一道學科能力展示試題的背景探源

◇　北京　　　　張留杰　童嘉森(特級教師)

(作者單位:1.北京市陳經(jīng)綸中學　2.北京市第八十中學

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一道學科能力展示試題的背景探源

◇北京張留杰1童嘉森2(特級教師)

2015年12月13日的“第八屆全國中學生數(shù)理化學科能力展示活動”已落下帷幕,筆者感覺高二數(shù)學試卷的第15題內(nèi)涵豐富、值得深思,下面是對該試題的證明和探究.

1　題目的解答

Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)>0,

①

②

易得t=1是該方程的一個解.

所以點Q(x3,y3)也是線段OP的中點,OP與MN互相平分,所以四邊形OMPN為平行四邊形(特別的,當M、N2點分別在坐標軸上時,四邊形OMPN為矩形).所以

圖1

2　試題的背景探源

波利亞在《怎樣解題》中指出:回顧已經(jīng)完成的解答是工作中的一個重要且有啟發(fā)性的階段……去回顧他所做的一切,可能有利于探究他剛才克服的困難的實質(zhì).回顧此題,不難發(fā)現(xiàn)這是一道與“相似橢圓”有關(guān)的問題,它充分體現(xiàn)了2個特殊的相似橢圓的性質(zhì),下面給出試題背后所蘊含的一般性結(jié)論,也是命制該試題的根源所在.

圖2

1) 四邊形OMPN為平行四邊形;

3) 四邊形OMPN的面積為定值ab;

4)A、O、B3點共線.

PM:αx1x+βy1y=1,PN:αx2x+βy2y=1.

將點P(x0,y0)的坐標代入得αx1x0+βy1y0=1和αx2x0+βy2y0=1,所以切點弦MN所在直線方程為αx0x+βy0y=1.

2) 由1)知PA∥ON、PB∥OM,所以

SOMPN=|x1y2-x2y1|=

同理可得點N是切線PB的中點,又PO的中點Q在中位線MN上,所以

∠POA+∠POB=∠PQM+∠PQN=180°,

所以A、O、B3點共線.證畢.

因此根據(jù)原題目的條件和結(jié)論,不難發(fā)現(xiàn)將結(jié)論1中的條件和結(jié)論重新組合,且a=2,b=1,即可編制出此能力展示試題.

我們還猜想該競賽題具有一般結(jié)論:

圖3

1) 四邊形OMPN為平行四邊形;

2)PM、PN與橢圓C1相切.

(請感興趣的讀者自行證明).

(作者單位:1.北京市陳經(jīng)綸中學2.北京市第八十中學