一類帶參數(shù)的Hilbert型積分算子及其應(yīng)用

陳廣生，唐慧羽，韋銀幕，覃茂華

(廣西現(xiàn)代職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑與信息工程系， 廣西　河池　547000)

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一類帶參數(shù)的Hilbert型積分算子及其應(yīng)用

陳廣生，唐慧羽，韋銀幕，覃茂華

(廣西現(xiàn)代職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑與信息工程系， 廣西河池547000)

在廣義區(qū)間(a,b)上給出了一個(gè)含有參數(shù)的Hilbert型奇異積分算子T，研究了它的界及其涉及內(nèi)積的等價(jià)形式;作為應(yīng)用，研究它對(duì)一類偏微分方程解的估計(jì)．

Hilbert型奇異積分算子；Hilbert型不等式；算子范數(shù)；內(nèi)積；H?lder不等式

則下面的Hilbert型積分不等式[1]成立：

(1)

(2)

本文擬在廣義區(qū)間(a,b)上，建立一個(gè)新的Hilbert型奇異積分算子，并討論其有界性問題及一些相關(guān)結(jié)果．作為應(yīng)用，給出了一類偏微分方程解的估計(jì)．

1　主要結(jié)果

首先給出Hilbert型奇異積分算子：

(3)

(4)

(5)

則有

ωλ(x,A2,p)

(6)

ωλ(y,A1,q)

(7)

證明作變換u=yλ/xλ，則有

根據(jù)文獻(xiàn)[10]中廣義的算術(shù)幾何不等式得到

因此有

ωλ(x,A2,p)

同理可證明

ωλ(y,A1,q)

(8)

證明設(shè)

g(y)=y(p-1)(λ-1)+p(A1-A2)×

這里y∈(a,b).由文獻(xiàn)[10]中的H?lder不等式，得

根據(jù)引理1中的結(jié)果

從而得到

因此(8)式成立.

2　等價(jià)形式及特例

假定函數(shù)f(x)、g(x)在(a,b)上是非負(fù)可測(cè)的，將內(nèi)積(f,g)定義為

‖f‖p,ω′‖g‖q,ω″

(9)

證明假設(shè)ω=x(p-1)(λ-1)+p(a-b)，利用H?lder不等式及(8)式，有

‖f‖p,ω′‖g‖q,ω″

所以(9)式成立.由(9)式可導(dǎo)出(8)式，故(9)式與(8)式等價(jià).

(10)

(11)

這里

證明在定理1和推論1中，令A(yù)1=A2=A，便可得到(10)式和(11)式.

3　偏微分方程解的估計(jì)

考慮下面的偏微分方程：

(12)

滿足條件:

ux(x,b)=0a≤x≤b

(13)

u(a,y)=0,a≤y≤b

(14)

由(12)式和(13)式得

因此

(15)

由(14)、(15)式得

(16)

根據(jù)(16)式，得到

(17)

由于a≤x≤b，a≤y≤b， 根據(jù)(17)式，得

(18)

應(yīng)用(10)式，根據(jù)(18)式，得到

即有

[1]楊必成. 關(guān)于一個(gè)推廣的Hardy-Hilbert不等式[J].數(shù)學(xué)年刊，2002，23A(2)：247-254.

[2]HARDYGH,LITTLEWOODJE,POLYAG．Inequalities[M]．Cambridge：CambridgeUrav．Press，1952．

[3]MITRINOVICDS，PECARICJE，F(xiàn)INKAM.Inequalitiesinvolvingfunctionsandtheirintegralsandderivatives[M]．Boston：KluwerAcademicPublishers，1991．

[4]XIEZT，ZENGZ．AHilbert-typeintegralinequalitywhosekernelisahomogeneousformofdegree-3[J]．JournalofMathematicalAnalysisandApplications，2008，339(1)：324-331．

[5]楊必成．關(guān)于一個(gè)推廣的具有最佳常數(shù)因子的Hilbert類不等式及其應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)研究評(píng)論，2005，25(2)：341-346.

[6]洪勇．一個(gè)新的Hilbert重積分不等式[J]．西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，30(4)：594-599．

[7]YANGBC．Onthenormofanintegraloperatorandapplication[J]．JournalofMathematicalAnalysisandApplications，2006，32(1)：182-192．

[8]洪勇．關(guān)于Hardy-Hilbert積分不等式的全方位推廣[J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001，44(4)：619-626．

[9]洪勇.一類Hilbert型奇異積分算子的范數(shù)及其應(yīng)用[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，35(5)：40-44.

[10]匡繼昌．常用不等式[M]．濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004.

(責(zé)任編輯穆剛)

A Hilbert’s type singular integral operator with some parameter and its application

CHEN Guangsheng, TANG Huiyu, WEI Yinmu, QIN Maohua

(Department of Construction and Information Engineering, Guangxi Modern Vocational Technology College, Hechi Guangxi 547000, China)

In this paper，we define a Hilbert type singular multiple integral operator with parameters，and from the generalized interval betweenaandb, the boundary and norm of T and the equivalent forms are studied．As their applications, we consider estimates for the solutions of a class of partial differential equations．

Hilbert’s type singular integral operator；Hilbert’s type inequality；norm of operator; inner product ；H?lder’s inequality

2016-02-13

廣西教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(KY2015YB468).

陳廣生(1979—)，男，廣西北流人，副教授，碩士，主要從事解析不等式、小波分析方面的研究.

O178

A

1673-8004(2016)05-0015-04