二量子比特混合態隱形傳輸保真度研究

崔海生

(重慶郵電大學移通學院 物理系, 重慶　401520)

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二量子比特混合態隱形傳輸保真度研究

崔海生

(重慶郵電大學移通學院 物理系, 重慶401520)

針對二量子比特混合態系統，利用描述態的密度矩陣研究了CHSH違反、混合度與隱形傳輸保真度的關系。通過共生糾纏度確定了隱形傳輸保真度的上、下限。結果表明,二量子比特混合態在CHSH違反最大位置或混合度最小位置獲得最大隱形傳輸保真度，并可以通過增加共生糾纏度來提高隱形傳輸保真度。

CHSH違反; 隱形傳輸保真度; 混合度; 共生糾纏度

0　引　言

量子光學和信息科學的結合促進了量子信息科學的形成和發展。量子通信、量子計算、量子密碼等都是量子信息研究的主要課題。 量子信息的載體是量子態，量子系統的態在演化過程中實現量子信息的處理和傳遞。在量子態的演化過程中，量子隱形傳輸保真度是糾纏存在和糾纏強度操作實驗的重要基礎。它關系到量子通信的失真度，量子計算的可靠性及量子復制的保真度是量子信息學中一個十分重要的問題[1-4]。

糾纏度指所研究的糾纏態攜帶糾纏的量的多少[5]，為不同糾纏態之間建立了可比關系。或者說，糾纏度描述的是共處于同一系統的幾個子系的態之間的局域特性，因此只對由幾個系統構成的復合系統才有意義,其作為量子信息技術中最寶貴的資源已逐漸應用于量子計算和量子通信中。

近年來，眾多學者分別對保真度[1-4]和糾纏度[6-9]開展了廣泛的研究，如文獻 [1-4]分別研究了高保真度量子存儲器以及在克爾媒質中原子和光場的保真度等，文獻 [6-9]分別研究了光子頻率轉換的偏振糾纏保持、耗散糾纏蒸餾等。但對二者的關聯研究較少，特別是對二量子比特混合態隱形傳輸保真度和糾纏度的研究迄今尚未見有文獻涉及。

L.Derkacz在文獻[10]中對貝爾CHSH不等式和混合度做了具體的研究。文中通過對一類二量子比特混合態的討論研究了CHSH不等式違反[11]、混合度、隱形傳輸保真度之間的關系,在此基礎上進一步討論了共生糾纏度與隱形傳輸保真度之間的關系。首先，考慮一類二量子比特混合態模型，給出它的CHSH違反、混合度、隱形傳輸保真度。由于深入細致的分析它們之間的關系很困難，于是通過一個具體的二量子比特混合態進行了討論。

1　貝爾CHSH不等式

C(Concurrence)被認為是測量二量子比特態共生糾纏度的最好方法，定義為[12-13]：

(1)

式中：ρ——密度矩陣;

λmax(ρ)——ρ的最大本征值。

且

式中:ρ*——矩陣ρ的復共扼。

一個任意的二量子比特混合態可以表示為[16]：

(2)

式中：I——二維空間中的單位矩陣;

σ——泡利矩陣;

r,s——實矢量;

Rij——關系矩陣,Rij=tr(ρσi?σj)。

定義一個實對稱矩陣,U=RTR，它的本征值用λ1,λ2,λ3表示，且λ1≤λ2≤λ3，則CHSH不等式為

(3)

(4)

式中：B——CHSH不等式的貝爾算子；

a,a′,b,b′——單位矢量。

結合方程(2)、(3)、(4),可以得到任意的二量子比特混合態違反CHSH不等式的一種簡單表示形式：

令

(5)

則

(6)

當m(ρ)>1,就表示違反CHSH不等式。

2　 隱形傳輸保真度和CHSH不等式

為了研究隱形傳輸保真度與線性熵和CHSH不等式之間的關系，考慮下面的一類態ε1

(7)

有

(8)

(9)

滿足規范條件[17],同時假設

(10)

最近，Bennett等對隱形傳輸做了研究。在缺少量子信道的情況下，發送者唯一可做的操作是測量未知態,并把測量結果用經典比特告訴給接受者。如果接受者能夠重構態,且優于用只建立在經典比特基礎上的傳輸方法，就認為這種態組成的量子信道對傳輸是有效的[18]。

