不等式證明中的5種新觀點

◇　北京　齊龍新(特級教師)

(作者單位：北京市育英學校)

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不等式證明中的5種新觀點

◇北京齊龍新(特級教師)

不等式證明的常規方法有比較法、綜合法、分析法、放縮法、反證法、數學歸納法、幾何法、函數法、向量法等等,但是即使了解這些常規方法,解題中也常常感覺無從下手.隨著課程改革的深入,知識面的擴展,證明不等式問題還應有新的觀點.本文介紹5個證明不等式問題的新觀點,供同學們參考.

1　模型觀點

模型識別能起到定向訓練的作用,可以訓練我們在遇到新問題時善于識別問題的特征,準確地將其歸納為某種數學模型, 從而盡快地明確解題思路, 選擇解題方向.

證明

[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]·

所以

2　湊“等”觀點

上面3式相加得

16+13(x+y+z)+3=32,

3　“黃金不等式”觀點

在近年各地高考試卷中,對函數y=ex和y=lnx的考察是常考常新,其中關于不等式的證明更是考察的重點和難點.這類題目命制根源常常是以下幾個不等式:

1) ?x∈R,有ex≥1+x,當且僅當x=0時等號成立;

2) ?x∈R,有ex≥ex，當且僅當x=1時等號成立;

3) ?x∈R*,有lnx≤x-1;

4) ?x∈R*,有lnx≤x/e.

上述不等式的幾何意義如圖1、2所示,利用導數可以輕易證出.

圖1　　　　　　　　　圖2

若能記住上述幾個放縮公式,可以快速突破不等式證明的難點.故筆者把它們都稱為“黃金”不等式.

(1) 求a、b;

(2) 證明f(x)>1.

①

當且僅當x=1時等號成立.

4　定積分觀點

圖3

由此可以得到n個不等式:

所以

5　概率觀點

把不等式中出現的參數看成隨機事件的概率,這樣就能把不等式的證明問題轉化為概率論中隨機事件的關系問題.這使得不等式的證明變得簡單、清晰,同時使得不等式具有某種概率意義.

證明通過對不等式的觀察,可以看出其中包含的規律和運算,構造以下概率事件,假設A、B、C、D是概率分別為a、b、c、d的相互獨立事件,那么通過概率中事件之間的關系和運算可以得出

(A∪B)∩(C∪D)=

(A∩C)∪(A∩D)∪(B∩C)∪(B∩D)?

(A∩C)∪(B∩D),

所以

P[(A∩C)∪(B∩D)]≤

P[(A∪B)∩(C∪D)].

因為A、B、C、D彼此獨立,所以(A∪B)與(C∪D)也是獨立.根據概率的加法與乘法公式可以得出

P(A∩C)+P(B∩D)-

P(A∩C∩B∩D)≤P(A∪B)P(C∪D).

又因為

P(A∩C)=P(A)P(C)=ac,

P(B∩D)=P(B)P(D)=bd,

P(A∩C∩B∩D)=P(A)P(B)P(C)P(D)=abcd,

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=a+b-ab,

P(C∪D)=P(C)+P(D)-P(C∩D)=c+d-cd,

所以

ac+bd-abcd≤(a+b-ab)(c+d-cd).

(作者單位：北京市育英學校)