水下樁腿長度變化對浮式結構固有頻率的影響研究

武海浪，陳徐均，黃亞新，劉俊誼

(解放軍理工大學 野戰工程學院，江蘇 南京 210007)

水下樁腿長度變化對浮式結構固有頻率的影響研究

武海浪，陳徐均，黃亞新，劉俊誼

(解放軍理工大學 野戰工程學院，江蘇 南京 210007)

為了分析帶支腿浮式結構水下樁腿處于不同的長度時振動固有頻率的變化情況，采用有限元方法和三維線性水彈性理論對一理想的帶支腿浮式結構進行研究，分工況計算了3種彈性模態的干、濕固有頻率。結果表明對于同一階彈性模態來說，結構主體平臺振型是決定水動力系數大小的主要因素，樁腿水下長度是次要因素，而振型又受到樁腿長度的制約；樁腿水下長度的改變對帶支腿浮式結構的干模態固有頻率以及濕固有頻率都有較明顯地調制作用。對于干模態固有頻率來說，樁腿關于船身越趨于對稱分布時結構的共振頻率越高；對于濕固有頻率來說，水下樁腿長度地增加有迫使共振頻率趨向低頻方向移動趨勢。

海洋工程；水彈性力學；帶支腿浮式結構；固有頻率；模態分析；樁腿長度

Abstract:To analyze the dry and wet natural frequencies of the floating structure with legs,the hydrodynamic coefficients and the stiffness coefficients of the floating structure with legs are calculated by utilizing the Finite Element Method and the 3 D linear hydroelasticity theory.The results show the main factor that determines the hydrodynamic coefficients of the identical elastic mode is the mode shape of the main platform,and the length of the legs is the secondary factor,however,the mode shape of the main platform is restricted by the legs.The variation of the leg's length underwater can prominently modulate both the dry natural frequencies and the wetted natural frequencies of the floating structure with legs.In the dry condition,with the legs turning to the symmetrical distribution about the main body,the natural frequency of the structure tends to move to the high frequency domain.In the wet condition,the modulation effects of the legs on the natural frequencies are manifested by adjusting the added mass.With the legs stretching out from the bottom of the main body,the wetted frequencies have the tendency to move to the low frequency domain.

Keywords:ocean engineering; hydroelasticity; floating structure with legs; natural frequency; model analysis; length of the legs

帶支腿浮式結構是指在浮式平臺的基礎上設計加裝一定數量的可升降支腿而形成的新型工程結構。該工程結構通過升降裝置的動作，平臺主體或樁腿可垂直升降。如自升式石油鉆井平臺和自升(自航)式風電安裝船就是典型的帶支腿浮式結構。國內外學者對這種工程結構有較多的研究[1-10]，這些研究主要是針對該結構處于支承狀態時所展開的。

帶支腿浮式結構在放/提樁過程中，樁腿既未觸及海底也未完全收起，結構始終處于漂浮狀態，樁腿的存在將導致浮式結構的水彈性性質與普通浮式結構不同。一方面，樁腿的收放會導致結構質量分布發生變化，這必然使結構同一種干模態的振型和固有頻率也會發生變化；另一方面，水下樁腿的伸長或者縮短會使得船體的重心位置、轉動慣量，濕面積等船體自身物理屬性隨時發生改變，這樣流場中速度勢的定解問題中的物面條件會發生改變導致其解會發生改變。最終會引起三維線性水彈性方程中的每一個參數發生相應地調整和變化。在這個過程中，帶支腿浮式結構的濕固有頻率必然會發生相應地調整。

