一種基于KL分離度的改進矩陣CFAR檢測方法

趙興剛 王首勇

?

一種基于KL分離度的改進矩陣CFAR檢測方法

趙興剛*王首勇

(空軍預警學院 武漢 430019)

矩陣CFAR檢測器是根據信息幾何理論提出的，但其恒虛警特性沒有從理論上得到分析，且檢測性能也有待進一步提高。該文首先根據矩陣流形上正態律的概念從理論上推導了矩陣CFAR檢測器的恒虛警特性，并在此基礎上，利用積累性能更好的KLD(KULLBACK-LEIBLER Divergence)代替測地線距離，提出了一種改進的矩陣CFAR檢測器。最后通過仿真實驗驗證了改進方法具有更好的檢測性能。

信息幾何；恒虛警檢測；統計流形；測地線距離；KULLBACK-LEIBLER分離度(相對熵)

1 引言

信息幾何是近年來剛發展起來的新興學科，文獻[1]于1945年提出用Fisher信息矩陣來定義黎曼度量，開啟了統計的幾何學研究。1972年， 文獻[2]引入了一個仿射聯絡族，與此同時，文獻[3]定義了統計流形的曲率概念，并指出曲率在統計推斷高階漸進理論中的基本作用。此后，文獻[4,5]引入了單參數的仿射聯絡族，建立了統計流形的對偶幾何結構，極大豐富和完善了統計的幾何學理論框架，進而建立了信息幾何。近年來，信息幾何的理論基礎不斷完善，已在系統理論、神經網絡和統計推斷等領域得到了廣泛應用[6]。

信息幾何在雷達信號處理中的應用主要是文獻[7-9]提出了一種矩陣CFAR檢測方法，該方法利用檢測單元回波協方差矩陣與參考單元協方差矩陣均值之間的測地線距離作為檢測量進行檢測，克服了傳統PD雷達CFAR檢測中多普勒處理在短脈沖序列條件下所面臨的多普勒分辨率降低、能量泄露、雜波譜污染等問題，有效提高了檢測性能，而且利用了矩陣流形的內在結構對矩陣均值進行了準確估計，具有更穩健的恒虛警特性。然而矩陣CFAR檢測方法仍存在一些不足：(1)它沒有從理論上嚴格分析該方法是否具有恒虛警特性；(2)測地線距離的檢測性能有待進一步提高。

針對以上不足，本文首先利用矩陣流形上正態律的概念從理論上推導了矩陣CFAR的恒虛警特性，得到了檢測門限的理論表達式，并在此基礎上，使用積累性能更好的KULLBACK-LEIBLER分離度(KULLBACK-LEIBLER Divergence, KLD)代替測地線距離，提出了一種改進的矩陣CFAR檢測器，最后通過仿真實驗驗證了改進方法的檢測性能。

2 矩陣流形的基礎知識

設雷達中某個距離單元觀測的復包絡信號為

2.1 測地線距離

矩陣流形上的任意一個點都代表了對應于某一個協方差矩陣的零均值復高斯矢量分布，且在定義Fisher信息矩陣為統計流形黎曼度量的基礎上，可以得到流形上任意兩點之間的最短距離，稱為測地線距離，矩陣流形上任意兩點和之間測地線距離的表達式為[11]

2.2 矩陣的黎曼均值

通過利用測地線方程，取切向量的方向為目標函數的負梯度方向，就可以得到遞推計算黎曼均值的梯度下降算法。對于矩陣流形上給定的個點，令，梯度下降算法的迭代計算表達式為

2.3 矩陣流形上的正態律

式中有

3 常規CFAR檢測器面臨的問題

在一般PD雷達中所采用的常規CFAR檢測器屬于單脈沖檢測，即對單個距離單元回波信號相參積累(FFT)后，進行線性檢波或平方律檢波，再進行恒虛警檢測，圖1以CA-CFAR為例給出了其處理流程圖。

圖1 常規CFAR檢測器

打擊飛行目標要有更短的反應時間。

然而傳統CFAR還不能滿足這些新的處理要求，尤其是在非均勻或強雜波背景下，傳統CFAR檢測的恒虛警性能是較差的，另外對于多功能和多任務雷達，是通過使用較短的脈沖序列來減少時間預算，以獲取更快的處理速度，然而，此時FFT處理會面臨以下問題：(1)多普勒分辨率下降，如果目標多普勒頻率位于兩個多普勒濾波器之間，會發生能量泄露；(2)在地、海雜波等背景下，雜波譜會散布到目標所在的多普勒濾波器中，致使檢測性能下降。

