錐Banach空間中多個自映射的公共不動點定理

張　弘，薛西鋒

(西北大學 數學系, 陜西 西安　710127)

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·數理科學·

錐Banach空間中多個自映射的公共不動點定理

張弘，薛西鋒

(西北大學 數學系, 陜西 西安710127)

研究在錐Banach空間中，多個弱相容的自映射在滿足特定壓縮條件下，通過構造迭代序列，并證明序列收斂性，得到此類算子具有唯一的公共不動點，豐富了壓縮映像的不動點理論。

錐Banach空間； 錐賦范空間； 弱相容； 公共不動點； 疊合點

1922年,Banach提出著名的壓縮映像原理[1],后來很多學者給出多種壓縮映像,并證明了壓縮映像不動點理論。1996年,Junck定義了兩個自映射弱相容的概念[2],2006年,Junck和Rhoades證明了在度量空間中,兩個弱相容的自映射存在公共不動點[3]。2007年黃龍光和張憲在文獻[4]中用序Banach空間取代實數,引入錐度量空間,討論了序列的收斂性,并證明在完備的錐度量空間中算子T:X→X在滿足某些特定壓縮條件下,存在唯一的不動點。后來,一些學者通過省略正規錐的條件[5]或去掉映射連續性的條件[6],證明錐度量空間中的不動點存在性理論。文獻[7-14]都證明了錐度量空間中多個弱相容的自映射存在公共不動點的理論。這些成果都更加豐富了錐度量空間中的不動點理論。近些年,許多學者將錐度量空間中的不動點理論推廣到錐Banach空間[15-17]。如E.karaplnar證明了錐Banach空間中,設d:X×X→E,令d(x,y)=‖x-y‖p,若T:C→C(C?E)滿足ad(Tx,Ty)+b(d(x,Ty)+d(y,Ty))≤sd(x,y), x, y∈C,則T至少存在一個不動點。本文研究了在錐Banach空間中兩個和三個自映射滿足給定的壓縮條件下, 存在唯一的公共不動點,其結果發展和推廣了前人的成果。

1　預備知識

定義1[4]設E是實的Banach空間,P1是E的子集, 當P1滿足下列條件,稱P1為錐

(i)P1是非空閉集, 且P1≠{0};

(ii)a,b∈R,a,b≥0,x,y∈P1?ax+by∈P1;

(iii)P1∩(-P1)={0}。

給定錐P1?E,由錐P1可導出E中的偏序關系“≤”,“<”,“?”。x,y∈E, x≤ y表示y-x∈P1;x

如果存在常數N>0,對任意的x, y∈E,使得θ ≤ x ≤ y?‖x‖≤N‖y‖則稱P1為正規錐,稱滿足該不等式的最小常數N為P1的正規常數。

定義2[4]設X為非空集合, d:X×X→E, 滿足下列條件:

(i)?x, y∈X, d (x, y) ≥0, d(x, y)=0?x=y;

(ii)?x, y∈X, d (x,y)=d (y, x);

(iii)?x, y, z∈X,d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)，

則稱d為X上的一個錐度量或者錐距離,(X, d)為錐度量空間或者錐距離空間。

定理1[4]設(X,d)是錐度量空間,且{xn}是X中的序列,P是具有正規常數K的正規錐,{xn}是Cauchy列當且僅當d(xn,xm)→0(m,n→∞)。

定義3[18]設X是R上的向量空間,設映射‖·‖p:X→E滿足:

(a)?x∈X,‖x‖P> 0;

(b)‖x‖P=0?x=0;

(c)?x, y∈X,‖x+y‖P≤‖x‖P+‖y‖P;

(d)?k∈R,‖kx‖P=|k|‖x‖P，

則稱‖·‖P是X的錐范數,(X,‖·‖P)稱作錐賦范空間。

每個錐賦范空間都是錐度量空間,d(x,y)=‖x-y‖p。

定義4[19]設(X,‖·‖P)是錐賦范空間, x∈X且{xn}n ≥1?X,

(ii)若對任意的c∈E且c?0,存在N,使得對任意m,n≥N,都有‖xm-xn‖P≤c,則{xn}n ≥1稱為X中的Cauchy列;

(iii)若每一個Cauchy列都是收斂的,則(X,‖·‖P)稱作完備的錐賦范空間。

完備的錐賦范空間稱作錐Banach空間。

引理1[18]設(X,‖·‖P)是錐賦范空間,P是具有正規常數K的正規錐,{xn}?X,則

(i){xn}→x當且僅當‖xn-x‖P→0(n→∞);

(ii){xn}是Cauchy列當且僅當‖xn-xm‖P→0(m, n→∞);

