效用三支決策模型

張楠，姜麗麗，岳曉冬，周杰

(1. 煙臺大學 計算機與控制工程學院,山東 煙臺 264005； 2. 上海大學 計算機工程與科學學院,上海 200444； 3. 中聯重科股份有限公司 麓谷工業園研發中心，湖南 長沙 410205)

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效用三支決策模型

張楠1，姜麗麗1，岳曉冬2，周杰3

(1. 煙臺大學 計算機與控制工程學院,山東 煙臺 264005； 2. 上海大學 計算機工程與科學學院,上海 200444； 3. 中聯重科股份有限公司 麓谷工業園研發中心，湖南 長沙 410205)

風險型決策通常受主觀和客觀兩方面因素影響，決策過程中不僅需要遵從客觀存在的風險信息，而且需要發揮決策者的主觀能動性。為了在決策過程中引入決策者對于風險的主觀態度，本文把效用理論應用于三支決策模型，通過將風險損失函數擴展為效用函數提出了基于效用的三支決策模型。研究了效用與對象的概率之間的單調關系，給出了效用三支決策中正域效用、邊界域效用與負域效用的計算方法。最后，通過算例對提出的效用三支決策模型進行了有效地分析。該模型是經典三支決策模型的擴展，為三支決策模型中風險的主觀量化研究提供了有益探索。

效用理論；三支決策；粗糙集；人工智能；風險決策

中文引用格式：張楠，姜麗麗，岳曉冬，等. 效用三支決策模型[J]. 智能系統學報， 2016, 11(4): 459-468.

英文引用格式：ZHANG Nan， JIANG Lili， YUE Xiaodong， et al. Utility-based three-way decisions model[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2016, 11(4): 459-468.

在實際應用中，由于決策信息的不精確或者不完備，人們很難簡單地采用接受與拒絕兩種方式進行決策。通過推廣兩支決策到三支決策，加拿大Regina大學的Yao提出了三支決策理論[1](three-way decisions, TWD)。三支決策理論將不承諾決策(延遲決策)作為信息貧乏不足以決定接受或者拒絕時的第3種決策方式。因為考慮到決策過程中的不確定性因素，三支決策提供了接受、拒絕與不承諾3種決策方式，更加符合人類的認知模式。近年來，三支決策理論發展迅速，廣泛地應用于機器學習[2-9]、認知計算[10-13]、數據挖掘[14-17]、模式識別[18]與人工智能[19-20]等研究領域。

針對經典粗糙集模型缺乏容錯能力，Yao[21]通過引入概率包含關系在1990年提出了決策粗糙集(decision-theoretic rough sets, DTRS)模型；Yu等[22]提出了一種基于決策粗糙集的聚類模式代價評估的方法；文獻[23]結合三支決策思想，提出了一種新的無標記數據學習模型TWD-SSL。該模型解決了部分標記數據的屬性約簡和分類學習問題?？紤]到粗糙集理論中的正區域、負區域與邊界域形成的接受、拒絕與延遲3種決策方式，劉盾[24]系統介紹了基于粗糙集的三支決策模型的理論、方法與應用；基于決策的最小風險；Jia等[25]給出了決策粗糙集模型下最小化決策風險的屬性約簡定義并提出了一種啟發式的最小風險約簡算法；Li等[26]定義了決策粗糙集的正域約簡并提出了一種正區域約簡的啟發式算法，該算法可以較好地保持屬性約簡后正域的非減特征；Qian等[27]提出了多粒度決策粗糙集(multigranulation decision-theoretic rough sets, MDRS)。 多粒度決策粗糙集提供了一種多粒度粗糙集模型的泛化框架，許多現有的多粒度粗糙集模型可以從多粒度決策粗糙集模型中導出；通過擴展單一代價損失矩陣到多代價損失矩陣，文獻[28]中提出了θ-決策粗糙集模型。基于提出的模型，分別給出了最小化與最大化的可能代價。定義了決策單調與代價標準兩種約簡目標，并給出了相應的啟發式約簡算法；于洪等[29]從決策粗糙集需要解決的幾個基本問題出發，系統總結了國內外決策粗糙集研究的現狀，分析了存在的挑戰并深入探討了未來發展的研究方向；結合了三支決策與形式概念分析，文獻[30]提出了三支概念與三支概念格，三支概念與三支概念格擴展了經典形式概念與概念格并為三支決策提供了一種新的計算模型。

