一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動(dòng)準(zhǔn)則

惠遠(yuǎn)先，王俊杰

(普洱學(xué)院數(shù)學(xué)系， 云南　普洱　665000)

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一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動(dòng)準(zhǔn)則

惠遠(yuǎn)先，王俊杰

(普洱學(xué)院數(shù)學(xué)系， 云南普洱665000)

文章研究一類廣義Emden-Fowler阻尼方程的振動(dòng)性質(zhì)，利用廣義Riccati變換和積分平均技巧，建立了保證方程一切解振動(dòng)或者收斂到零的若干新的充分條件.所得結(jié)論推廣和改進(jìn)了最近文獻(xiàn)中的若干結(jié)果.

廣義Emden-Fowler阻尼方程；廣義Riccati變換；振動(dòng)準(zhǔn)則

微分方程解的振動(dòng)性是微分方程解的重要性態(tài)之一，它在很多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用.本文考慮一類廣義Emden-Fowler方程：

(E)

其中 ：

Z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),r(t)∈C1([t0,∞),R),p(t),τ(t),g(t)∈C[t0,∞)，α,β

是兩個(gè)常數(shù).本文假設(shè)下面條件成立.

(H1)α>0,β>0；

(H2)0≤p(t)≤1,q(t)≥0,g(t)≥0；

方程(E)的一個(gè)非平凡解是振動(dòng)的，如果它有任意大的零點(diǎn).否則為非振動(dòng)的.如果方程(E)的一切解都是振動(dòng)的則稱該方程是振動(dòng)的.近年來(lái)，關(guān)于動(dòng)力學(xué)方程的振動(dòng)性與非振動(dòng)性的研究引起了學(xué)者們的廣泛興趣，出現(xiàn)了大量?jī)?yōu)秀研究成果[1-9].2006年，MENG[3]給出了方程

的振動(dòng)結(jié)果.2012年,LIU[9]給出了方程

(E1)

在α≥β>0情形下的振動(dòng)準(zhǔn)則.

由于方程(E1)沒(méi)有阻尼項(xiàng)，且受條件α≥β>0限制，該文所得的振動(dòng)結(jié)果具有很大局限性.本文利用廣義Riccati變換和積分平均技巧，將文獻(xiàn)[9]的相關(guān)結(jié)論由非阻尼方程(E1)推廣到阻尼方程(E)的情形，而且將條件α≥β>0推廣到α>0，β>0的一般情形.

1　引理

引理1設(shè)x(t) 是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，則相應(yīng)Z(t)只有下面兩種情況：

Z′(t)]′≤0；

證明設(shè)x(t) 是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，由Z(t)的表達(dá)式得到Z(t)≥x(t)>0.由方程的(E)得到兩種可能：Z′(t)>0 或Z′(t)<0.

(Ⅰ)設(shè)Z′(t)>0，由方程(E)可以得到：

(Ⅱ)設(shè)Z′(t)<0，由方程(E)可以得到：

由條件(H2)和Z′(t)<0可以得到兩種可能：

對(duì)上式從t1到t積分，可以得到：

讓t→∞，利用(H3)得到Z(t)→-∞.這與Z(t)>0矛盾.

引理2[4]設(shè)存在兩個(gè)函數(shù)A(θ)>0,B(θ)>0 且θ>0，則

(1)

引理3設(shè)x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，相應(yīng)的Z(t)滿足(Ⅰ),則

[r(t)Z′(t)α]′+g(t)Z′(t)α+Q1(t)Zβ(δ(t))≤0

(2)

其中，Q1(t)=[q(t)(1-p(δ(t)))]β.

證明由Z(t)=x(t)+p(t)x(l(t))可得x(t)=Z(t)-p(t)x(l(t))，利用(H4)和Z′(t)>0，可得：

x(t)=Z(t)-p(t)x(l(t))≥Z(t)(1-p(t))，

x(δ(t))β≥Z(δ(t))β(1-p(δ(t)))β，

再由方程(E)，可得：

Q1(t)Zβ(δ(t))≤0.

