太陽影長的參數模型研究

趙慧珂　周栗仙　楊紅　周麗

【摘 要】本文在實物長度、地理位置、時間已知的前提下，研究物體影長的變化規律。根據太陽的變化規律，通過中間變量太陽高度角、赤緯角和時角確立影長模型，運用單因素控制變量法分析影長關于各個參數的變化規律。從而為太陽影子定位技術等提供了理論依據。

【關鍵詞】太陽影長；太陽高度角；Matlab軟件

Study on Parameter Model of The Suns Shadow Length

ZHAO Hui-ke ZHOU Li-xian YANG Hong ZHOU Li

（College of Science， Hunan Agriculture University， Changsha Hunan 410128， China）

【Abstract】In physical length， location， time， under the premise of known， studies the changing rule of the length of the shadow. According to the principle of trigonometric functions， intermediate variable Angle of the sun， the shadow length model established declination Angle and the Angle， and using the method of single factor control variable analysis shadow length about the change rule of each parameter. As the sun shadow positioning technology and provides a theoretical basis.

【Key words】The length of the shadow； Trigonometric function； Matlab

“日長影移”是人人熟知的自然現象，這個詞說明太陽影子變化與太陽的活動有著密切的聯系。我們的祖先利用這個現象制作的日晷，是當時最早且最精確的計時工具之一。理論研究中，太陽影子與直桿所處的位置、給定的時間和桿長都有密切聯系，我們通過太陽高度角、赤緯角和時角確立影長模型，并分析影長與各參數的變化規律。這正是通過太陽光影變換獲得時間和地理信息的關鍵。

1 建立影長的數學模型

1.1 背景知識

可見，影長與當地經緯度P（φ，Φ）、直桿高度H、當地時間T（t，n）有關。

2 實例應用

2.1 應用建立的模型畫出2015年10月22日北京時間9：00-15：00之間天安門廣場（北緯39度54分26秒，東經116度23分29秒）3米高的直桿的太陽影子長度的變化曲線。

應用我們建立的模型用Matlab進行編程，繪制成圖像如圖1。

圖1

影長的變化曲線類似于凹拋物線，最短影長時刻為12：12分左右，影長為3.84米。結果顯然是符合常理的。由于北京時間指東經120度（即東八區區時），其最短影長出現在正午12點，而天安門廣場處于東經116度，故最短影長應出現在北京時間12點以后。

2.2 影長隨各參數的變化規律

分析影長關于各個參數的變化規律，運用控制變量法分析某個參數對其影響，并用Matlab軟件進行編程求解得如下結果：

1）桿長參數H

2）緯度參數Φ

在回歸線至極圈范圍內，即圖中的緯度[0°，90°]內，曲線隨緯度的增加總趨勢是增加的。由于緯度的升高，太陽高度角變小，從而影長變長。如圖2。

圖2 影長隨緯度的變化曲線

3）日期參數n

符合客觀規律，結合地理知識中二十四節氣可知，12月22日到6月22日，在太陽直射點向北移動的過程中，北回歸線及其以北各地的正午太陽高度角逐漸增大，那么日影逐漸縮短；6月22日左右，太陽直射北回歸線，北回歸線及其以北各地的正午太陽高度角達到全年最大，影長為全年最短；6月22日到12月22日左右，太陽直射點向南移動過程中，北回歸線及其以北各地的正午太陽高度角逐漸變小，那么日影逐漸增大。如圖3。

3 模型修正

由于以上太陽高度角、太陽赤緯角、太陽方位角和時角都是根據經驗公式和假定條件成立的前提下得到的，會存在一定的計算誤差，可以用誤差公式觀察每個參數對影長的影響程度，進行單因素敏感度分析，使模型精度更高。

絕對誤差公式：

4 結束語

通過中間變量太陽高度角、赤緯角、時角建立影長模型，分析得出影長與當地經緯度P（φ，Φ）、時間T（t，n）、桿長H有關，運用控制變量法得出：影長對日期和時刻都呈現先減小，后增大的趨勢；對桿長呈正比關系；對緯度呈上升趨勢，且增長速率遞增。影長的軌跡模型及其相關領域具有較高的研究價值，為太陽影子定位技術確定地點和日期提供了理論依據。事實上還可以利用影子軌跡的數學模型反求建筑物朝向、合理間距、采光效果等問題，這為房屋的設計提供了理論基礎。

【參考文獻】

[1]百度百科.地方時 區時 時區 日界線專題學習.[2013-10-08].http：//www.baidu.com/link？url=UPxRxoo-5yUfK0znF0EKvLVXXUPHY-38siDjNMgtuuRiQopBf2zN 56TeuYe74I5UrKaKAMVt0L7zbsGnjQMM0Hl0A7gt5RlkP_rXu7kCN2.

[2]蕭樹鐵.數學實驗[M].高等教育出版社，2012.

[3]周鐵軍，何小飛.高等數學[M].中南大學出版社，2006.

[4]鄭鵬飛，等.基于影子軌跡線反求采光效果的技術研究[J].華東理工大學學報：自然科學版，2010，36（3）：458-463.

[5]張建方.關于誤差的傳遞公式[J].數理統計與應用概率，1995，03：57-70.

[6]武琳.基于太陽陰影軌跡的經緯度估計技術研究[D].天津大學，2010.

[7]汪和平.影子與季節緯度的關系[J].中學教學，2008（9）：43-45.

[8]林根石.利用太陽視坐標的計算進行物高測量與定位[J].南京林業大學學報：自然科學版，1991，03：89-93.

[9]何援軍.透視和透視投影變換[J].計算機輔助設計和圖形學學報，2005，17（4）：734-739.