圓，妙不可言

鄒紅豐

近年來，中考對有關《圓》這部分內容作了調整，將圓從高高在上的位置上降了下來，圓的證明題減少、難度降低；但圓又隨時“潛伏”在中考的考題中，它可以“圓滑”地安裝在幾何圖形中，它也可以與三角函數相“混搭”。下面以部分中考題為例，來體會“圓”的妙不可言之處。

一、圍繞“定義”做文章

圓有兩個定義：①平面上一動點以一定點為中心，一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周，簡稱圓；②到定點的距離等于定長的點的集合。根據這兩個定義我們可以在幾何圖形中找到圓的影子。

例1.如圖1，⊙P在第一象限，半徑為3。動點A沿著⊙P運動一周，在點A運動的同時，作點A關于原點O的對稱點B，再以AB為邊作等邊三角形△ABC，點C在第二象限，點C隨點A運動所形成的圖形的面積為—。

【評析】如圖2，連接CO，利用等邊三角形的性質，CO=AO，點C隨點A運動成圓。點A在以P為圓心，3為半徑的圓上，根據定義②，那么動點C的集合也應該是一個圓。當OA經過圓心P與⊙P交于A1A2兩點，且OA1≤OA≤OA2，則OA1≤OC≤OA2，所以由點C組成的圓的直經C1C2=A1A2=6，S=27。

在教材中，雖然對圓的概念教學是“認知”“理解”，但是按照學生思維發展的自然規律，學生已經對圓的“定義”具備了分析、運用的能力。在有些幾何問題中圓的條件并不明顯，特別是一些動態的問題，我們可以通過畫圖分析尋找規律（動點的軌跡），將“潛伏”在圖中的圓的幾何特征代數化—如果存在某個定點（圓心），動點到這個定點的距離等于定長（半徑）或者與已知線段有一定數量關系，這樣我們就可以構造一個圓來解決，體現數形結合思想的巧用，同時通過這一轉化培養學生的分析問題、解決問題的能力。

二、小心“角”里藏玄機

有些題目中，會提到一個角，它是一個定值，它的頂點是動點，另兩個點是定點，要找這個動點的位置。圓里面的圓周角和圓心角都有上面的特點，當弧長一定時，它所對的圓周角和圓心角是相等的，這時，我們只要構造一個圓，把這個動點“引導”到圓上的特殊位置，問題就能迎刃而解。

例2.如圖3，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（7，3），點E在邊AB上，且AE=1，已知點P為y軸上一動點，連接EP，過點O作直線EP的垂線段，垂足為點H，在點P從點F（0，）運動到原點O的過程中，點H的運動路徑長為—。

【評析】如下圖4所示，題中有兩個動點P，H，我們首先要找到動點H運動的軌跡，因為OH⊥EP，∠OHE=90°所以點H在以OE為直徑的圓上（直徑所對的圓周角等于90°）。點P運動的路徑決定了點H在圓上的起始位置，即求H運動的路徑長就是求某段弧長。OE=，以OE為直徑構造半圓，圓心是點D。點P從F（0， ）運動到原點O（0，0），則EP與半圓的交點從點G到原點O，則點P運動的路徑是弧OG，所以OG⊥EF，OE= ，半徑DO=DG= ，利用面積求OG=。因為OD2+DG2==25=OG2。

所以△ODG為直角三角形，∠ODG=90°，lOG=

本題中∠OHE=90°，所以OE是構造的圓的直徑，找圓心和半徑比較容易。在解決這一類問題時，我們巧妙地“挖掘”出圓中圓周角、圓心角，靈活地利用了垂徑定理，讓學生看到圓的價值，體現圓的魅力，激發學生學習圓的興趣。

三、“三角函數”來混搭

例3.如圖5，直線y=﹣x+3與x，y軸分別交于點A，B，與反比例函數的圖象交于點P（2，1）。

（1）求該反比例函數的關系式。

（2）設PC⊥y軸于點C，點A關于y軸的對稱點為A′。①求△A′BC的周長和sin∠BA′C的值；②對大于1的常數m，求x軸上的點M的坐標，使得sin∠BMC= 。

【評析】本題綜合性比較強，難度系數比較大，特別是最后一小題，題目的條件是很難發現圓的。關鍵地方是∠BMC的正弦值中1和m都是已知的，由BC=2，sin∠BMC= ，我們可以構造一個直角三角形，它的直角邊=BC=2，斜邊長=2m，則該直角邊所對的角就等于∠BMC，這時候我們就可以聯想到在以BC為弦，半徑為m的⊙E上找點M。在解決問題的過程中，我們依次挖掘出圓周角、三角函數、圓與直線的位置關系這些條件，將這些條件得到的結論相結合，使得棘手的問題迎刃而解。在整個解題過程中，圓的知識所起的作用雖不是驚心動魄，但確實不可或缺，似有一種潤物細無聲的感覺，三角函數在此題中的運用也絕妙無比，這正說明了數學是一個有機的整體，它不可能孤立地研究某一個重點知識，只能是在全面認知的基礎上有所突破。

四、幾點反思

中考對于圓的考查，從容易到難都會有，關鍵是在解決問題的過程中，要善于挖掘圓的條件，將圓的知識作為轉化和過渡，這就要求教師在教學中注重培養學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，具體而言要做到以下三點：

1.知識過關：對于圓的定義、基本元素及其性質，垂徑定理，圓與直線的位置關系等要熟練掌握并會運用。

2.善于分析：有的問題單純考查圓的知識，難度不大；但有些問題中沒有明顯提到圓，所以要善于分析，挖掘出圓的哪些知識點，并加以轉化構造出圓來解決問題。

3.善于觀察聯想：通過觀察圖形發現基本定理、性質和定義等所對應的圖形，建立條件之間的聯系，逐步將問題轉化。特別是解綜合題，它是一個環環相扣的系統工程，需要在學習過程中逐步培養這種能力。

因此，在中考復習中，對于“圓”的專題練習，教師要教會學生通過多種方法將并列的知識點串聯起來解決問題，使它們始終圍繞著“圓”這一個主題進行，滲透數形結合的數學思想，體驗到“圓”的妙不可言。同時，教師在教學過程中，要注重對學生的觀察、操作、分類、歸納等活動進行積極地評價，關注他們思維的多樣化和表達的條理性、嚴謹性，教會他們用數學的眼光去認識世界。