決策過程是客觀存在與主觀發揮的結合體，不僅要遵從決策系統客觀存在的風險信息，而且需要考慮決策者關于風險的態度，發揮決策者本身的主觀能動性，使得決策模型更加符合現實決策問題。效用[31]是經濟學中的一個抽象概念，用以度量決策者對決策方案的收益或者損失的直接反應與感覺，是決策者自身價值觀在決策過程中的綜合體現，反映了決策者對待風險的態度。將效用值的概念引入三支決策模型，通過將風險損失函數擴展為效用函數，提出了基于效用的三支決策模型(utility-based three-way decisions，UTWD)。效用三支決策模型可以有效的將決策者的主觀能動性(風險態度)考慮到三支決策模型中，是經典三支決策模型的有益擴展，并為三支決策模型中的主觀決策量化與度量提供了思路。

1　經典三支決策模型

本節主要介紹Pawlak粗糙集模型及三支決策粗糙集模型的基本概念。對于近似空間(U,A)，A=C∪D且C∩D=?。其中U是論域，為一個有限非空對象集，C是條件屬性集，D是決策屬性集。論域U關于等價關系C的劃分記為π=U/C。[x]∈π表示由對象x在等價關系C下定義的等價類。設子集X?U，則X的上、下近似表示如下：

在Pawlak粗糙集中，由集合的交集非空和集合的包含來分別定義集合的上近似和下近似?；赬的上、下近似，可以把論域U劃分成3個互不相交的區域：正域POS(X)、邊界域BND(X)和負域NEG(X)，表示如下：

通過將概率引入Pawlak粗糙集中，形成概率粗糙集。令條件概率公式P(X|[x])=|X∩[x]|∕|[x]|表示一個對象以其屬于[x]為前提，同時又屬于X的條件概率。這樣便得到正域POS(X)、邊界域BND(X)、負域NEG(X)的概率形式的等價表示：

在Pawlak粗糙集中用1和0對3個域進行劃分，但劃分標準過于嚴格，缺少一定的容錯能力。為解決這個問題，三支決策粗糙集引入一對閾值α和β來替代1和0，其中0≤β<α≤1。當α=1，β=0時，便退化為Pawlak粗糙集。引入閾值(α,β)后，X的(α,β)-上、下近似表示如下：

與Pawlak粗糙集劃分相似，在三支決策粗糙集，基于X的(α,β)-上、下近似，得到正域POS(α,β)(X)，邊界域BND(α,β)(X)和負域NEG(α,β)(X)，分別表示如下：

閾值(α,β)可通過專家經驗給定或者根據損失函數進行計算獲得。在三支決策中，正域對應的規則稱為正規則，表示判定決策方案為接受；邊界域對應的規則稱為邊界規則，表示判定決策方案為延遲；負域對應的規則稱為負規則，表示判定決策方案為拒絕。

2　效用三支決策模型

2.1效用理論

人們往往根據事件的期望值進行決策，但某些時候并不能真實反映現實決策問題。如對于包含兩種狀態變量的兩種決策方案Γ1={0.5/50,0.5/(-6)}和Γ2={1/20,0/0}，其中0.5/50表示在狀態1下收益為50且狀態1發生的概率為0.5，0.5/(-6)表示在狀態2下收益為-6且狀態2發生的概率為0.5，方案Γ2類似說明。可以得到，方案Γ1的期望為22，方案Γ2的期望為20。顯然方案Γ1的期望收益大于方案Γ2，依據期望收益最大準則，方案Γ1將被采取。但實際中人們卻傾向采取方案Γ2，這是因為方案Γ2收益較大并且不承擔任何風險。

風險型決策的結果通常會受到主客觀兩方面因素影響，不僅要遵從客觀存在的信息，而且要發揮決策者的主觀能動性。效用便是決策者主觀意識的具體體現。效用值[31]是一抽象概念，表示所獲得的滿足程度，可用以度量決策者對決策方案附屬的收益或者損失的直接反應與感覺，是決策者自身價值觀在決策過程中的綜合體現，反映了決策者對待風險的態度。

