基于不完備信息系統的三角模糊數決策粗糙集

李亞鴿，楊宏志，徐久成

(1.鄭州大學 數學與統計學院，河南 鄭州 450001； 2. 河南財經政法大學，河南 鄭州 450046； 3. 河南師范大學 計算機與信息工程學院，河南 新鄉 453007； 4.新鄉學院 數學與信息科學學院，河南 新鄉 453007)

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基于不完備信息系統的三角模糊數決策粗糙集

李亞鴿1,4，楊宏志2，徐久成3

(1.鄭州大學 數學與統計學院，河南 鄭州 450001； 2. 河南財經政法大學，河南 鄭州 450046； 3. 河南師范大學 計算機與信息工程學院，河南 新鄉 453007； 4.新鄉學院 數學與信息科學學院，河南 新鄉 453007)

在不完備信息系統中，針對用區間值表示一個未知參量時，整個區間內取值機會被認為是均等的，得到的結果可能會產生過大誤差的問題，將三角模糊數引入到決策粗糙集中，提出了一種基于不完備信息系統的三角模糊數決策粗糙集。首先，定義了一種描述不完備信息的相似關系；然后，針對不完備信息系統中的缺失值，利用三角模糊數來獲取損失函數，構建了三角模糊數決策粗糙集模型；實例表明，本文提出的方法不僅能夠彌補用區間數表示的不足，而且可以突出可能性最大的主值，從而減少分類誤差。

不完備信息系統；區間值；三角模糊數；決策粗糙集

中文引用格式：李亞鴿，楊宏志，徐久成. 基于不完備信息系統的三角模糊數決策粗糙集[J]. 智能系統學報， 2016, 11(4): 449-458.

英文引用格式：LI Yage ， YANG Hongzhi， XU Jiucheng. Triangular fuzzy number decision-theoretic rough sets under incomplete information systems[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2016, 11(4): 449-458.

在現實生活中，由于測量誤差、數據獲取能力不足等原因，使得大量的信息系統都是不完備的[1]。一般來說，不完備信息系統(incomplete information systems, IIS)中的未知屬性值有3種不同的情況。一種是未知屬性值是被遺漏的，但又確實存在的[2]。根據這樣的解釋，Kryszkiewicz構建滿足自反性和對稱性的容差關系[3]，并研究了IIS中的知識約簡問題；基于容差關系，王國胤等[1]提出了限制容差關系；楊習貝等[4]給出了一種可變精度分類關系，對限制容差關系進行了擴展；一種是未知屬性值被認為是丟失的，不允許被比較[5]，據此，Stefanowski等構建了非對稱相似關系[6]，并建立了近似集的概念；另外一種是未知屬性值被認為是暫時性缺失。

決策粗糙集是20世紀90年代由Yao提出的一種重要的粗糙集模型[7]，該理論的核心內容是通過分析比較各種決策的風險損失，找出最小風險損失決策，以此作為把對象劃分到正域、負域和邊界域的依據。賈修一等[8]提出了一種基于決策風險最最小化的屬性約簡定義，它要求在約簡后的屬性集合上所做出的決策風險小；王國胤等[9]對國內外有關決策粗糙集模型進行了綜述和分析；Li等[10]根據決策者的不同風險偏好，給出了樂觀決策、悲觀決策與中性決策的多角度決策粗糙集模型；葉東毅等[11]提出了基于模糊數風險最小化的拓展決策粗糙集模型；此外，決策粗糙集已在郵件信息過濾系統、文本聚類和分類、石油開采中得到了較好應用[12-16]。

然而，在已有對決策粗糙集的研究中，代價敏感損失函數大都由專家提供。考慮到人為判斷的模糊性，單值損失函數存在很大誤差，損失函數應具有一定的伸縮性，為此，劉盾等[17]提出區間決策粗糙集，討論了用區間值來刻畫損失函數；考慮到信息系統的不完備性，馬興斌等[18]討論了不完備信息系統中的多重代價決策粗糙集；劉盾等[19]將不完備信息引入到區間決策粗糙集中，構建了一個混合信息知識表，用以處理IIS中的三支決策問題，但是這仍具有一定的誤差，特別地，在IIS中，用區間數表示一個未知參量時，整個區間內取值機會被認為是均等的，得到的結果可能會產生過大誤差。而在三角模糊數區間取值中，主值a的取值機會最大，由a靠近上限、下限取值可能性遞減。因此，使用三角模糊數進行不確定性值的評判，不僅能夠突出取可能性最大的主值，而且可以彌補用區間數表示的不足。基于此，本文在IIS的基礎上提出了使用三角模糊數來改善只用上下限表示的區間數取值，構建了三角模糊數決策粗糙集模型。