固有頻率是浮式結構重要的屬性，一直受到關注。殷玉梅等[11]推導了船舶上層建筑整體縱向振動固有頻率預報公式，將上層建筑縱向振動固有頻率視為由上層建筑根部剛性固定在船體上的剪彎振動固有頻率和上層建筑根部彈性固定在主船體上的剛體回轉振動固有頻率兩部分串聯合成。為了使船舶在固有頻率變化時也有好的減搖效果，金鴻章等[12]研究了雙水艙減搖系統。劉文璽等[13]對系泊浮體的固有頻率、各種工況下大幅非線性運動、纜索張力等進行了計算，并進行了對比研究。王顯正等[14]用一維梁有限元方法和三維有限元方法計算3艘實船總振動固有頻率，對計算結果進行統計分析，提出對一維梁有限元方法計算結果地修正，該方法能有效改進一維梁有限元計算方法，可快速準確地預報船舶總振動固有頻率。

樁腿在水下長度的改變而引起浮體濕固有頻率變化的研究尚不多見[15-17]，這里采用有限元方法和線性三維水彈性理論對一理想化的帶支腿浮式結構進行分析，計算了該浮式結構水下樁腿處于不同的長度時二節點垂彎振動、三節點垂彎振動、一節點扭轉振動時固有頻率，重點分析了引起浮式結構固有頻率變化的機理和原因。

1 帶支腿浮式結構固有頻率分析原理

1.1干固有頻率計算

用有限元方法，任意形式結構的運動方程可表示為[18]：

式中：M、C、K分別為浮體總質量矩陣、總阻尼矩陣和總剛度矩陣；U為節點位移向量；P為結構分布力。

忽略外部荷載以及阻尼得到系統的自由振動方程：

假設式(2)中的自由振動為頻率為ω的簡諧振動，這樣便得到：

每一個特征值都有一個特征向量與之相對應Dr，代表第r階模態：

1.2濕固有頻率計算

假定船體結構周圍的流體為理想、不可壓縮流體，波浪振幅值為小量，可得自由狀態下浮體的線性水彈性方程[19]：

若令廣義輻射力有如下表達式：

式中：n是物體濕表面上的單位法向量；ur為該點第r階位移振型；φk(x,y,z)表示輻射波速度勢的空間分量，它表示當浮體在平衡位置附近以入射波圓頻率ω，以第k階干模態振型作單位主坐標幅值振蕩時所誘導的流場周圍的流體運動速度勢；pk表示結構動力學控制方程中的主坐標響應復數幅值；ρ為流體密度；i是虛數單位。這樣，廣義輻射力可以表示為：

式中：Trk表示浮體以頻率ω、第k階模態作單位幅值的簡諧運動時，浮體所受到的第r階輻射力。它可以表示為：

其中，

式中：Re，Im分別表示取復數的實部和虛部，系數Ark與加速度同相位，Brk與速度同相位，所以它們分別稱為附加質量和附加阻尼系數。

恢復力系數的表達式：

式中:Crk表示廣義恢復力系數。當r≤6以及k≤6時，上式即退化為剛體運動的恢復力系數矩陣，其余情況則為彈性變形模態和剛體運動的耦合交叉項。

當帶支腿浮式結構處于波浪中，對于其垂蕩、橫搖、縱搖以及每一階彈性模態，當其作給定頻率ω的運動時都對應有其本身的濕固有頻率ωwr，該頻率可由如下特征方程求解：

其中，arr和crr為結構廣義質量矩陣和廣義剛度矩陣對角元素；Arr(ω)為浮體以頻率ω作振蕩運動的附加質量矩陣對角元素；Crr為靜水恢復力矩陣對角元素。

2 帶支腿浮式結構特性分析

2.1有限元建模及工況劃分

圖1 梁單元帶支腿浮式結構Fig.1 The floating structure with legs formed by beam

將船身簡化為水平三維梁是水彈性分析的常用方法[20-26]。文中將主體平臺簡化為水平梁的組合，同時，將船身上攜帶的樁腿簡化為垂直三維梁。為了將樁腿合理的加裝到主體平臺上，具體方法及相關參數：選取某型帶支腿浮式結構為研究對象，結構長度約為130 m，寬38 m，型深8 m。6個升降腿分布于全船兩側，每個樁腿高68 m，截面為4 m×4 m方形。如圖1，將船身簡化為水平梁組合，采用有限元分析軟件建模。將代表主體平臺的梁單元放置于水平面之上，若不考慮樁腿的存在，主體平臺重心始終位于靜水面上，平衡坐標系的原點位置。