4 矩陣CFAR檢測器

為了克服常規CFAR存在的以上問題，文獻[7-9]基于信息幾何理論，提出了一種在強非均勻雜波背景下，且當雷達CPI脈沖數較少時，更加有效和穩健的矩陣CFAR檢測器。其主要思想是：首先根據雷達觀測數據計算參考單元和檢測單元的協方差矩陣，然后將這些矩陣統一看做矩陣流形上的點，進而用檢測單元協方差矩陣與參考單元協方差矩陣均值之間的測地線距離作為檢測量與門限比較，實現目標檢測，其處理流程如圖2所示。

圖2 矩陣CFAR檢測器

從理論上講，協方差矩陣包含了回波的所有信息，因而直接用矩陣進行檢測就避免了常規CFAR中CPI脈沖數較少時FFT的性能損失；在恒虛警特性方面，流形上的矩陣均值與傳統CFAR中用到的雜波功率的一階估計(算術平均)相比，是利用了流形上的內在結構對均值進行估計，受雜波環境影響更小，因而在一些強的非均勻雜波背景下，具有更好的穩健性。

文獻[7]為改善常規CFAR存在的問題而提出了上述的矩陣CFAR檢測器，但矩陣CFAR只是給出了檢測策略，對于能否真正具有恒虛警特性沒有進行理論分析，也就沒有給出檢測門限的理論值；并且流形上距離定義有多種，利用測地線距離進行檢測無法保證是最優的。

5 基于KLD的矩陣CFAR檢測器

針對上節分析的矩陣CFAR存在的不足，本節通過利用矩陣流形上的幾何性質以及內蘊的統計特性逐一進行了分析和解決，并提出了一種改進的矩陣CFAR檢測器。

5.1 恒虛警特性及門限

圖3給出了矩陣CFAR檢測器在流形上的示意圖，在流形上參考單元的協方差矩陣可以看做流形上的一個粒子群，那么矩陣CFAR就是通過比較與這個粒子群中心點之間距離來實現檢測的。在沒有目標時，根據矩陣流形上的廣義正態律，包括在內的所有點都服從一個如式(6)所示的廣義正態分布。從圖3可以得出，式(7)所示的檢測器可以等價于。

圖3 矩陣CFAR在流形上的示意圖

價于雜波功率的估計，因而矩陣CFAR檢測器是具有恒虛警特性的。

5.2 用KLD代替測地線距離

然后，我們從信息幾何的角度來解決該檢測問題，在矩陣流形上，兩種假設分布分別為

式中，det和tr分別代表矩陣的行列式和跡。由觀測數據得到的分布為，協方差矩陣由計算得到，則根據式(13)可得流形上到和的KLD分別為

則可用KLD在信息幾何框架下定義一種距離檢測器[6]為

如果將式(16)中的KLD用式(3)所示的測地線距離替換，則可得基于測地線距離的距離檢測器為

從直觀上很難得到式(11)，式(16)，式(17)三者之間的關系，因此采用蒙特卡洛方法對3種方法的檢測性能進行比較，圖4給出了似然比檢測(LRT)、基于KLD的距離檢測器(KDD)、基于測地線距離的距離檢測器(GDD)3種檢測方法的性能比較曲線。

從圖中可以看出，KDD與LRT檢測是完全等價的，在給定虛警概率的前提下，具有最優的檢測性能，而GDD的性能要差于KDD和LRT檢測。在距離檢測器中，距離本質上是代表了一種能量積累的方式，由檢測性能的比較可以得出，KLD比測地線距離具有更好的積累性能。

實際上，通過比較式(7)和式(17)可以發現，矩陣CFAR檢測在本質上可以等價于“一半”的GDD。在GDD中，假設和是已知的，而在實際應用中，這兩者是很難得到的，矩陣CFAR首先舍去了式(17)中，就不需要用到，再者類比于常規CFAR檢測的思想，通過計算參考單元雜波協方差矩陣的均值對進行估計，因而矩陣CFAR更便于工程應用。根據矩陣CFAR與GDD之間的關系，則同樣可以利用“一半”的KDD定義一種新的矩陣CFAR檢測器，即利用KLD代替式(7)中的測地線距離，

