材料力學超靜定問題的ANSYS輔助教學法

程世瑋+王少楠+申一淇

摘 要： 針對材料力學中桿系超靜定結構教學問題，提出了基于有限元軟件ANSYS的輔助教學計算方法。首先介紹了桿系超靜定結構常用的有限元單元和使用特點；然后提出了基于有限元法和材料力學中力法求解的兩種超靜定結構的ANSYS建模和求解方法；最后通過算例，驗證了兩種方法的有效性，并指出了提出的兩種求解方法在輔助教學中的特點。

關鍵詞： 材料力學 桿系超靜定 ANSYS有限元軟件 單元

一、引言

材料力學教學中，桿系超靜定問題是教學難點之一。通常課堂主要介紹力法求解，具體步驟是首先定義一個靜定基，然后建立相應的變形協調條件作為補充方程，最后求解出全部未知內力和支座反力[1]，[2]。由于該求解方法建立基礎靜定結構的不唯一性，計算復雜且計算量較大，因此學生不易掌握。針對材料力學教學難點，很多學者進行了研究，并提出了解決方案。如李銀山提出采用符號推導軟件Maple的材料力學教學方法[3]，該方法雖然解決了靜力方程與變形協調方程的聯立求解問題，但由于不能畫出結構的變形與內力圖，因此仍然不利于學生直觀理解。值得注意的是，利用有限元軟件ANSYS求解材料力學問題的方法[4]，具有簡便易學特點，是求解材料力學問題一種較好工具。但是目前還沒有針對基于ANSYS桿系超靜定教學問題的建模求解方面的具體方法評論，下面將就此問題進行常用單元使用、建模求解分析的討論。

二、桿系超靜定結構的常用單元

在求解桿系超靜定問題中，常用的ANSYS單元有桿、梁、平面及三維實體單元等。下面將根據簡單、易于使用的原則分別進行介紹：

LINK180，是一個定義在三維空間的二力桿單元，不考慮桿件橫截面形狀，只需要輸入桿件橫截面的面積，可以畫出桿件的軸力圖。

BEAM188，是一個具有描述3個位移、3個轉角共6個自由度的2個節點和1個定位節點的三維梁單元，在程序中可以指定梁的橫截面形狀，可以畫出梁的彎矩、剪力和軸力圖。

PLANE182，是一個8節點平面四邊形單元，可以模擬平面應力或者考慮厚度的平面應力問題，畫出截面應力、變形分布云圖。因此，可以模擬平面梁縱向平面應力、變形分布情況。

SOLID185，是三維8節點6面體單元，可以模擬三維空間幾何結構；而SOLID186是三維20節點6面體單元，模擬精度高于SOLID185。這類三維實體單元都可以畫出應力、變形云圖等。考慮到材料力學教學中主要以平面幾何結構為主，而且對于初學者而言，建立一個三維幾何模型及計算后的分析難度，遠遠大于采用梁、桿單元，或者平面單元建立的幾何結構，因此，不建議使用三維結構。

節點的耦合命令在ANSYS的Main Menu菜單里面，Coupling/Ceqn命令欄里面的命令，可以定義桿系不同單元之間的聯系，以及結構的位移約束條件。

三、桿系超靜定問題ANSYS求解方法

盡管有限元法以位移法為基本求解方法，與材料力學教學中教授的力法求解不同。但是有限元軟件的操作方法，只需要輸入材料力學模型中的位移約束、外載荷等邊界條件，就可以得到計算結果。因此，課堂講解時，只需要把ANSYS軟件作為一種“黑箱”求解方法。對于超靜定結構的計算方法，根據有限元法和材料力學的求解方法，可以分為兩種方法。

方法1：基于有限元建模的求解方法，根據桿系超靜定結構和邊界條件，可以直接建立有限元模型，求解出相應的桿件內力及變形。

方法2：基于材料力學的解法，即首先根據材料力學理論，建立一個靜定基。然后把截出的桿件與靜定基在相對應的部位，利用Coupling/Ceqn命令，建立位移協調關系。最后可求解出結構的結構內力和位移。

由于在材料力學的超靜定算例中，通常是由桿、梁組合成的結構，而有限元軟件易于處理同種類型單元的超靜定問題，因此不失一般性。下面將以一個由桿、梁組合的超靜定結構算例，說明上述兩種方法的求解步驟。

算例：圖示材料相同的懸臂梁AB與兩端鉸支的桿CD相連接。設梁AB的橫截面尺寸b×h=16×32mm，桿CD的直徑d=10mm，梁和桿的長度均為l=1m，材料的彈性模量E=210GPa。桿件承受的載荷F=300N。