按樁腿長度對所建立的模型分為5種工況，如表1所示。將工況5設定為工況1的對稱形式，其上部樁腿的長度恰好為工況1上部樁腿的長度，而工況5下部樁腿的長度為工況1上部樁腿的長度，這樣重心的位置就與工況1的重心位置關于靜水面相對稱。而轉動慣量和工況1的情況完全一致。工況2和工況4也是一組對稱工況，工況3獨立于工況1、5和工況2、4自成一類。

表1 帶支腿浮式結構工況設置Tab.1 The set of the cases

算例只是一個理想的帶支腿浮式結構，實際帶支腿浮式結構的配重分布未必能滿足上述要求。但本文著重于帶支腿浮式結構濕固有頻率變化的機理解釋，故選擇了這樣的一種建模方法來進行分析。按照上面兩兩一組的劃分工況好處在于，當進行干模態分析的時候，由于工況相對稱，真空中帶支腿浮式結構的相同的模態，其振型和固有頻率必定一致。當對兩種結果相同的干模態結果放到波浪中進行水彈性分析時，由于同一組中的兩種工況的水下樁腿長度是不一樣的，可能會導致結果的差異。對比這種差異性結果就可以有針對性的分析樁腿對帶支腿浮式結構濕固有頻率的影響。增強了結果的可對比性，有利于對水彈性理論中濕固有頻率計算機制的認識。

2.2模態分析

主要考察樁腿的存在對主體平臺振型和頻率的影響，暫時不考慮樁腿本身振動而產生的彈性模態，故認為樁腿的剛度遠遠大于船身剛度。分別提取了帶支腿浮式結構三種振動：二節點垂直彎曲；三節點垂直彎曲；一節點扭轉振動。如表2所示，分別給出了樁腿處于5種工況下的振型和固有頻率。

表2 帶支腿浮式結構干模態振型及固有頻率Tab.2 The mode shape and natural frequencies of the floating structure with legs

在一個模態振型下，當樁腿向下伸長，由工況1轉為工況5，浮式結構干模態固有頻率有先增大后減小的趨勢。如在二節點垂彎時，工況1的固有頻率為1.459 41 Hz，工況2時為1.529 52 Hz，到工況3時固有頻率最大，為1.554 20 Hz，工況4時為1.529 52 Hz，工況5為1.459 41 Hz。三節點垂彎和一節點扭轉振動也有類似的規律，這表明樁腿的存在對帶支腿浮式結構的垂彎振動固有頻率確實存在著影響，且樁腿越是關于主體平臺對稱分布，上述三種振動的固有頻率就會越大，這反應了樁腿對帶支腿浮式結構干模態固有頻率地調制作用。

工況1和工況5，工況2和工況4的垂彎模態振型是相互對稱的，固有頻率相一致，振型的幅度也是一致的。這樣將工況1、工況2和工況3的垂彎歸一化振型提出來，放在一張圖中進行對比，如圖2所示，每一幅圖中都有三種工況的帶支腿浮式結構的振型。

對于二節點垂彎，如圖2(a)，對比三種工況主體平臺振型可知，工況3主體平臺的垂彎程度明顯比工況2和工況1的振幅更大，工況1的垂彎振幅為這三種振型中最小的工況。可見二節點垂彎振動中，樁腿越是趨于對稱，不僅固有頻率越大，而且主體平臺的歸一化振幅也越大。同樣的規律也存在于一節點扭轉振動和三節點垂彎振動當中，如圖2(b)和圖2(c)所示。

