(3+1)維波動方程的不變集和精確解

陳　立, 屈改珠,2, 何姝琦

(1.西北大學 數學學院, 陜西 西安　710127； 2.渭南師范學院 數學與信息科學學院, 陜西 渭南　714000)

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·數理科學·

(3+1)維波動方程的不變集和精確解

陳立1, 屈改珠1,2, 何姝琦1

(1.西北大學 數學學院, 陜西 西安710127； 2.渭南師范學院 數學與信息科學學院, 陜西 渭南714000)

為研究(3+1)維非線性波動方程的精確解，通過利用不變集方法，得到了(3+1)維非線性波動方程的一些新精確解。 該方法也可以用來求解其他非線性偏微分方程。

波動方程; 不變集; 精確解

求解偏微分方程的精確解是物理、化學、生物、經濟等領域中的一個重要課題。到目前為止,已有很多種求解偏微分方程的方法,例如經典和非經典李群方法、廣義條件對稱法、分離變量法、不變集方法[1-8]、符號不變量和不變子空間方法[9-10]等。V. A. Galaktionov在文獻[1-2]中,引入函數不變集S0={u:ux=(1/x)F(u)},討論了KdV型方程和高階非線性方程的精確解。屈長征和P.G.Estevez在文獻[5]中,引入一般形式的不變集

并將不變集成功地運用到一些非線性發展方程的求解中。文獻[4-8]進一步推廣了此方法,并得到很多有意義的結果。

本文通過建立函數不變集E0={u:ux=vxF(u),uy=vyF(u),uz=vzF(u)}研究(3+1)維非線性波動方程

utt=A(u)uxx+B(u)uyy+

其中A(u),B(u),C(u),D(u),G(u),P(u),Q(u)均為足夠光滑的函數,從而求得一些新的精確解。

1　 (3+1)維波動方程的精確解

考慮(3+1)維非線性波動方程

utt=A(u)uxx+B(u)uyy+C(u)uzz+

(1)

其中A(u),B(u),C(u),D(u),G(u),P(u),Q(u)均為足夠光滑的函數。

引入不變集

E0={u:ux=vxF(u), uy=vyF(u),

uz=vzF(u)}，

其中v(x,y,z)是x,y,z的光滑函數,F(u)是由不變條件

u(x,y,z,0)∈E0?u(x,y,z,t)∈E0,t∈(0,1]

所確定的光滑函數。當u∈E0時,方程有如下形式的解

利用不變集E0可以得到

ut=h′(t)F,utt=h″F+h′2FF′,ux=vxF,

(2)

假設方程(1)在函數集E0中不變,將式(2)代入方程(1),得

h″+h′2F=Avxx+Bvyy+Cvzz+

(3)

對式(3)兩端分別關于x,y,z求導,有

h′2FF″vx=Avxxx+Bvxyy+Cvxzz+

(4)

h′2FF″vy=Avxxy+Bvyyy+Cvyzz+

[A′vxx+B′vyy+C′vzz+

2(CF′+PF)vzvyz;

(5)

h′2FF″vz=Avxxz+Bvyyz+

Cvzzz+[A′vxx+B′vyy+

(6)

從式(4),(5),(6)中很難得到一般形式的解。因此,下面只考慮幾種特殊情況,得到A,B,C,D,G,P,Q。

情形1vxx=vyy=vzz=0

由vxx=vyy=vzz=0,得通解為v(x,y,z)=axyz+b(xy+xz+yz)+c(x+y+z)+d。不失一般性,取a=1,b=c=d=0,即v=xyz。在此情況下,不變集E0變為

E1={u:ux=yzF,uy=xzF,uz=xyF}。

如果F″≠0,將v=xyz分別帶入式(4),(5),(6)得

(BF′+GF)′x2z2+(CF′+PF)′x2y2+

(7)

(BF′+GF)′x2z2+(CF′+PF)′x2y2+

(8)

(BF′+GF)′x2z2+(CF′+PF)′x2y2+

(9)

