復合荷載下簡支梁的彈性彎扭屈曲

管海龍，郭兵，褚昊

(山東建筑大學 土木工程學院, 山東 濟南 250101)

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復合荷載下簡支梁的彈性彎扭屈曲

管海龍，郭兵*，褚昊

(山東建筑大學 土木工程學院, 山東 濟南 250101)

復合荷載作用下單向受彎簡支梁的彈性臨界彎矩對簡支梁的穩定設計非常重要。文章基于總勢能公式，圍繞復合荷載作用下簡支梁的彈性彎扭屈曲進行了研究，針對簡支梁在復合荷載作用下的彈性臨界彎矩計算公式適用范圍有限的情況，通過采用瑞利—里茲法主要推導了單個集中荷載、滿跨均布荷載和端彎矩單獨作用以及組合作用下簡支梁的彈性臨界彎矩和對應參數的計算方法，并與現有的計算方法進行了對比分析。結果表明：推導的彈性臨界彎矩計算公式在形式上與傳統公式完全一致，但參數C1、C2、C3不再是簡單荷載下的具體數值，而是通用計算公式，不僅可適用于簡單荷載，也可適用于復合荷載;一系列的算例表明，文中所給公式的計算結果與傳統計算方法所得結果最大偏差為5.5%，精度較高且適用范圍廣。

彈性彎扭屈曲；簡支梁；總勢能公式；臨界彎矩；復合荷載

0　引言

受彎構件的穩定研究始于18世紀，但早期沒有考慮彎曲與扭轉的耦合作用，直到19世紀末，國內外學者才首次考慮，并建立了工字形截面受彎構件的彎扭平衡微分方程[1-4]。隨著各種求解穩定問題近似方法的出現，彎扭屈曲理論在20世紀中葉得到了快速發展，形成了經典彎扭屈曲理論。在此基礎上，后來的一些學者又通過不同的研究方法提出了新的見解[3-6]。

彈性臨界彎矩Mcr對穩定設計非常重要，由于問題的高度復雜性，各國規范給出的Mcr計算公式不盡相同。國內外部分學者對復合荷載下簡支梁的彎扭屈曲進行了研究，研究對象或限于雙軸對稱截面，或限于特定的荷載形式，適用范圍有限[7-8]。周緒紅等和劉占科等雖然給出了參數C1、C2、C3的通用計算公式，可用于不同荷載類型并且可以同時考慮多種荷載，但由于文獻中假設的位移函數為單個正弦函數，只能描述對稱變形，與簡支梁的實際變形不一定完全相符，當荷載非對稱時，得到參數會有較大的偏差[9-10]。

文章研究復合荷載作用下簡支梁的彈性彎扭屈曲，為了擴大簡支梁在復合荷載作用下的彈性臨界彎矩計算公式的適用范圍以及減小劉占科等計算公式的誤差[10]，文章將采用多項式表達的位移函數，并利用童根樹的總勢能公式，通過瑞利—里茲法對簡支梁的臨界彎矩及其參數進行推導，得到復合荷載作用下的簡支梁彈性臨界彎矩計算公式。

1　簡支梁的臨界彎矩計算公式

1.1基本假設

推導臨界彎矩的總勢能公式有很多，比如Bleich公式、童根樹公式和呂烈武公式[11-13]。文章采用了童根樹的總勢能公式來研究臨界彎矩計算公式，勢能公式由式(1)表示為

-2Mu'θ'+2βyM'θθ'-2M'u'θ)dz

(1)

式中：П為總勢能，J；E為彈性模量，N/mm2；G為剪切模量，N/mm2；M為彎矩，kN·m；P為集中荷載，kN；qy為均布荷載，kN/m；Iy為繞y軸的慣性矩，mm4；Iω為翹曲慣性矩，mm6；It為自由扭轉慣性矩，mm4；βy為截面不對稱參數；l簡支梁的長度，m；u和θ分別為梁上任意一點在x方向的位移和該點繞剪心S的轉角；θ(z1) 為集中荷載處構件截面的轉角;a為荷載作用點到剪心在y方向的距離，mm。圖1中各作用點在剪心上方時取負值，反之取正值。