效用函數需滿足相應公理體系，根據決策者關于風險的態度，效用函數可分為風險中立型、風險喜好型和風險厭惡型，如圖1所示。從收益觀點看，風險中立型效用曲線收益期望的最大效用與最大期望效用一致，對決策者而言無論是否有風險，都將選擇期望收益最大的方案。風險厭惡型效用曲線，任一收益的效用都大于期望效用，表明決策者偏于保守，不愿意冒風險。風險喜好型效用曲線，任一收益的效用都低于期望效用，為了達到最大期望效用，決策過程中決策者將選擇風險較大的方案。根據收益值與效用的關系，不同決策者將會選擇避開風險，冒險還是僅參考客觀期望值，從而影響最終決策結果。實際應用過程中，常采用混合型效用函數，如‘S’型效用函數。前期采用風險喜好型效用曲線，但當達到一定收益后，則采用保守策略。

圖1　效用函數曲線Fig.1　The utility function curves

2.2基于效用理論的三支決策模型

在三支決策粗糙集模型基礎上，引入效用函數，即不同的決策動作會產生不同的效用。最大期望效用Bayesian決策過程與傳統Bayesian風險決策過程最主要的區別是以效用函數代替損失函數，在決策過程中充分結合決策者自身關于風險的態度。效用函數以實際損失值(或收益值)為自變量，其值域區間可歸約為[0，1]。當損失值為0時(或收益最大)，此時效用最大，值為1；當損失達到最大值(或收益最低)，此時效用最小，值為0，效用值將隨著損失值增大而單調下降。

對于二值分類問題，三支決策粗糙集模型包含狀態集Ω=U/D={X,Xc}(D為決策屬性集)，分別表示對象屬于決策類X和不屬于決策類X；3種關于X的決策方案為λ={aP,aB,aN}，分別表示判定對象屬于正域POSπ(X)、邊界域BNDπ(X)和負域NEGπ(X)。不同狀態變量下采取不同決策方案的效用如表1所示。

表1　效用函數

其中，λij(i=P,B,N,j=P,N)表示對象屬于X、Xc狀態下采取不同決策方案aP、aB和aN的損失值，u(λij)(i=P,B,N,j=P,N)表示損失值λij對應的效用值。u(λPP)、u(λBP)和u(λNP)分別表示在對象屬于X的狀態下采取決策方案aP、aB和aN時的效用值。u(λPN)、u(λBN)和u(λNN)分別表示在對象屬于XC的狀態下采取決策方案aP、aB和aN時的效用值。其中u(λPP)≥u(λBP)>u(λNP)，表示在[x]?X狀態下，將[x]判定為X正域的效用要大于將其判定為X邊界域的效用，進一步大于將其判定為X負域的效用。u(λNN)≥u(λBN)>u(λPN)，表示在[x]?XC狀態下，將[x]判定為X負域的效用要大于將其判定為X邊界域的效用，進一步大于將其判定為X正域的效用。

對于x∈U，[x]∈π采用3種決策方案aP、aB和aN的期望效用分別為

依據最大期望效用Bayesian決策準則，選擇期望效用最大的決策方案作為最佳決策方案。效用三支決策模型的決策規則如下：

P) 若Ψ(aP|[x])≥Ψ(aB|[x])并且Ψ(aP|[x])≥ Ψ(aN|[x])，則判定[x]?POSπ(X);

B) 若Ψ(aB|[x])≥Ψ(aN|[x])并且Ψ(aB|[x])≥ Ψ(aP|[x])，則判定[x]?BNDπ(X);

N) 若Ψ(aN|[x])≥Ψ(aP|[x])并且Ψ(aN|[x])≥ Ψ(aB|[x])，則判定[x]?NEGπ(X)。

劉盾在文獻[24]中對三支決策粗糙集中的閾值關系進行了相關研究。本文中，對于含有兩種狀態的決策系統，記P(X|[x])=P，則P(Xc|[x])=1-P。規則P)～N)可重寫，具體推導過程如下：

