淺談選擇公理及其等價命題

高迎 石夫磊

?

淺談選擇公理及其等價命題

高迎 石夫磊

首都經濟貿易大學信息學院，北京 100070

對選擇公理的背景知識及其在數學中的地位與作用以及若干等價命題作了比較系統的論述．

選擇公理；集合；函數；代數

引言

1904年，策莫羅（E．Zermelo）最早提出選擇公理：對于任何一個由非空集合所組成的集而言，其必定存在選擇函數。選擇公理應用在幾乎所有的數學分支中。可以毫不夸張地說，如果沒有選擇公理，那么數學絕對不是今天這個樣子。

1918年，謝賓斯基關于選擇公理提出了寶貴的意見，他建議數學家們研究與其有關的各種命題的推理強度。后來，隨著研究力度的逐步加大，越來越多的等價形式被數學家們發現[1-2]。

1938年，哥德爾證明了，在系統的每一模型中都存在一個內模型，選擇公理以及廣義連續統假設在其上是成立的。哥德爾的貢獻是巨大的，他打消了人們對于選擇公理的疑慮。

1958年，弗蘭科爾曾經寫道：“繼歐幾里德之后研究最多的數學公理莫過于選擇公理了”。

到1963年，H. 拉賓（H．Rubin）和J. 拉賓兩個人合作，他們一共收集了關于選擇公理的100多種等價形式。

1 選擇公理的廣泛應用

大多數的代數學家以良序定理的形式使用選擇定理是在1935年佐恩發表它的引理之前，然而，那個時候極大性還是與選擇公理相關的最主要的代數概念。跟良序定理差別不大，這一概念也越來越多地被用于代數學領域。1918年以后，隨著代數的抽象化程度越來越高，群論、環論、布爾代數以及格論也越來越離不開良序定理，并在線性代數和域論中發現了它的新應用[3]。

除此之外，選擇公理在其他很多的領域都有著極其廣泛的應用。例如，1927年，寇尼利用選擇公理研究并解決了博弈論和地圖染色問題。再比如，1929年，波蘭數學家巴拿赫證明了所謂的Hahn-Banach定理。然而他在證明當中使用的就是良序定理。選擇公理的廣泛應用可見一斑。

2 選擇公理及部分等價命題

選擇公理在我們的現實世界中應用相當廣泛，而且對于整個近代數學也具有深遠而重大的影響，因此，探索研究它的等價形式也一直沒有間斷過，下面我們先看兩個定義。

由此，我們可以敘述以下五個等價命題。

定理2.1 下面列出的五個命題是等價的：

良序定理（Zermelo定理）：對于一個任何集合而言，它一定可以被編成良序集。

選擇公理及部分等價命題證明

證明：為證（1）、（2）、（3）、（4）、（5）互相等價，只需證明，，，，，。

所以有如下結論

由題意可知，要根據枚舉定理而去證明 Zorn 引理。為此，我們假設是一個任意給定的非空偏序集，并且中的任意一個鏈都具有上界.我們需要證明中一定存在極大元.第一，我們根據枚舉定理可以知道序數存在而使有，所以根據良序定理而把中的一切元枚舉如下：

3 結論與展望

選擇公理其實是一個頗具爭論的命題，在歷史長河中，很多人提出過質疑，但是大多數數學家是接受這一命題的，所以總而言之，關于這個命題其實是沒有確定的結論的，但是，我們可以發現，它的作用是極其深遠的，可以從中得出很多有用的結果，反正使用這條公理是沒有什么邏輯矛盾的。

選擇公理就好像是謎一般的一個命題，雖然表面上看是淺顯易懂的，然而它卻有著相當奇妙的功能，甚至我們可以從中得出超乎常理的結果。有些人相信選擇公理，投贊成的一票，而另外也有一部分人對它抱有懷疑的態度。關于選擇公理的研究相信會一直持續下去[4]。

[1]汪芳庭.公理集論[M].合肥：中國科學技術大學出版社，1995.

[2]蕭文燦.集合論初步[M].北京：商務印書館，1950.

[3]張錦文.集合論與連續統假設淺說[M].上海：上海教育出版社，1980.

[4]張錦文.集合論淺說[M].北京：科學出版社，1984.

O144

A

1009-6434（2016）03-0063-03