以數列為例談“高觀點”下的合理糾錯

◇　河北　王習武

(作者單位：河北省灤平縣第一中學)

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以數列為例談“高觀點”下的合理糾錯

◇河北王習武

下面是一道典型的易錯題:

因為a1=1,an=2 004，所以an=n×1=2 004, 所以n=2 004.

上述答案是錯的,正確答案是n=4 008.

錯解分析為什么會錯呢?是由于對n的取值范圍理解不科學所致．因為有的同學僅僅認為只有在已知Sn求an時才討論n=1．實際上,數列是函數思想的延伸,一個數列可以將an看成關于n的函數,因此數列的通項公式就如同函數的解析式,能夠根據每個n的值,求出數列的每一項相對應的函數值，而n的取值范圍就是數列的定義域．

用這種觀點,我們來進行下面的討論.

1　什么時候需要“驗證n=1”

2　什么時候不用“驗證n=1”

我們再來看看下面的題目.

3　如何防止過度驗證或者忽視驗證

我們先來看下面的例題.

(n≥2),

an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2(n≥3).

所以an-an-1=(n-1)an-1,an=nan-1(n≥3),

又a1=1,a2=a1=1．所以正確答案是

上述過程中,大家會注意到在每次等式變形的后面,都添加上n的取值范圍,就像函數的定義域一樣,關注它的變化,不難判斷最終需要“驗證n=1”．

運用函數定義域的觀點來認識“驗證n=1”的現象,可以輕松應對所有的數列問題.這樣一來我們不再是僅僅停留在“運用Sn求數列通項需要驗證n=1”的狹隘認識上面了．其實,在處理其他很多問題時都需要“高觀點”,這樣同學們才能印象更深,理解更透徹．

再比如求解高次不等式時,常常需要按照“奇穿偶不穿”的原則畫圖求解.

首先要正確理解圖形的實質,其次要透徹理解為什么“偶不穿”．前者學過導數就會明白圖形的實質其實就是函數簡圖.后者,筆者認為不能說“偶不穿”,應該說“偶也穿”.因為偶重根穿過了之后,又回頭了,最終效果看起來似乎是“沒穿過”,這樣理解也就沒有所謂“奇穿偶不穿”,實際上是“見根就穿”．

(作者單位：河北省灤平縣第一中學)