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

其中：

證明由?(t)的定義及引理3得：

≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

(i)β>α>0時(shí)，

由引理3知，[r(t)Z′(t)α]′≤-g(t)(Z′(t))α-Q1(t)Zβ(δ(t))≤-Q1(t)Zβ(δ(t))≤0.所以r(t)Z′(t)α單調(diào)遞減，r(t)(Z′(t))α≤r(δ(t))(Z′(δ(t)))α.由(H3)知，

從而

當(dāng)β>α>0時(shí)，

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

(3)

(ii)α≥β>0時(shí)，

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

(4)

現(xiàn)記T=max{T1,T2}，λ=min{α,β}，

綜合(3)式和(4)式可得α>0,β>0時(shí)的廣義黎卡提不等式為：

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

(5)

2　主要結(jié)果

定理1假定引理1—引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應(yīng)的Z(t)滿足(Ⅰ).若

(6)

則x(t)振動(dòng).

證明假設(shè)x(t)不振動(dòng)，不失一般性，令x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解.由引理4可得：

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

由引理2可得：

對(duì)上面方程從T到t積分可得：

當(dāng)t→+∞時(shí)，由(6)式可得?(t)→-∞.矛盾，所求得證.假定ρ(t)=δn(t)，可得以下推論：

推論1假定引理1—引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應(yīng)的Z(t)滿足(Ⅰ).若

則x(t)振動(dòng).

定理2假定引理1—引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應(yīng)的Z(t)滿足(Ⅰ).若

(7)

則x(t)振動(dòng).

證明假設(shè)x(t)不振動(dòng)，不失一般性，令x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，由引理4可得：

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

利用引理2可得：

兩邊同時(shí)乘以(t-s)n，再?gòu)腡到兩邊積分(t>T)可得：

≤(t-T)n?(T).

兩邊同除以tn可得：

(8)

(9)

這與(7)式矛盾，假設(shè)不成立，所求得證.假定ρ(t)=δn(t)，由定理2可得以下推論：

推論2假定引理1至引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應(yīng)的Z(t)滿足(Ⅰ).若

以下利用Philos型積分平均條件，給出廣義的Emden-Fowler方程(E)的振動(dòng)準(zhǔn)則.為此令

D0={(t,s)：t>s≥t0}

D={(t,s)：t≥s≥t0}

我們稱函數(shù)H(t,s)∈C1(D,R)為屬于F類，記作H(t,s)∈F，如果滿足

(Ⅰ)H(t,t)=0，t≥t0，H(t,t)>0；

(Ⅱ)存在ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)，h∈C(D0,R)，使得

(10)

定理3假定引理1—引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應(yīng)的Z(t)滿足(Ⅰ).若

(11)

則x(t)振動(dòng).

證明假設(shè)x(t)不振動(dòng)，不失一般性，設(shè)x(t) 是廣義的Emden-Fowler方程(E)的最終正解，利用引理4可得：

?′(t)≤-ρ(t)Q1(t)+Q2(t)?(t)-

兩邊同乘以H(t,s)，并從T到t(t>T)兩邊積分，再由引理2及方程(10)得：

(12)

由方程(12)可得：

(13)

這與(11)式矛盾，原假設(shè)不成立，所求得證.若取H(t,s)=(t-s)n，則定理3可簡(jiǎn)化為Kamenev型結(jié)果如下：

推論3假定引理1至引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應(yīng)的Z(t)滿足(Ⅰ).若

則x(t)振動(dòng).

推論4假定引理1—引理4 成立，x(t)是廣義的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最終正解，且相應(yīng)的Z(t)滿足(Ⅰ).若

則x(t)振動(dòng).

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(責(zé)任編輯穆剛)

Some oscillation results of a generalized Emden-Fowler equation

HUI Yuanxian, WANG Junjie

(Mathematics Department,Puer University, Puer Yunnan 665000, China)

The purpose of this paper is to study the oscillation properties of a generalized Emden-Fowler equation with damping. Using a generalized Riccati transformation and integral averaging technique, some new sufficient criteria were established to insure that any solution of this equation oscillates or converges to zero. The results extend and improve the ones in recent literature.

a generalized Emden-Fowler equation with damping; generalized Riccati transformation; oscillation criteria

2016-03-29

云南省教育廳基金項(xiàng)目(2015Y490)；普洱學(xué)院校級(jí)科研創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(2015CXTD003)；普洱學(xué)院課題(2015xjkt20).

惠遠(yuǎn)先(1983—)，男，河南南陽(yáng)人，講師，碩士，主要從事微分方程方面的研究.

O175.25

A

1673-8004(2016)05-0019-05