解：此算例是一個超靜定和壓桿穩定的綜合算例，首先要求解出梁ACB的彎矩、二力桿CD的軸力等內力。然后根據壓桿穩定性的歐拉公式判斷CD桿是否失穩。因此，問題的重點是利用材料力學超靜定力法求解，即需要首先建立一個以懸臂梁AB受集中力的靜定結構（靜定基），將二力桿CD取為隔離體，代之以桿CD所承受的軸力，作為靜定結構梁AB在C點處的集中力。變形協調方程定義為，梁在C點的撓度等于桿件CD的軸向位移。由上述力平衡方程與變形協調方程聯立求解，得到結構內力的理論解，CD桿件壓力為739.8N，桿件壓縮變形量為0.044854mm。

采用ANSYS有限元方法1，即根據有限元方法建模和直接求解，桿件AB用BEAM188梁單元，CD桿用LINK180單元，共劃分41個單元。A點所有的位移、轉角全約束，D點約束豎直向位移，B點受垂直向下的集中力F=300N。

有限元計算結果為，CD桿件內力為738.97N，桿件壓縮變形為0.044804mm。梁AB的彎矩圖和桿CD的軸力圖如圖2所示。

由此例可知，本方法僅劃分了少量的單元，操作和計算都較為簡便，可以使學生對超靜定結構的受力情況有直觀和深刻的認識。

采用方法2求解的具體方法是，首先選取梁AB為靜定結構，把AB桿件用厚度為18mm的PLAN182平面應力單元，劃分30×4×2=240個單元；把CD桿隔離開來，用LINK180單元模擬其受力情況；變形協調條件定義為，將AB平面梁單元中性層與桿單元在C點聯結，并且梁和桿的豎向位移相等。計算結果為，CD桿件內力為748.93N，桿件壓縮變形為0.045408mm，計算結果與材料力學理論解很接近。

由計算得到的梁ACB結構的應力云圖可見，梁ACB與桿CD相聯結點在梁中性層上（C點），可以明顯地看出，材料力學理論描述的應力集中現象。

此外，如果將變動桿件與梁接觸點（c點）處位置，由梁的中性軸移到梁的下部；或者把左端（B點）集中力，由桿件中性軸移到梁右上角處，盡管在施加桿梁接觸、集中力的部位，其應力分布變化較大大，但是對于整個結構總體變形和應力分布影響不大。本問題中，對于C點的撓度，桿件的壓力值，變化很小。而這些計算結果正好驗證了材料力學中的圣維南原理。

如果分別建立梁AB和二力桿CD兩個分開的幾何結構，其中梁用BEAM188單元，桿用LINK180單元，然后根據材料力學力法求解原則，建立位移協調方程，即在原來桿與梁相連接c點的相應部位點，用節點耦合命令，定義梁的撓度與桿件壓縮變形量相等。計算結果與方法1中取相應單元的計算結果相同。

此外，根據有限元計算出CD桿的軸力與材料力學壓桿穩定歐拉公式計算結果進行比較，就可以判斷出結構是否滿足穩定性，在此不再累述。

上述計算表明，方法2比起方法1操作較為復雜，需要用到ANSYS軟件中節點的耦合等命令，而且結構的變形以結構分離體形式表現出，與實際結構變形圖不同。但是由于該方法與力法求解步驟一致。因此，這種方法可能更適用于超靜定結構的輔助教學。

四、討論

本文根據材料力學的超靜定求解步驟，把ANSYS有限元軟件作為一種“黑箱”計算器。首先提出適用于材料力學教學使用的有限元法的單元類型；然后根據力法中位移協調方程提出了有限元法的節點之間位移耦合命令；之后提出基于有限元建模和材料力學力法求解步驟的兩種求解方法。

算例表明，本文提出的兩種方法均可以有效解決桿系超靜定問題，都可以顯示出結構的變形、畫出桿件的軸力、梁的剪力、彎矩等內力圖；或者平面應力中的等效應力分布云圖等。因此都可以用于材料力學超靜定教學中的輔助方法。其中方法1，可以直觀、方便地建立與超靜定結構相對應的有限元模型；而采用方法2，則需要根據材料力學中力法求解超靜定結構步驟，建立一個基本的靜定結構和一些分隔開來的幾何體及位移協調條件，然后根據實際情況施加邊界條件后進行求解。盡管兩種方法的計算結果相同，但是采用第二種計算方法，可以使學生更加深對材料力學力法求解超靜定問題的理解。

參考文獻：

[1]孫訓芳.材料力學（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]劉鴻文.材料力學Ⅱ（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]李銀山.Maple材料力學[M].北京：機械工業出版社，2010.

[4]曾攀.工程有限元方法[M].北京：科學出版社，2012.