對于規則P)的第1個條件，將期望效用公式代入，可轉化為

同理，對于規則B)的第1個條件，將期望效用公式代入，可轉化為

對于規則N)的第1個條件，將期望效用公式代入，可轉化為

規則P)、B)和N)的第2個條件分別為上面推導的規則N)、P)和B)第1個條件的相反表示。規則P)、B)和N)的第2個條件可分別轉化為

因此，依據效用3支決策模型的決策準則，規則P)～N)可簡化為

P1) 若P(X|[x])≥αu并且P(X|[x])≥γu，則判定[x]?POSπ(X)

B1) 若P(X|[x])≥βu并且P(X|[x])≤αu，則判定[x]?BNDπ(X)

N1) 若P(X|[x])≤γu并且P(X|[x])≤βu，則判定[x]?NEGπ(X)其中αu、βu和γu分別為

由u(λPP)≥u(λBP)>u(λNP)和u(λNN)≥u(λBN)> u(λPN)，則αu∈(0,1]，βu∈[0,1)，γu∈(0,1)。進一步通過變換可得：

若βu≠0，則有

Δ(αu)度量了在狀態[x]?X下由邊界域移動到正域效用增加值與在狀態[x]?Xc下由邊界域移動到正域效用減少值的比例；Δ(βu)度量了在狀態[x]?X下由邊界域移動到負域效用減少值，與在狀態[x]?Xc下由邊界域移動到負域效用增加值的比例；Δ(γu)度量了在狀態[x]?X下由正域移動到負域效用減少值與在狀態[x]?Xc下由正域移動到負域效用增加值的比例。Δ(αu)、Δ(βu)和Δ(γu)分別涉及兩種狀態下正域與邊界域、邊界域與負域和正域與負域間的轉換。不同決策者對待風險的態度不同將導致獲得的效用函數不同，從而在相同客觀因素下得到的參數差異較大，影響最終的決策判定結果。

根據邊界域規則(B1)，設αu>βu，即

也就是說，當滿足條件

得到0≤βu<γu<αu≤1。上式條件也可表示為Δ(αu)<Δ(βu)，表示兩種狀態變量下正域與邊界域間轉換引起的效用值變化比例低于邊界域與負域間轉換引起的效用值變化比例。

當存在兩種決策方案的期望效用同時達到最大，此時決策者將從兩種方案中選其一。通過使用決勝規則，當P(X|[x])=αu時，劃分到正域和邊界域的期望效用同時達到最大，此時判定[x]?POSπ(X)；當P(X|[x])=βu時，劃分到邊界域和負域的期望效用同時達到最大，此時判定[x]?NEGπ(X)。規則P1)～N1)可進一步化簡為

P2) 若P(X|[x])≥αu，則[x]?POSπ(X)

B2) 若βu

N2) 若P(X|[x])≤βu，則[x]?NEGπ(X)在效用三支決策模型中，關于集合X?U的(αu,βu)-上、下近似可表示為

將單個對象劃分到正域、邊界域、負域分別會產生不同的效用。設p=P(X|[x])，對于任意屬性集A?C，單個對象劃分到X正域、邊界域、負域的效用分別表示如下：

1) 單個對象劃分到X正域的效用為

2) 單個對象劃分到X邊界域的效用為

3) 單個對象劃分到X負域的效用為

亦即，若將對象x劃分到正域，得到的效用等于其在狀態[x]?X和[x]?Xc下劃分到正域的效用與對應概率的乘積之和；若將對象x劃分到邊界域，得到的效用等于其在狀態[x]?X和[x]?Xc下劃分到邊界域的效用與對應概率的乘積之和；若將對象x劃分到負域，得到的效用等于其在狀態[x]?X和[x]?Xc下劃分到負域的效用與對應概率的乘積之和。

給定一個決策表，對于任意屬性集A?C，有多個對象劃分到正域、邊界域和負域。正域效用、邊界域效用、負域效用分別表示如下：

式中：xi表示劃分到正域的對象，xj表示劃分到邊界域的對象，xk表示劃分到負域的對象。正域效用等于劃分到正域的所有對象的效用和。邊界域效用等于劃分到邊界域的所有對象的效用和。負域效用等于劃分到負域的所有對象的效用和。