(iii){xn}→x,{yn}→y,則‖xn-yn‖P→‖x-y‖P。

定義5[19]設X是非空集合,映射f,g:X→X,若存在x∈X使得w=fx=gx,則稱w∈X是f和g的疊合點。

定理2[20]設X是非空集合, 映射f, g:X→X稱為弱相容的,對任意u∈X,如果fu=gu,都有fgu=gfu成立。

定理3[21]設X是非空集合, 映射f, g:X→X弱相容,若f和g有唯一的疊合點, 即w=fx=gx,則w是f和g的唯一公共不動點。

2　主要結果

定理4設C是錐Banach空間X的凸閉集, P是具有正規常數K的正規錐,‖x‖P是C在X上的錐范數, d:X×X→E,d(x,y)=‖x-y‖p,映射f, g:C→C滿足對任意的x, y∈C有‖fx-fy‖≤α(‖gx-fy‖+‖gy-fx‖)+γ‖gx-gy‖成立。其中α,γ∈[0,1)且2α+γ<1,假設f(X)?g(X),g(X)是X的完備子空間, f, g連續且弱相容,則它們有唯一的公共不動點。

證 明設x0為X中任意一點,因為f(x0)∈f(X)?g(X),所以存在x1∈X滿足f(x0)=g(x1),令y1=f (x0)=g(x1),又f(x1)∈f(X)?g(X),所以存在x2∈X滿足f(x1)=g(x2),令y2=f(x1)=g(x2),依此類推,得到{yn}?X,有yn=f (xn-1)=g(xn)(n=0,1,2,…)。

‖yn-yn-1‖=‖fxn-1-fxn-2‖≤

α(‖gxn-1-fxn-2‖+‖gxn-2-fxn-1‖)+

γ‖gxn-1-gxn-2‖=

α (‖yn-1-yn-1‖+‖yn-2-yn‖)+

γ‖yn-1-yn-2‖≤

α‖yn-yn-1‖+α‖yn-1-yn-2‖+

γ‖yn-1-yn-2‖，

‖yn-yn-1‖≤λ‖yn-1-yn-2‖≤

λ2‖yn-2-yn-3‖≤…≤λn-1‖y1-y0‖，

對任意的m,n且m

‖yn-ym‖≤‖yn-yn-1‖+

‖yn-1-yn-2‖+…+

‖ym+1-ym‖≤

(λn-1+λn-2+…+λm)‖y1-y0‖≤

因為f, g是連續的, 所以f2(xn)→f (z), g2(xn)→g (z), gf (xn)→g (z), fg (xn)→

f(z)

下面證f (z)=g(z)

‖f2(xn)-gf (xn)‖=

‖f2(xn)-fg (xn)‖≤

α(‖gf (xn)-fg (xn)‖+

‖g2(xn)-f2(xn)‖)+

γ‖gf (xn)-g2(xn)‖=

α‖g2(xn)-f2(xn)‖+

γ‖gf (xn)-g2(xn)‖。

令n→∞,得到‖f (z)-g(z)‖≤α‖g (z)-f (z)‖+γ‖g(z)-g (z)‖，所以(1-α)‖f (z)-g(z)‖≤0,因為1-α>0, 所以‖f (z)-g(z)‖=0, 所以f (z)=g(z),所以z是f和g的疊合點。

下面證明唯一性。

假設z1是f, g的另一個疊合點, f (z1)=g(z1)。

‖f (z)-f (z1)‖≤

α(‖g (z)-f (z1)‖+‖g(z1)-f (z)‖)+

γ‖g(z)-g(z1)‖=α(‖f (z)-f (z1)‖+

‖f (z1)-f (z)‖)+γ‖f (z)-f(z1)‖。

因為1-2α-γ>, 所以‖f (z)-f (z1)‖=0, 所以f (z1)=g(z1), 所以f (z)=g(z)=

f (z1)=g(z1)，所以z是f, g的唯一疊合點。

又因為f, g是弱相容的,由定理3知, z是f, g的唯一公共不動點。

推論1設C是錐Banach空間的凸閉集,P是具有正規常數M的正規錐,‖·‖P是C在X上的錐范數d:X×X→E, d(x,y)=‖x-y‖p, 映射f, g:C→C滿足對任意x, y∈C，‖fx-fy‖≤α‖gx-fy‖+β‖gy-fx‖+γ‖gx-gy‖成立。其中α, β,γ∈[0,1)且α+β+γ<1,假設f(X)?g(X), g(X)是X的完備子空間, f, g連續且弱相容,則f, g具有唯一的公共不動點。

引理2設X是非空集合, f, g, T是X中的自映射,v是它們的疊合點, 若(f, T)弱相容,(g,T)弱相容,則f, g,T具有唯一的公共不動點。

證 明因為v是f,g,T的疊合點,所以fu=gu=Tu,u∈X,因為(f,T)是弱相容的,則fv=fTu=Tfu=Tv,(g,T)是弱相容的, gv=gTu=Tgu=Tv,所以fv=gv=Tv=w,所以w是f, g,T的疊合點,v=w,因為疊合點唯一, 所以v是f,g,T的的唯一公共不動點。