上文已經提到，KLD比測地線距離具有更好的積累性能，因而式(18)所示的基于KLD的矩陣CFAR檢測器會比文獻[7-9]中的矩陣CFAR具有更好的檢測性能。

6 仿真實驗

本節使用SIRP法仿真產生K雜波來模擬目標檢測背景，對常規CFAR，矩陣CFAR和改進的矩陣CFAR 3種方法的檢測性能進行比較分析。

針對第3節分析的常規CFAR在雜波背景和短脈沖序列條件下存在的雜波譜展寬、多普勒分辨率降低和能量泄露等問題，我們設置4種仿真場景，即場景1：不存在雜波譜展寬和能量泄露的影響；場景2：只存在能量泄露的影響；場景3：只存在雜波譜展寬的影響；場景4：雜波譜展寬和能量泄露的影響都存在。

4種場景的設置可以通過調節K雜波仿真中的雜波譜寬度和目標多普勒頻率來實現。場景1和2的設置中，我們令K雜波仿真中的功率譜3 dB帶寬為40 Hz，場景3和場景4對應為80 Hz，兩種帶寬的功率譜密度曲線如圖5所示。

能量泄露的影響是由多普勒濾波器組和目標多普勒頻率共同決定的，因為脈沖重復頻率為1000 Hz，多普率濾波器的個數為8個，則可以令場景1和場景3中，場景2和場景4中，圖6以多普勒濾波器組的形式給出了4種場景的示意圖。

然后我們利用常規CFAR、矩陣CFAR和改進的矩陣CFAR 3種方法分別對每一種場景下的仿真目標信號進行檢測，信雜比范圍設置為

從圖7可以看出，場景1中，由于沒有雜波譜展寬和能量泄露的影響，FFT能使目標信號能量有效積累，且目標所在的多普勒濾波器中雜波能量微弱，此時常規CFAR的性能是較好的；場景2中，受到了能量泄露的影響，即在兩個多普勒濾波器之間，此時常規CFAR中檢測量對應的多普勒濾波器只積累了一部分信號能量，因而檢測性能下降；場景3中，雜波譜展寬，即目標信號所在的多普勒濾波器也散布了一部分雜波能量，使得檢測性能下降；場景4中兩種影響都有，因而檢測性能是最差的。矩陣CFAR和改進的矩陣CFAR都是直接利用協方差矩陣進行檢測，因而上述兩個方面的影響是相對較小的，除了在場景1中，常規CFAR的檢測性能較好以外，在其他3種場景下，矩陣CFAR的性能有優勢，但在場景2和場景4中不明顯，而改進的矩陣CFAR的檢測性能要明顯優于矩陣CFAR和常規CFAR，這也驗證了本文所提出的改進矩陣CFAR檢測器的有效性。

矩陣CFAR和改進的矩陣CFAR都是利用了矩陣流形的內在結構對矩陣均值進行估計，因而它們的另一優勢是穩健性，即在不同的背景下檢測性能變化的程度相對較小，我們通過將3種方法在4種場景下的檢測性能曲線放在一起比較，如圖8所示，可以看出常規CFAR的檢測性能在不同場景下的波動程度要更大，而矩陣CFAR和改進的矩陣CFAR具有更穩健的檢測性能。

7 結束語

矩陣CFAR是信息幾何理論在雷達目標檢測中的一項重要應用，在一些場景下具有比傳統方法更好的檢測性能和恒虛警特性。本文在前人研究的基礎上，對矩陣CFAR進行了更深入的理論分析，提出了一種改進方法，進一步提高了性能，并通過仿

圖4 LRT, KDD, GDD 3種方法檢測性能比較 圖5 雜波的功率譜密度曲線

圖6 4種仿真場景示意圖

圖7 檢測性能曲線

圖8 3種方法在4種場景下的檢測性能比較

真實驗進行了驗證。然而，除此之外，矩陣CFAR仍有許多問題需要繼續深入研究，如矩陣流形本身是假定雜波序列服從零均值高斯分布的，那么在強非高斯雜波背景下，由于雜波類型的不準確，也會導致性能的下降[16]，這是在以后的研究中需要著重解決的問題。

[1] RAO C. Information and accuracy attainable in the estimation of statistical parameters[J]., 1945, 37(2): 81-91.

[2] CHENTSOV N N. Statistical Decision Rules and Optimal Inference[M]. Rhode Island, USA: American Mathematical Society, 1982: 55-60.

[3] EFRON B. Defining the curvature of a statistical problem (with applications to second order efficiency)[J]., 1975, 3(6): 1189-1242.

