2008-04-15,在此窗口內中國股市經歷持續的極速上漲之后快速大幅下跌,具有泡沫和崩盤的行為特征.如圖所示,窗口內的標準化收益率展現了明確雙峰分布同時伴有多峰的特征,這暗示著在選定的時間段上市場可能存在著由于交易信念分化演變所導致的隨機突變行為,因此用隨機尖點突變模型來刻畫具有一定的合理性.

圖5　2007年～2008年上證指數標準化收益率核密度估計Fig.5 Kernel density estimate of normalized returns for Shanghai Stock Index during years 2007～2008

圖6　2007年～2008年深證綜指標準化收益率核密度估計Fig.6 Kernel density estimate of normalized returns for Shenzhen Composite Index during years 2007～2008

對于模型的自變量xi,選取的數據包括實證時間段內的交易量Vt,交易量變動率dVt,日換手率TRt,日換手率變動率dTRt,3日價格動量M3t,5日價格動量M5t,日資金進出比ADRt.其中變動率通過相應數據的對數差分獲得,N日價格動量定義為當前價格相對N日前價格的變動比例.日資金進出比通過當日兩市各支股票的交易量匯總獲得.具體來說,如果當日某股票上漲則將當日交易量視作資金進入,反之視作資金流出.對特定市場所有股票,加總資金進入得到V+,加總資金流出得到V-.當V+≥V-時, 則ADRt=V+/V-,當V-＞V+時,ADRt=-V-/V+.選取的這些自變量都部分的包含了資本面交易行為的信息,部分融合著投機性行為的成分.對模型進行估計實證將給出哪些變量能夠解釋市場預期存在的非對稱性,哪些則能夠解釋受投機影響的造成的交易行為分化和市場情緒.

3.2實證結果

股市隨機突變模型的實證主要是通過在整個樣本時間段內,以滾動窗口方式來對選定模型進行估計和檢驗.首先是模型的篩選,這一步通過將樣本總時長分為非重疊的若干子時間段,并評估不同自變量組合的待選模型在所有子時間段上對數據解釋的的整體表現來完成.具體來說,選擇每年第一個交易日到最后一個交易日為子時間段,一共分為九個子樣本,對每一個待選模型,計算估計系數t統計量和模型檢驗指標對所有子樣本的平均值.以平均的t統計量作為衡量指標,采用逐步選變量法依次剔除不顯著變量,直到選出各變量均顯著且平均的貝葉斯信息量相對最低的模型.通過對數十種變量組合進行篩選,最終選定比較理想的模型為.表1和表2分別給出了部分待選模型的在篩選時表現,比較理想的模型分別對應表1中的模型9和表2中的模型10.然后,選定窗口長度為100,步長為3個交易日,在全樣本內對選定模型進行滾動窗口實證,一共有618個檢驗窗口.

圖7和圖8分別給出了在滾動窗口檢驗時,優選的突變模型與線性模型、Logistic模型的BIC對比結果.

從對比結果可以看到無論是對上證指數還是深證綜指,隨機突變模型在全時間段上都要明顯優于普通的線性模型.對于深證綜指,突變模型還在全時間段內優于Logistic模型.而對于上證指數,在大約2009-03之后突變模型與Logistic模型在建模效果上無法分辨.

圖7　上證指數不同模型間滾動窗口的BIC值對比Fig.7 BIC for stochastic cusp,linear,Logistic models on Shanghai Stock Index during sliding windows test

圖8　深證綜指不同模型間滾動窗口的BIC值對比Fig.8 BIC for stochastic cusp,linear,logistic models on Shenzhen Composite Index during sliding windows test

表1　上證指數實證模型的篩選Table 1 Modeling selection for Shanghai Stock Index

表2　深證綜指實證模型的篩選Table 2 Modeling selection for Shenzhen Composite Stock Index

圖9和圖10分別給出了兩市滾動窗口突變模型與線性模型擬合效果偽R2(取值在窗口末端),值坐標在圖右側.作為對照,圖中同時繪制了兩指數對應時點的數值,值坐標在圖左側.可以看到對于上證指數的而言,在某些時間段內,突變模型能夠獲得相比線性模型好很多的擬合效果.圖9中灰色陰影部分標示出突變模型偽R2超過0.6的時間段.對于深證綜指而言,線性模型和突變模型的擬合效果均不高,但在某些特定區間段內,突變模型還是明顯優于線性模型.圖10中灰色陰影部分標示出突變模型的偽R2超過線性模型的R2至少有0.1的時間段.

圖9　滾動窗口隨機尖點突變模型與線性模型的偽R2對比:上證指數Fig.9 Comparison with pseudo-R2for stochastic cusp model and linear model during sliding windows test:Shanghai Stock Index

圖10　滾動窗口隨機尖點突變模型與線性模型的偽R2對比:深證綜指Fig.10 Comparison with pseudo-R2for stochastic cusp model and linear model during sliding windows test:Shenzhen Composite Index

圖11和圖12分別給出了在滾動窗口估計下的優選隨機尖點突變模型的估計系數值及其統計顯著性.

