Q-代數上的余核映射

李　瑞

(陜西師范大學 數學與信息科學學院， 陜西 西安　710062)

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·數理科學·

Q-代數上的余核映射

李瑞

(陜西師范大學 數學與信息科學學院， 陜西 西安710062)

利用Quantale中余核映射的思想和方法,在Q-代數中引入了Q-代數余核映射的概念,得到了Q-代數余核映射的若干性質,討論了Q-代數余核映射到單位Q-代數與GirardQ-代數的擴張問題。

Quantale;Q-代數;Q-代數余核映射;GirardQ-代數

Quantale是由Mulvey[1]于1986年在研究非交換C*-代數的譜時首先提出的,其背景是給量子力學提供新的數學模型。由于Quantale自身具有豐富的序結構和代數結構,使得Quantale理論已經應用到C*-代數、線性邏輯、環的理想理論等諸多領域中。

受環上代數結構和結論的啟發,文獻[2-3]在Quantale和Quantale模的基礎上引入了Quantale代數(簡稱Q-代數)的概念,已成功應用到多值拓撲的研究中[4]。需要指出的是,文獻[5]證明了Q-代數范疇同構于模糊Quantale范疇,所以Q-代數可以看成是Quantale模糊化的結構。另外,受Girard quantale和Girard 雙模的啟發,文獻[6]給出了GirardQ-代數的概念,并證明了每個Q-代數都可以嵌入到一個GirardQ-代數中。在Quantale理論中,由于余核映射完全刻畫了子Quantale,所以研究余核映射是十分必要的。文獻[7]分別研究了余核映射到單位QuantaleQ[e]與Girard quantaleQ×Qop的擴張問題。受此啟發,本文在Q-代數中引入了余核映射的概念,考慮了Q-代數余核映射到單位Q-代數與GirardQ-代數的擴張問題。

1　預備知識

在本文中,用0表示完備格中的最小元,1表示完備格中的最大元。

定義1[1]設Q是完備格,&是Q上的二元運算且滿足

1) ?a,b,c∈Q,(a&b)&c=a&(b&c);

2) ?a∈Q,{bi}i∈I?Q,a&(∨i∈Ibi)=∨i∈I(a&bi)且(∨i∈Ibi)&a=∨i∈I(bi&a),則稱(Q,&)是Quantale,簡稱Q是Quantale。

由Quantale的定義知a&-和-&a是Q上的保并映射,所以它們都有右伴隨,分別用a→r-和a→l-表示,即?a,b,c∈Q,a&b≤c?a≤b→lc?b≤a→rc。

設Q是Quantale。若存在e∈Q使得?a∈Q,e&a=a&e=a,則稱e是Q的單位元,且Q是單位Quantale。若?a,b∈Q,a&b=b&a,則稱Q是交換Quantale。

定義2[1]設Q是Quantale,c,d∈Q。

1) 若?a∈Q,有a→rc=a→lc,則稱c是Q上的循環元。

2) 若?a∈Q,有(a→rd)→ld=a=(a→ld)→rd,則稱d是Q上的對偶元。

3) 若Q中有一個循環對偶元,則稱Q是Girardquantale。

定義3[1]設Q1,Q2是Quantale。如果映射f:Q1→Q2滿足

1) ?{ai}i∈I?Q1,f(∨i∈Iai)=∨i∈If(ai);

2) ?a,b∈Q1,f(a&b)=f(a)&f(b),

則稱映射f為Quantale同態。

定義4[1]設Q是Quantale。若映射g是Q上的余閉包算子且?a,b∈Q,g(a)&g(b)≤g(a&b),則稱g是Q上的余核映射。

定義5[8]設Q是Quantale,M為完備格。如果映射·:Q×M→M滿足

1) ?{ai}i∈I?Q,?m∈M,(∨i∈Iai)·m=∨i∈I(ai·m);

2) ?a∈Q,?{mj}j∈J?M,a·(∨j∈Jmj)=∨j∈J(a·mj);

3) ?a,b∈Q,?m∈M,(a&b)·m=a·

(b·m),

則稱(M,·)是左Q-模。

由左Q-模的定義知a·-和-·m保任意并,所以它們都有右伴隨,分別用a|→r-和m|→l-表示,即?a∈Q,?m,n∈M,a·m≤n?m≤a|→rn?a≤m|→ln。若Q是單位Quantale,左Q-模(M,·)滿足?m∈M,eQ·m=m,則稱(M,·)是單位左Q-模。對偶地,可定義(單位)右Q-模。我們約定本文中的Q模均為左Q-模。

定義6[8]設(M,·),(N,·)為Q-模。如果映射f:M→N滿足

1) ?{mi}i∈I?M,f(∨i∈Imi)=∨i∈If(mi);

2) ?a∈Q,?m∈M,f(a·m)=a·f(m),

則稱映射f為Q-模同態。

定義7[2]設Q是Quantale。如果三元組(A,·,?)滿足:

1) (A,·)是Q-模;

2) (A,?)是Quantale;

