深溝球軸承的載荷分布

魏延剛，呂晶晶，劉彥奎

(大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)*

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深溝球軸承的載荷分布

魏延剛，呂晶晶，劉彥奎

(大連交通大學 機械工程學院，遼寧 大連 116028)*

根據滾動軸承載荷分布理論，用傳統的連續函數模型計算法、離散方法模型計算法和有限元法對深溝球軸承的載荷分布進行了計算，計算結果表明三種方法所求出的載荷分布規律相同，但計算精度不同，離散模型方法不僅計算精度最高，所給出的深溝球軸承的離散模型載荷分布計算程序，使得離散模型方法應用最為方便.

深溝球軸承；離散模型；有限元；載荷分布

0　引言

滾動軸承的載荷分布分析也是其力學特性分析的基礎,如剛度、變形和承載能力、潤滑狀態、摩擦與溫升、預期壽命等滾動軸承的一些主要性能，都是在進行載荷分布分析的基礎上獲得的.因此滾動軸承的載荷分布分析是確定軸承疲勞壽命和可靠性的關鍵因素.

滾動軸承的載荷分布是指軸承在一定的載荷作用下，參與承載的滾動體數目和各受載滾動體所受載荷的大小，換句話說，也就是載荷在滾動體之間是如何分配的.實際上，滾動軸承的載荷分布不但與所受載荷的大小和方向、滾動軸承的類型和幾何參數(滾動體的數目等)有關，還與滾動軸承的內部間隙、滾動體與內、外圈的變形有關.

在靜載荷作用下傳統的滾動軸承載荷分析是在剛性套圈假設條件下進行的，并且不計摩擦力和滾動體慣性力，只考慮軸承內部間隙，滾動體與內、外圈之間的接觸變形產生位移的影響(沒有考慮內、外圈的整體變形的影響)，而且將滾動軸承滾動體與內、外圈接觸的離散模型變換為連續模型，用載荷積分這個連續函數來表示滾動軸承滾動體與內、外圈接觸的位置間隙與變形的離散分布函數，為了方便應用，將載荷積分(包括徑向載荷積分、軸向載荷積分和力矩載荷積分)制成表或圖供設計計算時使用.這種方法是經典的滾動軸承專著采用的方法，也是國際標準所使用的方法，也就是被公認的方法[1-3].然而，經典載荷分布分析這種方法也仍然存在不足.不足之一是，實際上完全剛性的套圈是不存在的，在靜載的作用下，內外套圈會不可避免的產生位移和偏離圓形的變形.不足之二是，實際上滾動體與內、外圈之間的接觸是離散的，不是連續的，因此，用載荷積分這種連續函數表達離散模型必然存在一定的誤差；不足之三是，實際上軸承的載荷來自軸或軸承座，軸或軸承座與軸承之間的載荷分布不是集中力，而是分布力，這種分布力必然導致軸承內、外圈產生總體變形，內外圈的總體變形對軸承的載荷分布必然會產生一定的影響.

本文擬針對上述靜載荷作用下傳統的滾動軸承載荷分布計算的不足，一是用軸承載荷分布實際的離散模型計算軸承載荷分布，二是考慮內、外圈總體變形對滾動軸承載荷分布的影響，用有限元法對深溝球軸承的載荷分布進行計算，并比較傳統的滾動軸承載荷分布計算模型、實際的離散模型計算軸承載荷分布和有限元法這三種方法的結果，從而對深溝球軸承實際的設計計算提供參考.

1　離散模型載荷分布計算

1.1離散模型下載荷分布數學模型與編程

對于徑向載荷作用下的深溝球軸承，軸承外圈固定不動，內圈在徑向載荷的作用下向下移動，產生徑向位移δr.以承載最大滾動體為起點，在任意角度位置滾動體的徑向位移為δψ，如圖1所示.

圖1　軸承套圈位移

由彈性力學理論可得任意角度位置ψ的滾動體所承受的徑向載荷與最大承載滾動體所承受的載荷的關系為

根據變形協調條件和靜力平衡關系可以求出軸承所承受的徑向載荷Fr與最大承載滾動體所承受的載荷的關系為

式中，載荷分布系數

負荷區域角度范圍

徑向積分

又

所以

實際上滾動體與內、外圈之間的接觸是離散的，不是連續的，因此，用載荷積分這種連續函數表達離散模型必然存在一定的誤差.本文將應用軸承載荷分布離散模型進行計算，即對式直接進行求解.

可應用二分法(其流程圖如圖2所示)求出未知量δr，從而可求出

從而求出

圖2　二分法流程圖

為了方便計算，將深溝球軸承離散模型下的載荷分布編制VB程序，其程序框圖如圖3所示.

圖3　VB程序框圖

圖4　滾動體編號

1.2兩種模型下軸承載荷分布算例與結果比較

以型號為209DGBB深溝球軸承為例，軸承的徑向載荷為Fr=8900N，軸承內徑為45mm，外徑為85 mm,滾動體數目9，滾動體直徑12.7 mm，彈性模量207 000 N/mm2，泊松比0.3；分別用Qψc和Qψd表示連續模型和離散模型下的深溝球軸承各個滾動體所承受的載荷，為了能夠更直觀的說明軸承載荷分布，將各個滾動體編號，如圖4所示.

在不同徑向載荷Fr作用下，不同徑向間隙時，傳統方法和離散方法計算出的軸承的載荷分布分別在表1、表2中給出.表中列出了所有滾子的編號、與編號對應的滾子的位置角ψi、滾子所承受的載荷Qψc和Qψd；表中最后兩行還給出了所有滾子所受載荷在軸承徑向力方向的和力∑Fr和∑Fr與軸承徑向力Fr的相對誤差.