圖1所示簡支梁，承擔一個沿z方向任意位置的集中荷載P、滿跨均布荷載q以及端彎矩，假設P和q的作用點位置一致，與剪心之間在y向的距離為a，忽略自重的影響。

圖1　構件坐標、荷載及截面側向彎扭位移圖(a)坐標及荷載；(b) 截面位移

在圖1中P為集中荷載，kN；q為均布荷載，kN/m；M1、M2為端彎矩，kN·m；x、y、z為坐標軸；z1為跨中集中荷載作用點的位置，mm；S為剪力中心；O為形心；u和θ分別為梁上任意一點在x方向的位移和該點繞剪心S的轉角；S′ 和O′分別為構件轉動后的剪力中心和形心；a為荷載作用點到剪心在y方向的距離，mm。

假設u、θ、ψ、ζ以及Mx的函數表達式由式(2)～(6)表示為

u=Aψ+Bζ

(2)

θ=Cψ

(3)

ψ=sin(πz/l)

(4)

ζ=sin(2πz/l)

(5)

Mx=Mmaxη

(6)

式中：ψ為u和θ的基函數；ζ為u的基函數；A、B、C為相對應的系數；Mx為繞x軸的彎矩；Mmax為彎矩最大值；η為簡支梁上彎矩的分布函數。

當跨中作用集中荷載或集中荷載與滿跨均布荷載的復合荷載時，令q=βP，β為系數，設式(7)為

Mmax=Pe

(7)

其中，e為等效力臂，表達式(8)為

(8)

將式(2)、(3)、(6)、(7)代入總勢能公式即式(1)中，通過整理可得式(9)為

(9)

式中：k1～k10為參數，分別按式(10)～(19)計算為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

1.2臨界彎矩及參數公式

EIyk7A+EIyk10B-(k1+k2)MmaxC=0

(20)

EIyk10A+EIyk9B-(k3+k4)MmaxC=0

(21)

(EIωk7+GItk8+2k1Mmaxβy+2k2Mmaxβy-k5Mmaxβy+k5Mmaxa+k6Mmaxβy-k6Mmaxa)C

-(k1+k2)MmaxA-(k3+k4)MmaxB=0

(22)

因k10=0，可直接去掉，式(20)～(22)簡化為(23)、(24)

EIyk7A-(k1+k2)MmaxC=0

(23)

EIyk9B-(k3+k4)MmaxC=0

(24)

(EIωk7+GItk8+2k1Mmaxβy+2k2Mmaxβy-k5Mmaxβy+k5Mmaxa+k6Mmaxβy-k6Mmaxa)C

-(k1+k2)MmaxA-(k3+k4)MmaxB=0

(25)

由A、B、C的系數行列式為零可得式(26)為

(26)

將式(26)進行整理可得式(27)為

(27)

將k7、k8、k9的值代入式(27)，整理可得彈性臨界彎矩Mcr，由式(28)表示為

(28)

式中：C1、C2、C3為參數，分別按式(29)～(31)計算為

(29)

(30)

(31)

式中：當跨中作用集中荷載或集中荷載與滿跨均布荷載的復合荷載時，k6=0。

2　與現有計算方法的對比分析

2.1跨中集中荷載

假設簡支梁只在跨中央作用一個集中荷載，由式(32)表示為

(32)

由式(8)得e=l/4，由式(10)～(15)求得

將k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1.38、C2=0.56、C3=0.41；經典的解析解[14]為C1=1.35、C2=0.55、C3=0.4；對應參數的最大誤差為5.5%。

假設只在簡支梁跨中四分之一處作用一個集中荷載，由式(33)表示為

(33)

由式(8)得e=3l/16，由式(10)～(15)求得

將k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1.527、C2=0.413、C3=0.557；由童根樹的βb公式解得βb=1.45[11]。當荷載作用在剪心且為雙軸對稱截面時，C1應與βb相等，誤差為5.3%。

為了能進一步了解文章Mcr公式的具體偏差，下面舉一個實例來進行對比分析。

圖2為跨中央承擔集中荷載的簡支梁，選單軸對稱的工字型截面為分析對象，l=3000 mm。假設鋼材為彈性，彈性模量E=206000N/mm2，剪切模量G=79000N/mm2。該截面的幾何參數為：A=4386mm2、Ix=6.0118×107mm4、Iy=3.3939×106mm4、It=1.251×105mm4、βy=-104.8mm、Iω=2.7985×1010mm6、ys=-86mm。當荷載作用點分別位于1號、2號、3號點時的根據公式(28)～(31)計算的臨界彎矩見表1，其中括號內數值為經典解[14]。