圖2 模態振型對比圖Fig.2 Comparison of the mode shapes

3 水動力建模及結果分析

3.1濕面網格劃分

已有的三維線性水彈性計算程序采用了單對稱復合勢的方法對水動力參數進行求解。如果所研究的浮式結構是關于x或者y軸的對稱結構，那么只需要定義一半濕面單元即可。

對帶支腿浮式結構5種工況下的濕面進行了網格劃分，如圖3所示。將靜水面作為濕面元劃分的起算點，由于樁腿的升降而帶來的水線面的改變在此被忽略。因此，平衡坐標系中零刻度線以下的面積均被認為是浮式結構的濕面。結構主體平臺的型深為8 m，定吃水為4 m，為型深的一半，與上部分面積形成對稱。

5種工況中，帶支腿浮式結構的主體船身上濕面單元的劃分是相同的，共有面元540個，各種工況之間，濕面的主要差距體現在樁腿上。工況1有648個面元。以此類推，工況2時結構上共劃分了744個面元；工況3為840個面元；工況4為936個面元；工況5為1 032個面元。圖3給出了工況1和工況5的面元劃分示意圖。

圖3 各種工況濕面元劃分Fig.3 The set of the wetted panels

3.2水動力系數分析

利用三維線性水彈性理論，通過數值方法，可求得帶支腿浮式全梁式結構在波浪中運動的附加質量和附加阻尼，即水動力系數。這里重點討論二節點垂彎、一節點扭振和三節點垂彎這幾個模態的濕固有頻率，因此，圖4至圖6給出了這三個運動模態的水動力系數對角線元素隨無因次頻率的關系曲線。圖中橫坐標與縱坐標所代表的物量均進行了無量綱化處理。A為附加質量，B為附加阻尼，ρ為流體密度，L為結構長度，Vol為浮式結構排水體積，g為重力加速度，ω為圓頻率。

對于二節點垂彎來說，如圖4(a)，工況3所代表的曲線高于其余幾種工況，而其余工況的水動力系數也沒有按照水下樁腿的長短進行排列。這和剛體模態的特性表現出了差異[15]。剛體模態的分析中，通常是工況5所獲得的附加質量最大，附加質量與水下樁腿長度有很好的正相關性。而此時，樁腿最長的工況5所獲得的附加質量還略低于水下樁腿長度遠低于它的工況4。由圖4(b)也可知，工況3的附加阻尼系數峰值是所有工況中最大。出現以上現象的原因在于，盡管工況3在五種工況中可積分的濕表面不是最大的，但經過對比可知，樁腿處于工況3時，帶支腿浮式結構主體平臺的歸一化振型的振幅最大，樁腿的濕表面積和主體平臺濕表面相比較是一個小量。因此，水動力系數計算公式中，主體平臺的模態振型這一項就成為了影響水動力系數大小的主要因素，而樁腿長度變化導致的濕表面稱為次要因素，因此二節點垂彎模態中工況3的附加質量和附加阻尼系數最大。而工況1和工況5主體平臺歸一化振型的振幅最小，因此，在二節點垂彎水動力系數的計算中，這一組值相對來說偏低。

圖4 二節點垂彎水動力系數Fig.4 Hydrodynamic coefficients of 2-node VB

圖5 一節點扭轉振動水動力系數Fig.5 Hydrodynamic coefficients of 1-node tortion

圖6 三節點垂彎水動力系數Fig.6 Hydrodynamic coefficients of 3-node VB

同時，盡管工況1和工況5主體平臺的模態振型相一致，但對比工況1和工況5的附加質量發現，前者要低于后者。原因在于，工況1和工況5主體平臺的模態振型相同后，積分面積就成了水動力系數積分當中的主要因素，工況1水下的樁腿短于工況5，附加質量系數自然略低于工況5的情況。因此當振型一致時，樁腿水下長短又成了影響水動力系數的主要因素。工況2和工況4的附加質量關系同樣可以用上述原理進行解釋。一節點扭轉振動和三節點垂彎振動也有相類似的規律。

從上述分析可以看出，工況不同時，主體平臺的模態振型是主要因素，當主體平臺振型一致時，樁腿在水下的長度上升為影響水動力系數的主要因素。這體現出對稱分析法在帶支腿浮式結構分析中的優勢，即在對稱與非對稱，相等與不相等中分清帶支腿浮式結構水彈性分析中的主要因素和次要因素。按同樣的方法對下面的模態進行分析。