從表1中不難發現，在徑向載荷Fr=4 450 N作用下，徑向間隙分別為0.015、0和-0.015時，兩種算法所得出的載荷分布規律一致，但受載滾子所受載荷在數值上有所不同.當徑向間隙為0.015時，只有3 個滾子承受載荷，而當徑向間隙為0和-0.015時，受載滾子增加為5個；而且間隙越小受載最大的滾子所受載荷越小.傳統連續模型計算方法所得出所有滾子所受載荷在軸承徑向力方向的和力∑Fr與軸承徑向力Fr的相對誤差分別約為0.98%、0.39%和0.91%，而離散模型方法所計算出的相對誤差都是約為0.03%、0.01%和0.02%.

表1　徑向載荷Fr=4 450 N，不同徑向游隙時兩種計算模型中各個滾動體的受載

表2　徑向載荷Fr=8 900 N，不同徑向游隙時兩種計算模型中各個滾動體的受載

當載荷Fr=8 900 N時，三個間隙下都是有5個滾子承受載荷，也是間隙越小受載最大的滾子所受載荷越小.從表2中類似的得到相應的兩種算法的誤差分別約為0.19%、0.36%、0.64%和0.01%、0.02%、0.005%.顯然，離散模型方法所計算出的結果精度高.

2　有限元仿真與滾動軸承載荷分布

2.1有限元仿真模型

將深溝球軸承的內外圈和滾動體均設置為彈性體.其外圈固定，內圈轉動，在其內圈的幾何中心處施加Fr的徑向載荷.

圖5　網格劃分后模型

為了提高計算效率，由于軸承幾何結構的對稱性，本文采用沿軸承軸線方向取有限元模型的二分之一進行計算分析，并將滾動體按照順時針的方向進行編號.其簡化后的模型如圖4所示.為了在保證計算精度的同時能盡量減少計算時間，在發生接觸的區域進行網格細化并設置合理的邊界條件.整個軸承有限元模型共有412 068個節點和373857個單元.網格細化后的模型如圖5所示.

2.2有限元仿真結果及軸承載荷分布分析

對于大多數的球和滾子軸承，內滾道的法向接觸應力要大于外滾道的法向應力，且內滾道與外滾道的接觸應力分布規律相似.由于篇幅有限，在此僅給出徑向間隙為0 mm、徑向載荷為8 900N時，用有限元法進行仿真所獲得的接觸應力云圖，見圖6.由圖可知，只有3號～7號滾動體承受載荷，其中5號滾動體所受的載荷最大，其最大接觸應力值3 057 MPa.

圖6　深溝球軸承內圈接觸應力云圖

可以將有限元分析所得出的接觸應力，通過積分的方法，將各個接觸面上的應力求和，從而獲得所需的每個滾動體所承受的載荷，也就是軸承的載荷分布.

徑向間隙分別為0 mm時，在三個大小不同的徑向載荷Fr(4 450、6 675、8 900 N)作用下，三種計算方法計算出的209DGBB深溝球軸承的載荷分布在表3中給出.由表3可知，用有限元法計算出的結果與前述兩種算法得出的載荷分布規律一致，但受載滾動體所受載荷在數值上有所不同.在不計接觸面上的摩擦力時，有限元法計算出的相對誤差分別約為1.8%、1.7%和1.7%.

表3　徑向游隙Pd=0時，各模型中不同徑向載荷下各個滾動體的受載

3　結論

對深溝球軸承的載荷分布采取了三種不同的方法.分別為：傳統連續型模型算法、改進后的離散模型方法以及有限元分析法.這三種方法所得出的分布規律完全相同.相比之下，離散模型算法所得出的精度最高，傳統連續型模型算法次之；而根據有限元分析計算出的接觸應力，通過對接觸區域的接觸應力進行積分所求出的結果精度相對最低，其主要原因是沒有考慮接觸面上摩擦力的影響.考慮到離散模型算法不但計算精度高，而且計算公式具有通用性，改變其中的一些變量即可以推廣到圓柱滾子軸承和圓錐滾子軸承等其他軸承的載荷分布計算中，因此，建議應用中使用離散模型算法.

[1]HARRIS TA, KOTZALA MN.Rolling Bearing Analysis FIFTH EDITION: Essential Concepts of Bearing Technology[M]. Boca Raton: CRC Press, 2007.

[2]HARRIS TA.滾動軸承分析(第1卷):軸承技術的基本概念[M] .5版，北京：機械工業出版社, 2010:104-157.

[3]中華人民共和國國家標準.GB/T20060-2011滾動軸承國家標準[S].北京：中國標準出版社,2003:29-33.

[4]鄧四二.滾動軸承設計原理[M].北京：中國標準出版社,2004:55-68.

[5]魏延剛,趙兵.四點接觸球軸承接觸角對接觸應力的影響初探[J].大連交通大學學報, 2015，36(4)：51-53..

Three Methods of Internal Load Distributions of Deep Groove Bearing

WEI Yangang,LV Jingjing,LIU Yankiu

(School of Mechanical Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

Distributions of internal load in cylindrical roller bearing are calculated by continuous function model (conventional method), discrete function model and finite element method according to the internal load distribution theory of rolling bearing. The results of the three methods show that the pattern of the internal load distributions is the same with different accuracy. The discrete function model has not only the highest accuracy, but it is also convenient to be used in practice with the program offered by the paper.

deep groove bearing; distributions of internal load; discrete function model; finite element method

1673- 9590(2016)05- 0062- 05

2016-03-26

魏延剛(1961-),男,教授,碩士,從事機械設計與制造的研究

A

E- mail:ygwang78@126.com.