假如傳輸一個任意的二量子比特態，通過單重態形成的量子信道發送信息，最后態被忠實地恢復。如果發送方允許在貝爾基上測量，而接受方可用任意的正操作，這種方案叫做標準傳輸。Horodecki等對標準傳輸做了研究，并引入隱形傳輸保真度來度量傳輸的效率，定義式為[19]

(11)

其中積分遍布統一分布M的布洛菲球的所有的φ·ρk表示得到概率為pk的輸出態。Horodecki等同時證明：任意的二量子比特混合態當且僅當

(12)

時對標準傳輸才是有效的，其中

假設ρ滿足條件式(12)，則隱形傳輸保真度可表示為

(13)

對上面態要仔細分析隱形傳輸保真度F與線性熵SL及CHSH違反之間的關系難度很大,下面通過一個具體的態類來做一些討論。

考慮一個態

(14)

它滿足規范條件。

其中

a+b≤1

且

(15)

于是有

(16)

(17)

得

a+b+c>1

隱形傳輸保真度為

當a+b=1時，式(16)取得最大值，此時

(18)

(19)

(20)

根據Verstraete and Wolf[20]的結果，對任意的二量子比特混合態，式(18)是當給定共生糾纏度時最大的CHSH違反。那么，對于給定的線性熵和m(ρ)，最大的隱形傳輸保真度是多少?為討論方便,取SL=S，m(ρ)=m有

(21)

(22)

同理可得F與m的關系為

可以看到，當SL最小時，F最大,即線性熵最小時獲得最大的隱形傳輸保真度;而當m(ρ)最大時，F最大,即最大的CHSH違反對應最大的隱形傳輸保真度,并且最大的隱形傳輸保真度相等。

3　隱形傳輸保真度和共生糾纏度之間的關系

量子糾纏是量子信息過程中至關重要的資源,糾纏最重要的實踐特征是量子隱形傳輸,現在考慮共生糾纏度和隱形傳輸保真度之間的關系。對于密度矩陣為ρ的二量子比特混合態，隱形傳輸保真度的上限是

(23)

不等式成立的條件是當且僅當ρ的部分轉置矩陣的負本征值對應的本征矢量是最大糾纏的。隱形傳輸保真度的下限為

(24)

式中:C——共生糾纏度。

所得結果如圖1所示。

圖1　對于給定的共生糾纏度隱形傳輸保真度的范圍

從圖1可以看出,二量子比特混合態可實現的隱形傳輸保真度大于1/2，但不會超過2/3。共生糾纏度達到1/3以后，隱形傳輸保真度隨其增加較快，說明隨著混合態糾纏度的增加，可以通過增加糾纏度來提高隱形傳輸的保真度。

對于上面討論過的態類式(14)中，因為C=c，因此上下限的形式和式(21)、(22)相同。特別地，對于二量子比特純態

其中α,β≥0，且滿足

有

這也說明純態本質上是混合態的一種特殊情況。

4　結　語

當SL最小時，F最大,即混合度最小時獲得最大的隱形傳輸保真度,而當m(ρ)最大時，F最大,即最大的CHSH違反對應最大的隱形傳輸保真度,并且最大的隱形傳輸保真度相等。隨著糾纏度的增加，可以通過增加糾纏度來提高隱形傳輸的保真度。

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Study of teleportation fidelity for mixed two-qubit state

CUI Haisheng

(Department of Physics, College Mobile Telecommunications Chongqing University of Posts, Chongqing 401520, China)

To the mixed tow-qubit state system, relationship among CHSH violation, mixedness and the fidelity of teleportation is studied with density matrix. By means of concurrence, the lower and upper bounds of the fidelity of teleportation is determined. Results show that maximum fidelity of teleportation can be obtained when CHSH violation is in maximal position or mixedness is in minimal. In addition, the fidelity of teleportation can be improved by increasing concurrence.

CHSH violation; fidelity of teleportation; mixedness; concurrence.

2016-05-09

崔海生(1979-)，男，漢族，山西呂梁人，重慶郵電大學移通學院講師,碩士，主要從事激光、量子光學和量子信息方向研究,E-mail:hscuiedu@163.com.

10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2016.4.17

O 431.2

A

1674-1374(2016)04-0401-05