兩分支Camassa-Holm 系統Cauchy問題解的解析性

鄭曉翠，高曉紅

(1.西北大學 數學系, 陜西 西安　710127;2.西北大學 非線性科學研究中心, 陜西 西安　710069)

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·數理科學·

兩分支Camassa-Holm 系統Cauchy問題解的解析性

鄭曉翠1,2，高曉紅1,2

(1.西北大學 數學系, 陜西 西安710127;2.西北大學 非線性科學研究中心, 陜西 西安710069)

利用抽象的Cauchy-Kowalevski 定理,證明兩分支Camassa-Holm 系統Cauchy 問題解的解析性,即系統的解關于空間變量是全局解析的,關于時間變量是局部解析的。該方法還可以用于討論其他非線性偏微分方程解的解析性。

兩分支Camassa-Holm 系統;Cauchy-Kowalevski 定理; 解析性

2009年,Fu.Y等[1]在具有多尖峰解疊加形式的尖峰孤子解以及H1范數守恒率等性質的基礎上,對一般形式的兩分支系統進行分類，得到一個具有對稱形式的兩分支Camassa-Holm 系統:

mt=2mux+mxu+(mv)x+nvx,

nt=2nvx+nxv+(nu)x+mux，

(1)

其中m=u-uxx,n=v-vxx。

該模型解的局部適定性、爆破現象、全局存在性、持久性以及強解的奇性等結果可以參見文獻[1-2]。目前很多方程解的解析性結果已經得到證明,例如歐拉方程[3-4]、一類兩分量水波方程[5]、兩分量Hunter-Saxton系統[6]、b方程[5]等。

我們將證明該模型解的解析性,考慮方程組(1)的Cauchy問題

(2)

解的解析性，其中m=u-uxx,n=v-vxx。

首先給出解析性的結論。

定理1假設u0(x)在R上是一個實解析函數,那么存在一個正數ε>0,使得上述問題(2)存在一個唯一的解在 (-ε,ε)×R上解析。

下面將給出定理1的證明。我們的主要方法是在一個合適度量的Banach空間中利用抽象的Cauchy-Kowalevski定理來證明,這個方法是由文獻[7]引入的。

1　預備知識

定義1[3]對任意的s>0,定義空間:

注1任意的u∈Es在直線R上是一個實解析函數。

定義2[3]對任意的函數u,v∈Es,定義:

|||(u,v)|||s=|||u|||s+|||v|||s。

接下來的引理就是抽象的Cauchy-Kowalevski定理。

引理1[4]設{Χs}0

(3)

設T,R和C都是正數,函數F滿足以下3個條件:

(i)對任意的函數u∈Xs,當0

則函數t→F(t,u(t))在|t|

(ii)對任意的0

(iii)存在M>0,使得對任意的0

那么存在T0∈(0,T)和唯一的函數u(t)∈Χs,使得當|t|<(1-s)T0時,u(t)解析且恰是初值問題(3)的解。

引理2[3]設00,使得對任意的函數u,v∈Es,有

|||uv|||s≤C|||u|||s·|||v|||s，

其中C=C(r)只依賴于r。

引理2表明,對任意的函數u,v∈Es，f(u)=u2，有

|||f(u)-f(v)|||s=|||u2-v2|||s≤

C|||u+v|||s|||u-v|||s。

|||P2u|||s≤|||u|||s,

|||P3u|||s≤|||u|||s。

2　定理1的證明

為了利用抽象的Cauchy-Kowalevski定理來證明定理1,首先把初值問題(2)化成如下的非局部形式：

(4)

其中t∈R,x∈R,u0,v0∈Cω(R)。

引入變換u1=u,u2=P1u,u3=v,u4=P1v,可以得到:

F1(u1,u2,u3,u4),

-P1(u1u2+u2u3)-P3(u1u4)-P1P3[f(u1)+

F2(u1,u2,u3,u4)

和

P1(u1u4)-P1P2(u2u3)-P1P3[f(u3)+

-P1(u3u4+u1u4)-P3(u2u3)-

F4(u1,u2,u3,u4)。

這樣,初值問題最終就化成引理1中的形式

(5)

現在定義U≡(u1,u2,u3,u4)和

F(U)=F(u1,u2,u3,u4)≡

(F1(u1,u2,u3,u4),F2(u1,u2,u3,u4),

F3(u1,u2,u3,u4),F4(u1,u2,u3,u4))。

由定義2,下面兩個式子成立:

|||F(u1,u2,u3,u4)|||s≡

下面需要證明方程組(5)滿足引理1的3個條件。可以看到,當方程組變成引理1中的零初值條件時,條件(i),(iii)顯然成立。因此只需要讓方程組滿足條件(ii),即下面的命題。