圖2　跨中作用集中荷載的簡支梁圖/mm

荷載作用點位置Mcr值/(kN·m)誤差比/%1號點91.584(90.514)12號點114.935(113.218)13號點274.829(266.747)3

由表1可知，兩條公式求到的臨界彎矩值的誤差較小，最大不超過3%。

2.2滿跨均布荷載

假設只在簡支梁上作用滿跨均布荷載，則式(34)為

(34)

由式(10)～(15)求得

將k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1.15、C2=0.47、C3=0.53；與經典解析解完全一致，誤差為0[14]。

2.3端彎矩

假設只在簡支梁上作用端彎矩，當兩端彎矩相等且同號(η=1)時，由式(10)～(15)求得

k4=0，k5=0，k6=0

將k1～ k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1、C2=0、C3=1；與經典解析解[14]完全一致，誤差為0。

當兩端彎矩相等且異號，則式(35)為

(35)

由式(10)～(15)求得

將k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=2.78、C2=0、C3=0；由童根樹的βb公式解得βb=2.64[11]。當荷載作用在剪心且為雙軸對稱截面時，C1應與βb相等，誤差為5.3%。

2.4復合荷載

圖3所示簡支梁，承擔一個跨中央處的集中荷載P、滿跨均布荷載q以及端彎矩M、P與q的作用點位置相同，令q=4P/l、M=Pl/4，則

圖3　復合荷載作用下的簡支梁圖

(36)

由式(8)得e=3l/4，由式(10)～(15)求得

將k1～k6的值代入到式(29)～(31)，解得C1=1.162、C2=0.157、C3=0.843；由Kirby的βb公式解得βb=1.143[15]。當荷載作用在剪心且為雙軸對稱截面時，C1應與βb相等，誤差為1.7%。

3　結論

針對單個集中荷載、滿跨均布荷載以及端彎矩組合作用下的單向受彎簡支梁，文章利用瑞利—里茲法推導出了臨界彎矩Mcr及參數C1、C2、C3的通用計算公式，可以得到以下幾點結論：

(1) 文中推導的彈性臨界彎矩計算公式在形式上與傳統公式完全一致。

(2) 參數C1、C2、C3不再是簡單荷載下的具體數值，而是通用計算公式，不僅可適用于簡單荷載，也可適用于單個集中荷載、滿跨均布荷載以及端彎矩組合作用下的簡支梁，集中荷載可沿z方向任意位置，而且復合荷載的大小與作用點位置也可以不同；一系列的算例表明，文中所給公式的計算結果與傳統計算方法所得結果最大偏差為5.5%，精度較高且適用范圍廣。

(3) 文章提供的計算方法也有局限性，要求集中荷載與均布荷載的作用點位置a相一致，對于a不同的情況還有待進一步研究。

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(學科責編：吳芹)

Elastic flexural-torsional buckling of simply supported beam under combined loads

Guan Hailong, Guo Bing*, Chu Hao

(School of Civil Engineering, Shandong Jianzhu University, Jinan 250101, China)

The elastic critical moment of one-way flexural simply supported beam under combined loads is very important to the stable design of simply supported beam. The article is based on the total potential energy formula of Tong Genshu, studied around elastic flexural-torsional buckling of simply supported beam under combined loads, for the case of the scope of formula of the elastic critical moment of simply supported beam limited under combined loads, using Rayleigh-Ritz method to derive calculation method for critical simply supported beam bending moment and its parameters in the single concentrated loads、uniformly distributed load and end moment effect, making comparative analysis with the existing calculation method. The result shows: The critical moment formula derived in this article is fully consistent with the traditional formula in the form, however, the parameters CC2C3is no longer a specific value under the simple load, but the general formula, not only for simple load, but also be used in the composite load. A series of examples show that the maximum deviation of the results of the formula in this article and the traditional formula is 5.5%high precision and wide range of application.

elastic flexural-torsional buckling; simply supported beam; total potential energy equation; critical moment; combined loads

2016-03-23

管海龍(1992-)，男，在讀碩士，主要從事鋼結構等方面的研究. E-mail: 1490479117@qq.com

*：郭兵(1970-)，男，教授，博士，主要從事鋼結構等方面的研究. E-mail: sdgb123@163.com

1673-7644(2016)03-0249-05

TU996

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