[4] AMARI S and NAGAOKA H. Methods of Information Geometry[M]. New York: Oxford University Press, 2000: 87-96.

[5] MARCELO P, Hadj B, and STEVE M.Exploiting information geometry to improve the convergence properties of variational active contours[J]., 2013, 7(4): 700-707.

[6] 趙興剛, 王首勇. 雷達目標檢測的信息幾何方法[J]. 信號處理, 2015, 31(6): 631-637.

ZHAO Xinggang and WANG Shouyong. Information geometry method of radar target detection[J]., 2015, 31(6): 631-637.

[7] BARBARESCO F. Radar detection for non-stationary time-Doppler signal based on Fréchet distance of geodesic curves on covariance matrix information geometry manifold [C]. 14th International Radar Symposium, German, 2013: 307-312.

[8] LE Y, ARNAUDON M, and BARBARESCO F. Riemannian median, geometry of covariance matrices and radar target detection[C]. 7th European Radar Conference, Paris, 2010: 415-418.

[9] BARBARESCO F. Radar detection using Siegel distance between autoregressive processes, application to HF and X-band radar[C]. IEEE Radar Conference, Rome, Italy, 2008: 523-530.

[10] 孫華飛, 彭林玉, 張真寧. 信息幾何及其應用[J]. 數學進展, 2011, 40(3): 257-269.

SUN Huafei, PENG Linyu and ZHANG Zhenning. Inforamtion geometry and its application[J]., 2011, 40(3): 257-269.

[11] AMARI S. Information geometry of positive measures and positive-definite matrices: decomposable dually flat structure [J]., 2014, 16(5): 2131-2145.

[12] BARBARESCO F. Information Intrinsic Geometry Flows[C]. MaxEnt’06 Conference, Paris, 2006: 133-146.

[13] LENGLET M and ROUSSON R. Statistics on the manifold of multivariate normal distributions: Theory and application to diffusion tensor MRI processing[J]., 2006, 25(3): 423-444.

[14] 鄭作虎, 王首勇. 基于Alpha穩定分布雜波模型的雷達目標檢測方法[J]. 電子與信息學報, 2014, 36(12): 2963-2968. doi: 10.3724/SP.J.1146.2014.00072.

ZHENG Zuohu and WANG Shouyong. Radar target detection method based on the alpha-stable distribution clutter model[J].&, 2014, 36(12): 2963-2968. doi: 10.3724/SP. J.1146.2014.00072.

[15] KULLBACK S. Information Theory and Statistics[M]. New York: Dover Publications, 1968: 162-188.

[16] 嚴俊坤, 劉紅亮, 戴奉周, 等. 一種具有恒虛警性質的檢測跟蹤聯合處理算法[J]. 電子與信息學報, 2014, 36(11): 2666-2671. doi: 10.3724/SP.J.1146.2013.01925.

YAN Junkun, LIU Hongliang, and DAI Fengzhou. Joint detection and tracking processing algorithm with constant false alarm rate property[J].&, 2014, 36(11): 2666-2671. doi: 10.3724/SP.J.1146.2013.01925.

趙興剛： 男，1988年生，博士生，研究方向為雷達目標檢測.

王首勇： 男，1956年生，教授，博士生導師，主要研究方向為信息與通信處理.

Foundation Items: The National Natural Science Foundation of China (61179014), Youth Science Fund Project (61302193)

An Improved Matrix CFAR Detection Method Base on KL Divergence

ZHAO Xinggang WANG Shouyong

(Air Force Early Warning Academy, Wuhan 430019, China)

The matrix CFAR detector is proposed according to information geometry theory, but its constant false alarm property is not analysed, and the matrix CFAR’s detection performance still needs to be improved. Firstly, the matrix CFAR’s constant false alarm property is analysed according to the normal law on matrix manifold, on this basis an improved matrix CFAR detector is proposed with replacing the geodesic distance with KULLBACK-LEIBLER Divergence (KLD). Finally, simulation experiments verify that the improved method has better detection performance.

Information geometry; Constant False Alarm Rate (CFAR) detection; Statistic manifold; Geodesic distance; KULLBACK-LEIBLER Divergence (KLD) (relative entropy)

TN957.51

A

1009-5896(2016)04-0934-07

10.11999/JEIT150711

2015-06-10；改回日期：2015-12-18；網絡出版：2016-02-03

趙興剛 565484636@qq.com

國家自然科學基金(61179014)，青年科學基金項目(61302193)