1　基礎知識

1.1決策粗糙集

決策粗糙集[20-21]模型利用兩個狀態集和3個行動集描述決策過程。狀態集Ω= {X,X}分別表示某事件屬于X和不屬于X，行動集A={aP,aB,aN}分別表示接受某事件、延遲決策和拒絕某事件3種行動。考慮到采取不同行動會產生不同的損失，用λPP、λBP、λNP分別表示當x屬于X時，采取行動aP、aB、aN下的損失；用λPN、λBN、λNN分別表示當x不屬于X時，采取行動aP、aB、aN下的損失。因此采取aP、aB、aN3種行動下的期望損失可分別表示為

(1)式中：[x]為樣本在屬性集下的等價類，P(X| [x])和P(X| [x])分別表示將等價類[x]劃分為X和X的概率。根據貝葉斯決策準則，需要選擇期望損失最小的行動集作為最佳行動方案，于是得到如下3條決策規則：

P) 若R(aP|[x]) ≤R(aB|[x])和R(aP|[x]) ≤R(aN|[x]同時成立，那么xPOS(X)；

B) 若R(aB|[x]) ≤R(aP|[x])和R(aB|[x]) ≤R(aN|[x])同時成立，那么xBND(X)；

N) 若R(aN|[x]) ≤R(aP|[x])和R(aN|[x]) ≤R(aB|[x]同時成立，那么xNEG(X)。

由于P(X| [x])+P(X| [x])=1，所以上述規則只與概率P(X| [x])和相關的損失函數λ有關。基于常識，做出正確決策產生的損失要小于做出錯誤決策產生的損失，故有0 ≤λPP≤λBPλNP，0 ≤λNN≤λBNλPN。基于這兩個條件，從規則P)～N)可以獲得以下3個閾值

(2)基于上述3個閾值，規則P)～N)可簡明表示為

P′) 若P(X|[x]) ≥α且P(X|[x]) ≥γ，則xPOS(X)；

B′) 若P(X|[x]) ≤α且P(X|[x]) ≥β，則xBND(X)；

N′) 若P(X|[x]) ≤β且P(X|[x]) ≤γ，則xNEG(X)。

1.2三角模糊數

模糊集作為精確數值的一種擴展形式，被用于處理模糊、不精確和不確定性決策問題。在模糊集理論中，隸屬函數是它的一個最基本元素。在隸屬函數中，三角模糊數是其中具有代表性的一個。

定義2[22]實數R上的模糊數a=(l, m, u)是一個三角模糊數，其中，l、m、u為實數，且lλmλu，m稱為三角模糊數a的主值，l與u分別稱為a的下界和上界。

模糊數a的隸屬函數的表達式可表示為

(3)當l=m或m=u時，三角模糊數就轉變為區間數，由此可見區間數是三角模糊數的一個特例。在區間數取值中，上下限的各個取值可以認為是機會均等的，而在三角模糊數區間取值中，主值a的取值機會最大，而由a靠近上限、下限的取值可能性遞減。

對于任意兩個模糊三角數a1=(l1,m1,u1)，a2=(l2,m2,u2)，根據擴展定理[24]相應的運算規則如下：

1)a1+a1=(l1+l2,m1+m2,u1+u2)；

2)a1-a2=(l1-l2,m1-m2,u1-u2)；

3) a1a2=(l1l2,m1m2,u1u2)；

4)a1/a2=(l1/u2,m1/m2,u1/l2)；

5) λ a2=(λ l2, λ m2, λ u2), λR且λ >0。

2　基于IIS的三角模糊數決策粗糙集

2.1不完備信息系統

定義1[23]不完備信息系統IIS= (U, AT,V,f)。其中，U是一個被稱為論域的對象集合；AT是非空有限的屬性集合；對于aAT，有a:UVa，其中Va是屬性a的值域(包括遺漏型空值和缺失型空值)。屬性值域集合V=UaATVa，f為信息函數，對于aA，xU，有f(x,a)Va。在本文中，IIS中所有的未知值都被認為是被遺漏的。