3) ?q∈Q,a,b∈A,q·(a?b)=(q·a)?b=a?(q·b),

則稱(A,·,?)為Q-代數。

定義8[6]設(A,·,?)為Q-代數。若(A,?)是單位Quantale,則稱(A,·,?)為單位Q-代數。

定義9[9]設(A,·,?),(B,·,?)是Q-代數。若映射f:A→B既是Quantale同態又是Q-模同態,則稱f是Q-代數同態。若f是單射,則稱f是Q-代數嵌入。若f還是雙射,則稱f是Q-代數同構。

定義10[6]設(A,·,?)是Q-代數,S?A。若S關于任意并,·,?運算封閉,則稱S是A的子Q-代數。

2　Q-代數余核映射

定義11設(A,·,?)是Q-代數。若g是A上的余閉包算子且?q∈Q,a,b∈A,有g(a)?g(b)≤g(a?b),q·g(a)≤g(q·a),則稱g是Q-代數余核映射。

注1 1) 當Q=2時,Q-代數余核映射恰為Quantale余核映射。

2)用CN(A)表示Q-代數(A,·,?)上所有余核映射的全體,則CN(A)關于逐點序是完備格。

命題1設(A,·,?)是Q-代數。若g是A上的Q-代數余核映射,則Ag={a∈A|g(a)=a}是A的子Q-代數。反之,若S是A的任意子Q-代數,則存在Q-代數余核映射g,使得S=Ag。

證 明與Quantale情形的證明類似[1]。

命題2設(A,·,?)是Q-代數,則?a∈A,g=a?(a→r-):A→A是Q-代數余核映射。

證 明1) g(x)=a?(a→rx)≤x。

2)若x≤y,則g(x)=a?(a→rx)≤a?(a→ry)=g(y)。

3) g(g(x))=g(a?(a→rx))=a?(a→r(a?(a→rx)))=a?(a→rx)=g(x)。

4) g(x)?g(y)=(a?(a→rx))?(a?(a→ry))≤a?((a→rx)?y)≤a?(a→r(x?y))=g(x?y)。

5) ?q∈Q,x∈A,q·g(x)=q·(a?(a→rx))=(q·a)?(a→rx)=a?(q·(a→rx))≤a?(a→r(q·x))=g(q·x)。所以g=a?(a→r-):A→A是Q-代數余核映射。

命題3設(A,·,?)是單位Q-代數,eA是單位元。E(A)={a∈A|a?a=a,a≤eA,?b∈A,a?b=b?a},則?a∈E(A),g=-?a:A→A是Q-代數余核映射。

證 明1) g(x)=x?a≤x?eA=x。

2)若x≤y,則g(x)=x?a≤y?a=g(y)。

3) g(g(x))=g(x?a)=(x?a)?a=x?(a?a)=x?a=g(x)。

4) g(x)?g(y)=(x?a)?(y?a)=x?(a?y)?a=x?(y?a)?a=x?y?(a?a)=x?y?a=g(x?y)。

5) ?q∈Q,x∈A,q·g(x)=q·(x?a)=(q·x)?a=g(q·x)。

所以g=-?a:A→A是Q-代數余核映射。

命題4[10]設Q是Quantale。Q[e]={a∨k:a∈Q,k∈{0,e}},其中e?Q。Q[e]上的任意并如下定義:0∨e=e

∨i∈I(ai∨ki)=

Q[e]上的&′運算如下定義:

(a∨k′)&′(b∨k″)=

則Q[e]是單位Quantale,其中e是單位元。

定理1[2]1)若(A,·,?)是Q-代數,則(A,°,?)是Q[e]-代數且(A,°)是單位Q[e]-模,其中定義°:Q[e]×A→A為?a∨k∈Q[e],m∈A,

2)若(A,°,?)是Q[e]-代數,則(A,·,?)是Q-代數,其中定義·:Q×A→A為?q∈Q,a∈A,q·a=q°a。

定理2設A是Q-代數,g是A上的映射,則g是(A,·,?)上的Q-代數余核映射當且僅當g是(A,°,?)上的Q[e]-代數余核映射。

證 明充分性:若g是Q[e]代數余核映射,則由定理1顯然有g是Q-代數余核映射。

必要性:顯然g是QuantaleA上的余核映射且?q∈Q,x∈A,q·g(x)≤g(q·x)。?a∨k∈Q[e],x∈A,則

(a∨k)°g(x)=

顯然,當k=0時,a·g(x)≤g(a·x);當k=e時,a·g(x)≤g(a·x)≤g((a·x)∨x),g(x)≤g((a·x)∨x)。即(a∨k)°g(x)≤g((a∨k)°x)。故g是Q[e]-代數余核映射。

設Q是Quantale(A,·,?),(B,·,?)是Q-代數。定義?:(A×B)×(A×B)→A×B為?(a,b),(c,d)∈A×B,(a,b)?(c,d)=(a?c,b?d);*:Q×(A×B)→A×B為?q∈Q,(a,b)∈A×B,q*(a,b)=(q·a,q·b)。容易驗證(A×B,*,?)是Q-代數。