分別對式(7)關于x求導，對式(8)關于y求導，對式(9)關于z求導，得

因此方程(1)的系數滿足下面的約束條件

AF′+DF=0,BF′+GF=0,

在此種情況下,方程(1)有如下形式的解

若F″=0,即F=u,也可得上述的約束條件。

令A=B=C=um,F=uk,則有

D=G=P=-kum-1,Q=c1ku2k-1。

此時,計算可得方程

utt=um(uxx+uyy+uzz)-

有精確解

由于函數v(x,y,z)=ax+by+dz(a≠0,b≠0,d≠0)為vxx=vyy=vzz=0的一個特解。若F″≠0,將v=ax+by+cz分別代入式(4),(5),(6),得

上式的左端不依賴于x,y,z,故可得A,B,C,D,G,P,Q,F滿足

a2(AF′+DF)+b2(BF′+GF)+

情形2vxy=vyz=vxz=0

當vxy=vyz=vxz=0時,可得v(x,y,z)=f(x)+g(y)+r(z),其中f(x),g(y),r(z)分別為x,y,z的光滑函數,此時E0變為

E1={u:ux=f′(x)F(u),uy=g′(y)F(u),

uz=r′(z)F(u)}。

在這種情況下,分以下3種情形進行討論

情形3 f(x)=ln|x|,g(y)=ln|y|,r(z)=ln|z|

當f(x)=ln|x|,g(y)=ln|y|,r(z)=ln|z|時,v(x,y,z)=ln|x|+ln|y|+ln|z|,那么不變集為

若F″≠0,則式(4),(5),(6)變為

(10)

(11)

(12)

分別對式(10)關于x求導,式(11)關于y求導,式(12)關于z求導得

其中

(A-AF′-DF)′F];

(B-BF′-GF)′F];

(C-CF′-PF)′F]。

可得方程(1)中系數所滿足的約束條件

A-AF′-DF=0,B-BF′-GF=0,

若F″=0,即F=u,依然可得上述的約束條件。

令A=B=C=um,F=uk,則D=G=P=um-k-kum-1,Q=c1ku2k-1。

計算可得方程

utt=um(uxx+uyy+uzz)+

有如下精確解

u=

情形4 f(x)=-ln|cosx|,g(x)=-ln|cosy|,r(x)=-ln|cosz|

當f(x)=-ln|cosx|,g(x)=-ln|cosy|,r(x)=-ln|cosz|時,則不變集為

E1={u:ux=tanxF(u),uy=tanyF(u),uz=tanzF(u)}。

若F″≠0,式(4),(5),(6)變為

2(A+AF′+DF)](tanx)2+

(B+BF′+GF)′F(tany)2+

(C+CF′+PF)′F(tanz)2+

2(A+AF′+DF)};

(13)

2(B+BF′+GF)](tany)2+

(A+AF′+DF)′F(tanx)2+

(C+CF′+PF)′F(tanz)2+

2(B+BF′+GF)};

(14)

2(C+CF′+PF)](tanz)2+

(A+AF′+DF)′F(tanx)2+

(B+BF′+GF)′F(tany)2+

2(C+CF′+PF)}。

(15)

對式(13)關于x求導,式(14)關于y求導,對式(15)關于z求導，得

[M′(u)F+2M(u)](tanx)3+

(2M(u)+X′(u)F)tanx=0;

[N′(u)F+2N(u)](tany)3+

(2N(u)+Y′(u)F)tany=0;

[T′(u)F+2T(u)](tanz)3+

(2T(u)+Z′(u)F)tanz=0，

其中

2(A+AF′+DF)];

2(B+BF′+GF)];

2(A+AF′+DF)];

2(B+BF′+GF)];