2.2相似度及相關知識

在IIS= (U, AT,V,f)中，V=Va{}，表示未知的值。陳圣兵等[25]在不完備信息系統中，分析并討論了空值相等的概率問題。基于文獻[25]，我們提出了在不完備信息系統中相似度的概念。

定義3 不完備信息系統IIS= (U, AT,V,f)。U={x1,x2, …,xn}為n個對象的集合，A={a1,a2, …,am}為m個屬性的集合。xi,xj, 由ai確定的相似度關系Sai(xi,xj)為

(4)

任意兩個對象xi、xj的相似度S(xi,xj)為

(5)

定義4不完備信息系統IIS= (U, AT,V,f)。L[0, 1]，相似關系SRAL為SRA的L-截集，其中L稱為閾值或置信水平，即

根據相似度的定義(5)，基于L-截集相似關系(6)，我們定義在IIS中的兩個近似和3個決策區域。

定義5 不完備信息系統IIS= (U, AT,V,f)。xU，令0<β≤α≤1，基于L-截集相似關系的下、上近似為

(7)

(8)

相對應的3個決策區域分別為

(9)

2.3整數值排序法

整數值排序法是通過把模糊數直接轉化成單個實數，然后依據實數大小來判定模糊數的次序。這種排序方法，涉及到決策者的風險偏好。根據Kumar A[26]的研究結論，三角模糊數r(a)的排序函數為

(10)式中：ρ是決策者的風險偏好指數，反映出決策者的樂觀程度。在式(10)中ρ值越大意味著決策者越樂觀，即悲觀決策者會高估損失值，而樂觀決策者則會低估損失值。特別地，當ρ= 0和ρ= 1時，r(a)的值分別代表了悲觀決策者和樂觀決策者的觀點。

2.4基于IIS的三角模糊數決策粗糙集的模型實現

根據貝葉斯決策過程，運用三角模糊數，不同狀態對應的三角模糊數損失值如表1所示。

表1　不同狀態下對應的三角模糊數損失值

在表1中，λPP=(lPP,mPP,uPP)、λBP=(lBP,mBP,uBP)、λNP=(lNP,mNP,uNP)分別表示當x屬于X時，采取行動aP、aB、aN下的損失；用λPN=(lPN,mPN,uPN)、λBN=(lBN,mBN,uBN)、λNN=(lNN,mNN,uNN)分別表示當x不屬于X時，采取行動aP、aB、aN下的損失。根據決策粗糙集的基本條件，假定損失值滿足以下條件

因此采取aP、aB、aN3種行動下的期望損失可分別表示為

(11)根據貝葉斯決策準則，需要選擇期望損失最小的行動集作為最佳行動方案，于是可得到如下3條決策規則：

在本文，我們選取整數值排序方法來研究三角模糊數決策粗糙集。基于式(10)，各期望損失值可以分別計算得到

其中

故得到如下3條決策規則：

由此，可推導出三角模糊數決策粗糙集的3個閾值，其結果為

(12)考慮到決策者的風險態度，基于決策粗糙集依次提出樂觀決策模型、中性決策模型和悲觀決策模型。類似于Li、Zhou的思想[10]，在整數值排序方法中決策者的風險態度指數是三角模糊數排序的重要要素，它會影響到閾值的取值。特別地，當ρ=1，對于樂觀決策者，其閾值可以表達為

當ρ=0，對于悲觀決策者，其閾值可以表達為

鑒于Yao[27]的討論結果，首先考慮決策規則(B)中存在αβ的情況，即

對于樂觀決策者，此時ρ=1，所對應的三支決策規則為

對于悲觀決策者，此時ρ=0，所對應的三支決策規則為

此外，為了保證研究的完備性，決策規則(B)還有另一種情況，即：

該條件蘊含著0≤α<γ<β≤1，此時，通過權衡可以得到以下簡化規則：

3　案例分析

醫學診斷是一種根據病人現有癥狀來判斷所得疾病類列的決策過程，在下面的討論中，以醫學流感診斷決策表S=為例[19]，來說明基于IIS的三角模糊數決策粗糙集決策過程。U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10}分別是10位病人的編號，條件屬性集C={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7}分別表示以上病人的7種癥狀：溫度、咳嗽、流鼻涕、頭疼、惡心、有痰、肌肉疼。決策屬性集D= {X,X}，其中X表示病人患有流感，X表示病人沒有患有流感。病人患病的實際情況如表2。