定理3 設Q是Quantale。(A,·,?),(B,·,?)是Q-代數,gA是A上的Q-代數余核映射,gB是B上的Q-代數余核映射,定義映射gA×B:A×B→A×B為?(a,b)∈A×B,gA×B(a,b)=(gA(a),gB(b)),則gA×B是A×B上的Q-代數余核映射。

證 明1) ?(a,b)∈A×B,gA×B(a,b)=(gA(a),gB(b))≤(a,b)。

2) ?(a,b)≤(c,d),gA×B(a,b)=(gA(a),gB(b))≤(gA(c),gB(d))=gA×B(c,d)。

3) ?(a,b)∈A×B,gA×B(gA×B(a,b))=

gA×B(gA(a),gB(b))=

(gA(gA(a)),gB(gB(b)))=

(gA(a),gB(b))=gA×B(a,b)。

4) ?(a,b),(c,d)∈A×B,gA×B(a,b)?gA×B(c,d)=(gA(a),gB(b))?(gA(c),gB(d))=(gA(a)?gA(c),gB(b)?gB(d))≤(gA(a?c),gB(b?d))=gA×B((a,b)?(c,d))。

5) ?q∈Q,(a,b)∈A×B,q*gA×B(a,b)=q*(gA(a),gB(b))=(q·gA(a),q·gB(b))≤(gA(q·a),gB(q·b))=gA×B(q·a,q·b)=gA×B(q*(a,b))。所以gA×B是A×B上的Q-代數余核映射。

3　Q-代數余核映射的擴張

本節主要討論了Q-代數余核映射到單位Q-代數與GirardQ-代數的擴張問題。我們約定本節中的Q均表示單位交換Quantale。

命題5[6]設(A,·,?)是Q-代數。定義?:(Q×A)×(Q×A)→Q×A為?(a,x),(b,y)∈Q×A,(a,x)?(b,y)=(a&b,(x?y)∨(a·y)∨(b·x));·:Q×(Q×A)→Q×A為?q∈Q,(a,x)∈Q×A,q·(a,x)=(q&a,q·x),則(Q×A,·,?)是單位Q-代數,且有Q-代數嵌入i:A→Q×A為?a∈A,i(a)=(0,a)。

命題6 設(A,·,?)是Q-代數,g是Q×A上的Q-代數余核映射,則g|{0}×A是{0}×A上的Q-代數余核映射。

證 明要證g|{0}×A:{0}×A→{0}×A是Q-代數余核映射,?(0,a)∈{0}×A,由g是Q×A上的Q-代數余核映射知g(0,a)≤(0,a),則g(0,a)∈{0}×A,從而g|{0}×A是{0}×A上的映射。易證g|{0}×A是{0}×A上的Q-代數余核映射。

定義12[6]設(A,·,?)是Q-代數,若(A,?)是Girardquantale,則(A,·,?)是GirardQ-代數。

證 明1) ?a∈A,gp(a)=π1°g°ε(a)=π1°g(a,1)≤π1(a,1)=a。

2)若a≤b,則gp(a)=π1°g°ε(a)=π1°g(a,1)≤π1°g(b,1)=π1°g°ε(b)=gp(b)。

3)設g(a,1)=(c,d),由于g(a,1)≤(a,1),則(c,d)≤(a,1),從而d≥1,即d=1,于是g(a,1)=(c,1)。由g是余核映射知g°g(a,1)=g(a,1),即g(c,1)=g(a,1)。因此gp(a)=π1°g°ε(a)=π1°g(a,1)=π1°g(c,1)=gp(c)=gp°gp(a)。

4) ?a,b∈A,gp(a)?gp(b)=(π1°g°ε(a))?(π1°g°ε(b))=(π1°g(a,1))?(π1°°g(b,1))=π1(g(a,1)?g(b,1))≤π1(g((a,1)?(b,1)))=π1(g(a?b,1))=π1°g°ε(a?b)=gp(a?b)。

5) ?q∈Q,a∈A,由(3)可令g(a,1)=(c,1),則q·g(a,1)=q·(c,1)=(q·c,q|→r1)=(q·c,1)且g(q·(a,1))=g(q·a,q|→r1)=g(q·a,1)。由于q·g(a,1)≤g(q·(a,1)),則q·c≤π1°g(q·a,1)。因此q·gp(a)=q·π1(g(a,1))=q·π1(c,1)=q·c≤π1°g(q·a,1)=gp(q·a)。故gp是A上的Q-代數余核映射。

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(編輯亢小玉)

The conuclei onQ-algebras

LI Rui

(College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi′an 710062， China)

By using the methods and thoughts of conuclei on Quantales, the notion ofQ-algebra conuclei is introduced.Some properties ofQ-algebra conuclei are obtained.The extensions ofQ-algebra conuclei to unitalQ-algebra and GirardQ-algebra are discussed.

Quantale;Q-algebra;Q-algebra conuclei; GirardQ-algebra

2015-04-11

國家自然科學基金資助項目(11171196,11301316);中央高校基本科研業務費專項基金資助項目(GK201501001)

李瑞，女，山西運城人，從事格上拓撲與非經典數理邏輯研究。

O153.1

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-02-003