2(C+CF′+PF)]。

可得方程(1)的約束條件為

A+AF′+DF=0,B+BF′+GF=0,

C+CF′+PF=0,

若F″=0,即F=u,也可得上述結論。

令A=B=C=um,F=uk,則有D=G=P=-um-k-kum-1,Q=c1ku2k-1-3um+k。

計算可得方程

utt=um(uxx+uyy+uzz)-

c1ku2k-1-3um+k

有精確解

E1={u:ux=xF(u),uy=yF(u),uz=zF(u)}。

若F″≠0,可得式(4),(5),(6)分別變為

(BF′+GF)′Fy2+(CF′+PF)′Fz2+

(16)

(BF′+GF)′Fy2+(CF′+PF)′Fz2+

(17)

(BF′+GF)′Fy2+(CF′+PF)′Fz2+

(18)

對式(16)關于x求導,式(17)關于y求導,對式(18)關于z求導，得

可得方程(1)的約束條件為

AF′+DF=0,BF′+GF=0,CF′+PF=0,

若F″=0,即F=u,也可得上述結論。

令A=B=C=um,F=uk,則有D=G=P=-kum-1,Q=c1ku2k-1-3um+k。

計算可得方程

utt=um(uxx+uyy+uzz)-

有精確解

u=

2　結　語

本文利用函數不變集E1={u:ux=vxF(u),uy=vyF(u),uz=vzF(u)},通過取v的一些特殊形式,得到(3+1)維非線性波動的精確解。值得關注的問題是,對于v還能否取更多的形式以及對應的方程會得到什么形式的精確解,有待進一步研究。

[1]GALAKTIONOV V A. Groups of scaling and invariant sets for higher-order nonlinear evolution equations [J]. Diff Integer Equation, 2001, 14(8): 913-924.

[2]GALAKTIONOV V A. Ordered invariant sets for nonlinear equations of KdV-type [J]. Compute Math Phys, 1999, 39(9): 1564-1570.

[3]QU C Z, ESTEVEZ P G. Extended rotation and scaling groups for nonlinear evolution equations [J]. Nonlinear Anal Theory Methods Appl, 2003, 52(6): 1655-1673.

[4]QU C Z. Symmetries and solutions to the thin film equations [J].J Math Anal Appl, 2006, 317(2): 381-397.

[5]ZHU C R, QU C Z. Invariant sets and solutions to higher-dimensional reaction-diffusion equations with source term [J]. Phys Lett A, 2006, 354: 437-444.

[6]QU C Z, ZHU C R. Invariant sets and solutions to the generalized thin film equations [J].Sci China A, 2007, 37(4): 447-458.

[7]QU G Z, ZHANG S L, ZHU C R. Invariant set and exact solutions to Higher-dimensional wave equations[J]. Commun Theor Phys, 2008, 49(5): 1119-1124.

[8]DONG Y Y, ZHANG S L, LI S B. Invariant sets and solutions to a class of wave equation[J]. Appl Math Comput, 2015, 253: 369-376.

[9]GALAKTIONOV V A. Quasilinear heat equations with first-order sign-invariants and new explicit solutions[J]. Nonlinear Anal Theory Methods Appl, 1994, 23: 1595-1621.

[10] GALAKTIONOV V A. Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities[J]. Proc Roy Soc Edinburgh, 1995, 125: 225-246.

(編輯亢小玉)

Invariant set and exact solutions to the(3+1)-dimensional nonlinear wave equation

CHEN Li1, QU Gai-zhu1,2，HE Shu-qi1

(1.School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127, China；2.School of Mathematics and Information Science, Weinan Normal University, Weinan 714000， China)

To study exact solutions of the (3+1)-dimensional wave equations by employing the invariant set method. Some exact solutions of the (3+1)-dimensional wave equations are derived. This approach can also be applied to other nonlinear partial differential equations.

wave equation; invariant sets; exact solutions

2015-10-11

國家自然科學基金資助項目(11371293)；渭南師范學院校級特色學科建設基金資助項目(14TSXK02)；渭南師范學院理工類科研基金資助項目(15YKS005)

陳立， 女， 陜西安康人，從事偏微分方程研究。

O175.29

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-02-004