定理5設C是錐Banach空間的凸閉集,P是具有正規常數M的正規錐,‖·‖P是C的錐范數, d:X×X→E, d(x,y)=‖x-y‖p, 映射f, g,T:C→C滿足對任意x,y∈C都有‖fx-gy‖≤α‖Tx-fx‖+β‖Ty-gy‖+γ‖Tx-Ty‖。其中α+β+γ<1, 假設f (X)∪g(X)?T(X), T(X)是X的完備子空間, 且(f,T)弱相容,(g, T)弱相容,則f, g, T具有唯一公共不動點。

證 明對?x0∈X, 因為 f (x0)∈f(X)?T(X), 所以存在x1∈X, 使得Tx1=fx0, 對?x1∈X, 因為g(x1)∈g(X)?T(X), 所以存在x2∈X, 使得Tx2=gx1, 依此類推, 得到Tx2k+1=fx2k, Tx2k+2=gx2k+1, {Txn}是以x0為初始點的序列。

‖Tx2k+1-Tx2k+2‖=‖fx2k-gx2k+1‖≤

α‖Tx2k-fx2k‖+β‖Tx2k+1-

gx2k+1‖+γ‖Tx2k-Tx2k+1‖≤

(α+γ)‖Tx2k-Tx2k+1‖+

β‖Tx2k+1-Tx2k+2‖，

所以

(1-β)‖Tx2k+1-Tx2k+2‖≤

(α+γ)‖Tx2k-Tx2k+1‖，

所以

‖Tx2k+1-Tx2k+2‖≤

‖Tx2k+2-Tx2k+3‖=

‖gx2k+1-fx2k+2‖=

‖fx2k+2-gx2k+1‖≤

α‖Tx2k+2-fx2k+2‖+

β‖Tx2k+1-gx2k+1‖+

γ‖ Tx2k+2-Tx2k+1‖=

α‖Tx2k+2-Tx2k+3‖+

β‖Tx2k+1-Tx2k+2‖+

γ‖Tx2k+1-Tx2k+2‖，

所以‖Tx2k+2-Tx2k+3‖≤

所以對每一個k=0,1,2,…，有

‖Tx2k+1-Tx2k+2‖≤

而

‖Tx2k+2-Tx2k+3‖≤

‖Tx2m+1-Tx2n+1‖≤

‖Tx2m+1-Tx2m+2‖+

‖Tx2m+2-Tx2m+3‖+…+

‖Tx2n-1-Tx2n‖+‖Tx2n-Tx2n+1‖≤

同理

‖Tx2m-Tx2n+1‖≤

‖Tx2m-Tx2n‖≤

‖Tx2m+1-Tx2n‖≤

所以對所有的0< m< n，

因為P是正規錐,所以

‖Txn-Txm‖≤

所以{Txn}是Cauchy列。

因為T(X)是完備的子空間, 則存在u,v∈X, 使得Txn→v=Tu,

‖Tu-fu‖≤

‖Tu-Tx2n‖+‖Tx2n-fu‖≤

‖v-Tx2n‖+‖fu-gx2n-1‖≤

‖v-Tx2n‖+α‖Tu-fu‖+

β‖Tx2n-1-gx2n-1‖+γ‖Tu-Tx2n-1‖，

所以

‖Tu-fu‖≤

γ‖Tu-Tx2n-1‖)=

γ‖v-Tx2n-1‖)。

同理可證Tu=gu。

下證唯一性。

假設v*是f,g,T的另一個疊合點v*=fu*=gu*=Tu*, u*∈X,‖v-v*‖=‖fu-gu*‖≤α‖Tu-fu‖+β‖Tu*-gu*‖+γ‖Tu-Tu*‖≤γ‖Tu-Tu*‖, 所以v=v*因為(f, T)弱相容, (g, T)弱相容, 由引理2知v是f, g, T的唯一公共不動點。

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(編輯亢小玉)

Common fixed point of several self-mappings in cone Banach space

ZHANG Hong， XUE Xi-feng

(Department of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China)

The aim of this paper is to study several weakly compatible mappings in cone Banach space, satisfying some certain contractive conditions,with establishing iterative sequence and proving the sequence to converge. Several weakly compatible self-mappings have the unique common fixed point. The results extend the known achievements and make them have a rich application.

cone Banach space; cone normed space; weakly compatible mappings; common fixed point; coincidence point

2015-10-10

陜西省自然科學基金資助項目(2012JM1017)

張弘，女，陜西渭南人，從事非線性泛函分析研究。

薛西鋒，男，陜西渭南人，西北大學教授，從事非線性泛函分析研究。

O177.91

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-02-001