表2　病人患病的實際情況

為描述方便，在表2中，根據醫生的經驗，對每個屬性所對應值的大小有如下定義：

溫度a1：1代表高，2代表較高，3代表正常；

咳嗽a2：1代表是，2代表不是；

流鼻涕a3：1代表是，2代表不是；

頭疼a4：1代表很嚴重，2代表有點嚴重，3代表不嚴重；

惡心a5：1代表是，2代表不是；

有痰a6：1代表有，2代表沒有；

肌肉疼a7：1代表很嚴重，2代表有點嚴重，3代表不嚴重，*代表缺失值。

首先，根據醫生的經驗給出三角模糊數的損失區間，如表3所示。然后，根據式(4)，計算對象U中任意兩位患者xi,xj的相似度，結果如表4所示。

表3　病人的綜合評估損失情況

表4　各個病人之間相似度表示

在表3中，令L=0.5+ε(ε是正的無窮小數)，基于相似度可得xi的等價類：

根據醫生的經驗，集合X={ x1, x4, x5, x7, x8}時，這些患者得流感的概率相對較高。根據表2，每位患者得流感的條件概率如下：

根據2.2節整數排序法的三角模糊數r(a)的排序函數式(10)，當ρ= 0和ρ= 1時，r(a)的值分別代表悲觀決策者和樂觀決策者的觀點。根據式(12)可得各個病人的三角模糊數決策粗糙集相關閾值，計算結果如表5所示。

表5　各個病人的相關閾值計算結果

表5列出了每位病人在風險偏好者決策準則、風險厭惡者決策準則下，α、β和γ的取值情況。可以看出，α2較α1取值普遍大，β2較β1取值普遍小，這說明悲觀主義者厭惡風險，它通過較大的α 值和較小的β 值避免生病被延誤的概率；而樂觀主義者偏好風險，它通過較小的α 值和較大的β 值獲取無病的概率。

根據三角模糊數決策粗糙集中的決策規則，在決策判定過程中需要比較條件概率Pr(X|[xi]SRL)和閾值αi、βi的大小。當L= 0.5+ε時，樂觀決策者和悲觀決策者的決策結果如表6所示。

表6　決策結果

從表6可以看出，在樂觀決策者看來，{x1,x4,x5,x7,x8,x9}POS(X)，{x2,x6,x10}NEG(X)，{x3}BND(X)。但在悲觀決策者看來，{x1,x4,x5,x7,x8,x9POS(X)，{x2,x3,x6,x10}NEG(X)。通過與X={x1,x4,x5,x7,x8}對比可以發現，x3不是誘發患者患病的主要因素，但對于樂觀決策者來說，還需對它進行進一步的診斷。x9也不是誘發患者患病的主要因素，但樂觀決策者和悲觀決策者認為都需要進一步的診斷。因此，決策粗糙集能為現實的決策系統提供了一種修正誤分類錯誤的方法。

在上述實例中，我們求得的相似關系及條件概率是在L=0.5+ε的基礎上進行討論的。下面我們將探討L[0.5, 1]，步長0.1時，與之相對應的樂觀決策者和悲觀決策者的決策，結果如表7所示。

表7　L取不同的值所對應的決策結果

從表7可以看出，隨著決策偏好的粒度L的變化，決策者的選擇會有一定的變化。當L=0.7時，樂觀決策者和悲觀決策者認為x3、x6需要進一步的診斷，才能確診。然而當L≥0.8時，樂觀決策者和悲觀決策者認為x3、x6不需要進一步診斷，即可視為無患病者。且隨著粒度的增大，決策者的決策趨于穩定的狀態。

在IIS中，基于已給出的相似關系及已求得的條件概率，取三角模糊數的端點值作為區間值，將基于不完備信息系統的三角模糊數決策粗糙集與文獻[17]中的區間決策粗糙集方法作對比，在測試數據集上進行實驗，根據文獻[17]可得相對應的各個病人的相關閾值，樂觀和悲觀決策者的決策結果，及當L[0.5, 1]，步長0.1時，隨著L粒度的變化，與之對應的樂觀和悲觀決策者的決策，結果如表8～10所示。