3.3濕固有頻率分析

前面已經分析了帶支腿浮式結構各個工況的附加質量、靜水恢復力和剛度矩陣，按式(6)可以計算出結構不同工況下各階模態的濕固有頻率，表3給出了濕固有頻率的計算結果。

表3 各工況濕固有頻率 Tab.3 The wet resonant frequencies of the cases (rad/s)

對于帶支腿浮式結構的對于彈性體模態，同一種振動模態，樁腿長度不同，濕固有頻率也不一樣。這三種振動的濕固有頻率隨水下樁腿長度的增加均呈現出減小的趨勢，如表3所示，當帶支腿浮式結構處于工況1時，其二節點垂彎濕固有頻率為5.507 0 rad/s；工況2時為5.406 9 rad/s；工況3時為5.349 5 rad/s；工況4時為5.047 8 rad/s；工況5時為4.597 6 rad/s。

這些數據都表明，和帶支腿浮式結構干模態固有頻率一樣，樁腿同樣對帶支腿浮式結構的濕固有頻率具有明顯地調制作用，但這種調制作用的表現形式和調制的機理卻各不相同。對于干模態固有頻率來說，樁腿關于船身越趨于對稱分布時結構的振動固有頻率越高，樁腿的調整使得結構的質量分布發生了變化，使得固有頻率發生變化；對于濕固有頻率來說，水下樁腿長度地增加引起結構附加質量的非線性調整。從綜合效果看，有迫使共振頻率趨向低頻方向移動趨勢。

4 結 語

采用有限元法和線性三維水彈性理論對一理想化的帶支腿浮式結構進行分析，計算了該浮式結構水下樁腿處于不同長度時各種模態的固有頻率，重點分析了引起結構固有頻率變化的機理和原因。

前人的研究結果認為對于帶支腿浮式結構剛體模態來說，水動力系數大小主要取決于樁腿水下長度，其水下樁腿長度越大，水動力相對系數越大。本文研究表明，對于彈性模態來說，主體平臺振幅、水下樁腿長度和水動力系數三者之間成為一種耦合關系。結構主體平臺振幅是決定水動力系數大小的主要因素，樁腿處于對稱分布時，主體平臺的振幅最大，水動力系數相對最大，同一種振型下，工況3的附加質量可以是工況1的2～3倍。樁腿長度成為了次要因素，只有當振幅相同時，水下樁腿長度越長，水動力系數才越大，此時，工況5的附加質量可約為工況1的2倍，但同時振幅的大小又受到樁腿長度的制約。

對于干模態固有頻率來說，樁腿關于船身越趨于對稱分布，結構的共振頻率向高頻移動。對于濕固有頻率來說，水下樁腿長度的增加引起結構附加質量的非線性調整，從綜合效果看，則有迫使共振頻率趨向低頻方向移動趨勢。由于樁腿的存在，帶支撐腿浮式結構形成了具有一定寬度的共振頻域區間。二節點垂彎振動的共振頻域區間相對較窄，而一節點扭轉振動和三節點垂彎的共振頻域區間則相對較寬。

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The modulation effects of the legs on the natural frequencies of the floating structure

WU Hailang,CHEN Xujun,HUANG Yaxin,LIU Junyi

(College of Field Engineering,PLA University of Science and Technology,Nanjing 210007,China)

P751; U661.1

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2016.03.006

1005-9865(2016)03-0047-08

2015-10-16

國家自然科學基金(51379213)；國家工信部高性能船舶科研項目(工信部聯裝[2012]533)；國家科技支撐計劃課題(2014bab16b05)

武海浪(1983-)，男，博士研究生，主要從事浮式工程結構流固耦合動力研究。E-mail：whlwzgrape@163.com

陳徐均。E-mail:chenxujun213@sina.com