命題1設R>0,00,使得對任意的函數uj,vj∈B(0,R)?Es(j=1,2,3,4)，有

|||F(u1,u2,u3,u4)-F(v1,v2,v3,v4)|||s′≤

證 明對任意uj,vj∈B(0,R)?Es(j=1,2,3,4),有

|||F(u1,u2,u3,u4)-F(v1,v2,v3,v4)|||s′=

I1+I2+I3+I4。

下面對I1,I2,I3和I4作估計,其中

|||u2u3-v2v3|||s′+|||P2(u1u4-v1v4)|||s′+

|||P3(f(u1)-f(v1))|||s′+

|||P3(u2u4-v2v4)|||s′+

|||u2u3-v2v3|||s+|||u1u4-v1v4|||s+

v1|||s|||u1-v1|||s+

C|||u2|||s·|||u3-v3|||s+

C|||v3|||s|||u2-v2|||s+

C|||u1|||s·|||u4-

v4|||s+C|||v4|||s|||u1-v1|||s+

C|||u1+v1|||s·|||u1-v1|||s+

C|||u2|||s|||u4-v4|||s+

C|||v4|||s|||u2-v2|||s+

3CR|||u2-v2|||s+2CR|||u3-v3|||s+

3CR|||u4-v4|||s≤

(v1,v2,v3,v4)|||s。

按照相同的方法,對I2,I3和I4分別估計,有

C|||u1|||s|||u4-v4|||s+

C|||v4|||s|||u1-v1|||s+

|||u1u4-v1v4|||s+|||u2u3-v2v3|||s+

C|||u1|||s·|||u4-v4|||s+

C|||v4|||s|||u1-v1|||s+

C|||u2|||s·|||u3-v3|||s+

C|||v3|||s|||u2-v2|||s+

C|||u3+v3|||s|||u3-v3|||s+

C|||u2|||s|||u4-v4|||s+

C|||v4|||s|||u2-v2|||s+

2CR|||u1-v1|||s+3CR|||u2-v2|||s+

3CR|||u4-v4|||s≤

C|||u2|||s|||u3-v3|||s+

C|||v3|||s|||u2-v2|||s+

這樣就證明了命題1。

于是,方程組(5)滿足引理1的3個條件,所以這就證明了兩分支Camassa-Holm系統Cauchy問題的解關于空間變量是全局解析的,關于時間變量是局部解析的。

[1]FUY,QUCZ.Wellposednessandblow-upsolutionforanewcoupledCamassa-Holmequationswithpeakons[J].JMathPhys, 2009, 55, 012906：1-25.

[2]ZHUMX.Blow-up,GlobalExistenceandPersistencePropertiesforthecoupledCamassa-Holmequations[J].JMathPhysAnalGeom, 2011, 14: 197-209.

[3]BAOUENDIS,GOULAOUICC.RemarksontheabstractformofnonlinearCauchy-Kowalevskitheorems[J].CommPartialDifferEqu, 1977, 2: 115-116.

[4]BAOUENDIS,GOULAOUICC.SharpestimatesforanalyticpseudodifferentialoperatorsandapplicationtoCauchyproblem[J].JDiffEqs, 1983, 48:241-268.

[5]YANK,YINZ.AnalyticsolutionsoftheCauchyproblemfortwo-componentshallowwatersystems[J].MathZ, 2011, 269: 1113-1127.

[6]YANK,YINZ.AnalyticityoftheCauchyproblemfortwo-componentHunter-Saxtonsystems[J].NonlinearAnal,2012, 75: 253-259.

[7]OVSIANNIKONLV.AnonlinearCauchyprobleminascaleofBanachspaces[J].DoklAkadNaukSSSR, 1971, 200: 789-792.

(編輯亢小玉)

Analyticity of the Cauchy problem for a two-component Camassa-Holm system

ZHENG Xiao-cui1,2, GAO Xiao-hong1,2

(1.Department of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China;2.Center for Nonlinear Studies, Northwest University, Xi′an 710069, China)

The abstract Cauchy-Kowalevski theorem is used to discuss the analyticity of the Cauchy problem for a two-component Camassa-Holm system. It is proved that its solutions are analytic in both variables, globally in space and locally in time. The same approach can be used to discuss the analyticity of the solutions for the other nonlinear partial differential equations.

two-component Camassa-Holm system; Cauchy-Kowalevski theorem; analyticity

2015-05-20

國家自然科學基金資助項目(11001219；11471259)；陜西省自然科學基礎研究計劃基金資助項目(2014JQ1002)

鄭曉翠，女，河南睢縣人，從事偏微分方程研究。

O175.29

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-02-002