圖11　模型系數的滾動估計與對應的顯著性檢驗:上證指數Fig.11 Rolling coefficients of stochastic cusp model for Shanghai Stock Index and their statistical significance test

圖12　模型系數的滾動估計與對應的顯著性檢驗:深證綜指Fig.12 Rolling coefficients of stochastic cusp model for Shenzhen Composite Index and their statistical significance test

圖中實線為具體的估計值.為看圖方便,圖中的點線為顯著性t統計量的倒數,而虛線給出的是顯著性為5%的檢驗臨界值的倒數.因此,當落在虛線區間外時表明估計系數不顯著.可以看到,對于上證指數的模型而言,決定非對稱效應的資金進出比和決定分叉效應的交易量變動率一直很顯著,而決定非對稱效應的交易量變動率及決定分叉效應的換手率則不然,大部分時間段這些變量都不顯著.但在某特定時間區間,這些變量卻持續的顯著,表明那些時間段這些變量成為重要的市場交易分化行為影響因素.對于深證綜指的模型而言,3日動量非常顯著,表明市場表現的不對稱性基本來自于短期趨勢交易.決定分叉效應的換手率及交易量變動率在2006-05～2007-11間均不顯著.除此之外,與上證指數的情形一樣,交易量變動率在解釋分叉效應方面一直很顯著.而在樣本的末期,換手率又重新開始變得不顯著.

4　結束語

本文嘗試建立中國股市的隨機尖點突變模型,通過對自變量的篩選,分別對表征滬深兩市行為的上證指數和深綜指數建立了不同的模型.對9年歷史數據的滾動窗口估計與檢驗顯示,隨機尖點突變模型在對數據的解釋力方面均要優于普通的線性模型和具有模仿突變效果但不具備突變結構的Logistic模型.滬市的突變模型表現很好,尤其在一些市場劇烈波動的時間段和市場泡沫嚴重積累的破裂的時期;深市的模型不如滬市好,但總體上仍然要好于線性模型,特別是在市場產生震蕩下挫的時期.這些結果表明,中國股市自身具有內在的隨機突變機制,在一些特定的時間段內,市場不僅存在預期的不對稱,而且還具有一定交易行為和情緒的分化.滬市的隨機尖點突變特征較深市更為明顯,不過這些特征在近年已趨于減弱,表明市場正逐漸成熟.在深市中,隨機尖點突變機制只能解釋大約50%的市場波動,市場更豐富的復雜行為還有待進一步研究.

利用模型的實證還發現,兩市中主導市場熊牛傾向預期的因素不甚相同,在滬市中主要是資金的進出比,反應了滬市的預期傾向主要受知情交易的影響,而在深市中則主要是短期的價格走勢,說明深市的信息融入相對較慢,市場傾向有一定慣性.另一方面,在兩市中,決定交易行為和情緒分化的力量均主要來自交易量的變動.市場對交易量的大增大減易于產生信念的分化.同時換手率也是反映中國股市信念分化的一個重要特征,但在深市中這一特征并不明顯.當然本文只是對中國股市隨機尖點突變建模的初步嘗試,為了更為深刻和詳細揭示市場這方面的機制和特征還尚需選擇更為豐富的反映市場信念、偏好、情緒以及預期等的自變量組合來進行研究.

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Stochastic cusp catastrophe model for Chinese stock market

Lin Li
(School of Business,East China University of Science and Technology,Shanghai 200237,China)

A stochastic cusp model for Chinese stock market is established.After selecting the variables,two different models are set up to characterize Shanghai Stock Index and Shenzhen Composite Index respectively. Model calibrations based on a consistent Cobb’s MLE method and corresponding statistical tests by sliding windows for historical data show that our optimal models outperform both linear regression model and nonlinear logistic model,which does not posses degenerate critical points but can mimic the sudden transition of the cusp.The empirical tests suggest that,in Chinese stock market,there exist not only asymmetric beliefs in a bull or bear market,but also strong bifurcations of trading behaviors and sentiment during periods of large fluctuations,bubble accumulation and bubble bursting.In addition,the Shanghai’s stock cusp model fits better than Shenzhen’s stock cusp model does.However,the Shanghai’s stock model becomes weaker in distinguishing bifurcation behavior from the cusp model and logistic one in recent years,which implies the market is in the evolution of gradual rationalization.

catastrophetheory;stochasticcuspcatastrophemodel;stockbubbles;marketsentiment;maximum likelihood estimation

F830;N945

A

1000-5781(2016)01-0055-11

10.13383/j.cnki.jse.2016.01.006

2014-12-08;

2015-07-15.

國家自然科學基金資助項目(71301051);中央高校基本科研業務費資助項目(WN1323004).

林黎(1981–),男,云南昆明人,博士,講師,研究方向:基于復雜性計算的資產定價方法,泡沫理論與系統性風險研究, Email:llin@ecust.edu.cn.