UtilityA=

2.3效用與對象的概率之間的關系討論

在效用三支決策模型中，假設做出正確決策的效用最大，即u(λPP)=u(λNN)=1。效用隨著對象的概率變化會呈現3種情況，如圖2所示。

圖2　效用函數曲線Fig.2　The utility function curves

圖2中橫坐標表示對象的概率p，縱坐標表示決策的效用

Utility

(p)。一對閾值(α

u

,β

u

)將概率p的取值劃分成3個區域[0,β

u

]、(β

u

,α

u

)和[α

u

,1]，分別對應對象劃分到負域、邊界域和正域。由對象的效用公式可知，每個區域中效用均隨概率呈線性變化。無論β

u

/(1-α

u

)與γ

u

/(1-γ

u

)是何種關系，當p∈[0,β

u

]時，效用隨概率p的增加呈線性下降，說明判定為負規則的概率(1-p)越小，效用越??；當p∈[α

u

,1]時，效用隨概率p的增加呈線性上升，說明判定為正規則的概率p越大，效用越大。當p∈(β

u

,α

u

)時，效用隨概率p的增加呈現出3種不同的情況。即當判定為邊界規則時，隨概率的增加，效用可能是增加、不變或減少。此時，效用的變化趨勢可通過判定β

u

/(1-α

u

)與γ

u

/(1-γ

u

)的關系獲得。具體推導過程如下：

由于u(λNP)-1<0，所以當p∈[0,βu]時，效用隨概率增加呈單調下降。

當p∈[αu,1]時，

由于1-u(λPN)>0，所以當p∈[αu,1]時，效用隨概率增加呈單調上升。

當p∈(αu,βu)時，效用可能隨概率增加呈單調上升、不變或下降。在p=αu，p=βu兩點的效用分別采用劃分到正域和負域的效用公式計算。在圖2(a)中，滿足以下條件

Utility(βu)

由于u(λNP)-1<0,1-αu>0,所以

對上式右側進行變換得

所以可變換為

同理，在圖2(b)中，Utility(βu)=Utility(αu)，得

在圖2、3中，Utility(βu)>Utility(αu)，可得

可以看到，概率p的值靠近0和1時，效用增大，即確定性程度越大，效用越大；概率p的值靠近βu和αu時，效用減少，即不確定性程度越大，效用越小。

3　實例分析

為了較好地描述效用三支決策模型的有效性，給定一個決策表(如表2)進行分析。該決策表的損失函數如表3所示。

表2　決策表

表3　損失函數

效用函數可采用Von Neumann-Morgenstern標準測定法，即通過詢問打分的方式確定，但操作較為復雜，實際應用中常采用函數擬合等方法。常見的效用函數有指數效用函數u(x)=a+be-cx(c≥0)、對數效用函數u(x)=aln(x+b)+c(x+b>0)和二項式類型效用函數u(x)=a(x-1/2ax2)+b(ax≤1)等。本文通過L-A擬合法，即設效用函數曲線滿足u(λ)=a(-λ+c)b，可得到如圖3所示的3種效用曲線。其中u(0)=1，u(3 500)=0，風險厭惡型曲線令u(2 500)=0.5，風險喜好型曲線令u(1 000)=0.5，風險中立型曲線滿足u((0+3 500)/2)=0.5。參數b決定效用曲線類型，其中01分別對應風險厭惡型、風險中立型和風險喜好型效用曲線。

圖3　效用擬合函數曲線Fig.3　The utility fitting function curves

可以看到，風險中立型的曲線斜率為常數，表明決策者在每減少1單位的損失時所得到的滿足感都相同，而且每增加1單位損失時的失望也相同。風險厭惡型的曲線斜率隨損失值增加而增大，說明擺脫更多的損失帶給決策者的滿足程度比放棄好的效用帶給決策者的失望程度大。風險喜好型的曲線斜率隨損失值減少而增大，說明決策者更關心損失值較小時得到的滿足感。經計算，3種效用擬合曲線下得到的效用函數如表4。由3種效用曲線下的效用函數計算得到的αu、γu和βu值如表5所示。