表8　各個病人的相關閾值計算結果

表9　決策結果

從表9可以看出，取區間值作為基礎數據集時，在樂觀決策者看來，{x1,x3,x4,x7,x8,x9}POS(X)， {x2,x6,x10}NEG(X)，{x5}BND(X)。但在悲觀決策者看來，{x1,x3,x4,x7,x8,x9}POS(X)，{x2,x5,x6,x10}NEG(X)。通過與表6及集合X={x1,x4,x5,x7,x8}得流感的概率相對較高的患者對比可以發現，x5是誘發患者患病的主要因素，但是悲觀決策者認為不需要進一步的診斷。而x3不是誘發患者患病的主要因素，但是對于取區間值的樂觀決策者和悲觀決策者來說，都需對它進行進一步的診斷。

表10　L取不同的值所對應的決策結果

從表10可以看出，當L≥0.8時，樂觀和悲觀決策者的決策結果趨于穩定，其中x9不是誘發患者患病的主要因素，但是對于取區間值的樂觀和悲觀決策者來說，都需對它進行進一步的診斷。與采用三角模糊數方法相比，采用區間值分析與實際經驗值會產生較大的誤差。

4　結束語

本文基于IIS，從決策粗糙集出發，利用三角模糊數來設定損失函數，首先提出一種描述不完備信息的相似關系。然后，針對IIS中缺失值，借助三角模糊數的運算法則，利用三角模糊數來獲取損失函數，構建出三角模糊數決策粗糙集的基礎模型。通過實例可知，不同于區間數決策粗糙集的決策機制，利用三角模糊數來獲取損失函數，不僅能彌補使用區間參數時無法考慮區間內取值機會不等的問題，而且能更加細致地描述各個參量，使決策結果更加符合實際應用。下一個階段，將著重研究其他不確定環境下相應的擴展粗糙集模型的建立，如損失函數是隨機數且服從正態分布等情況下的研究。

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李亞鴿，女，1990年生，碩士研究生，主要研究方向為粗糙集、粒計算、三支決策。

楊宏志，男，1962年生，教授，博士，主要研究方向為粗糙集、概念格、粒計算。楊宏志教授長期從事應用數學的教學與研究工作，先后發表學術論文30余篇，出版著作2部，承擔并完成省級項目8項。

徐久成，男，1964年生，教授，博士生導師，主要研究方向為數據挖掘、粒計算與知識獲取、生物信息學等。發表學術論文100余篇，其中被SCI收錄14篇，被EI收錄30余篇；出版專著1部，主編國家“十一.五”、“十二.五”規劃統編教材3部。獲河南省自然科學優秀學術論文一等獎3項、河南省高等教育省級教學成果一等獎2項，河南省教育廳科技成果一等獎1項。

Triangular fuzzy number decision-theoretic rough sets under incomplete information systems

LI Yage1，4， YANG Hongzhi2， XU Jiucheng3

(1. School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China; 2. Henan University of Economics and Law, Zhengzhou, Zhengzhou 450046, China; 3. College of Computer and Information Engineering, Henan Normal University, Xinxiang 453007, China； 4. Department of Mathematics and Information Science,Xinxiang University, Xinxiang 453007,China)

Aiming at the problems that when using an interval value to represent an unknown parameter in an incomplete information system, the opportunity to obtain the value over the whole interval is considered to be equal, but the result may cause an over-large error. In order to solve this problem, a triangular fuzzy number was introduced into decision-theoretic rough sets, and a triangular fuzzy decision-theoretic rough set under incomplete information systems is proposed. Firstly, a new similarity relation was defined to describe incomplete information systems. Then, in view of the missing values, a model of triangular fuzzy number decision-theoretic rough sets was constructed to obtain the loss function. Finally, examples show that the proposed method not only makes up for deficiency in representation of the interval value, but also highlights the main value most likely to reduce the classification error.

incomplete information system; interval value; triangular fuzzy number; decision-theoretic rough sets

10.11992/tis.201606016

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20160808.0831.026.html

2016-06-03. 網絡出版日期：2016-08-08.

國家自然科學基金項目(61370169, 61402153)；河南省科技攻關重點項目(142102210056, 162102210261)；河南省高等學校重點科研項目(16A520057).

李亞鴿. E-mail：liyagezzu@163.com.

TP18

A

1673-4785(2016)04-0449-10