表4　3種模型下的效用函數

表5　效用擬合函數下得到的各參數值

分別通過屬性{c1}、{c2}、{c1,c2}和g0gggggg進行劃分，結果如下：

U/{c1}={{x1,x4,x6,x9},{x2,x3,x5,x7,x8}},

U/{c2}={{x1,x2,x4,x7},{x3,x5,x8},{x6,x9}},

U/{c1,c2}={{x1,x4},{x2,x7},{x3,x5,x8},{x6,x9}},

U/g0gggggg={{x1},{x2,x3},{x4,x5,x6},{x7,x8,x9}}。

風險厭惡型中，

風險中立型中，

風險喜好型中，

經驗證風險中立型效用曲線下得到的參數值與三支決策粗糙集模型下的結果一致。若決策者采用風險中立型效用曲線，則效用三支決策模型將退化為三支決策粗糙集模型，因為此時無論是否有風險，決策者都僅根據客觀期望值進行決策，不加入任何自身的主觀因素。進一步分析發現(0.106 4, 0.702 5)?(0.193 5,0.655 2)?(0.391 2,0.546 7)，表示由風險厭惡型到風險喜好型，邊界域將不斷縮小，而正域和負域將擴大。這說明風險厭惡型效用曲線下，較少的對象被確定分類，而較多的對象劃分到邊界域中，決策偏于保守，為了進一步分類邊界域中的對象，決策者需要獲得更多信息或知識；風險喜好型效用曲線下，較多的對象被確定分類，而較少的對象包含于邊界域中，決策偏于冒險，對于某些對象，即使在缺乏信息情況下，決策者亦敢于做出確定決策。

圖4　效用和概率之間的關系Fig.4　The relationships between the utility and probability

由表5計算可得，風險厭惡型、風險中立型和風險喜好型3種模型都滿足βi/(1-αi)<γi/(1-γi)(i=a,n,l)的關系(如圖4所示)，其中，風險厭惡型、風險中立型和風險喜好型的閾值分別為(βa,αa)、(βn,αn)和(βl,αl)。在這種情況下，風險厭惡型決策產生的效用≥風險中立型決策產生的效用≥風險喜好型決策產生的效用。因此，通過效用值的大小關系可以判斷出決策者對待風險的不同態度。

4　結論

本文將效用理論運用到三支決策粗糙集模型中，并將風險損失函數擴展為效用函數，提出了效用三支決策模型。結合文章的研究工作，有如下3點結論：

1)效用函數可以較合理的為決策主觀能動性的量化提供度量標準；

2)決策的總效用為正域效用，負域效用與邊界域效用之和；

3)決策的效用與概率之間存在區間性單調關系。接下來，如何結合效用函數特性，構建效用三支決策模型的合理屬性約簡目標函數將是下一步主要研究工作。

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張楠，男，1979年生，講師，博士，主要研究方向為粗糙集、認知信息學與人工智能。

姜麗麗，女，1990年生，碩士研究生，主要研究方向為粗糙集理論、粒計算。

Utility-based three-way decisions model

ZHANG Nan1， JIANG Lili1， YUE Xiaodong2， ZHOU Jie3

(1. School of Computer and Control Engineering, Yantai University, Yantai 264005, China; 2. School of Computer Engineering and Science, Shanghai University, Shanghai 200444, China; 3. Research and Development Center of Lugu Industrial Park, Zoomlion Heavy Industry Science & Technology Development Co., Ltd., Changsha 410205, China)

Risk decisions are usually influenced by subjective and objective factors. During the process of decision-making, decisions are based not only on the objective risk but also on the subjective activity of decision-makers. In order to introduce decision-makers’ subjective attitudes to risk, a model of utility-based three-way decisions (UTWD) was produced by extending the risk function to a utility function. The monotonic relationships between the utility and probabilities of objects in three regions were investigated systematically. The computational methods for positive region utility, boundary region utility, and negative region utility are also given. Finally, an example is given to substantiate the conceptual arguments. The model is an extension of three-way decisions and provides a beneficial investigation into subjective risk measures in three-way decision research.

utility theory; three-way decisions; rough sets; artificial intelligence; risk decisions

10.11992/tis.201606010

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20160808.0831.028.html

2016-06-03. 網絡出版日期：2016-08-08.

國家自然科學基金項目(61403329, 61572418, 61502410, 61572419, 61573235);山東省自然科學基金項目(ZR2013FQ020, ZR2015PF010, ZR2013FM011);山東省高等學?？萍加媱濏椖?J15LN09).

姜麗麗. E-mail：ytjianglili0919@163.com.

TP181

A

1673-4785(2016)04-0459-10