一種由橫波激發的特殊非線性聲現象

張世功，吳先梅，張碧星，周紅生

?

一種由橫波激發的特殊非線性聲現象

張世功1, 2，吳先梅2，張碧星2，周紅生1

(1. 中國科學院聲學研究所東海研究站，上海200032；2. 中國科學院聲學研究所，北京100190)

目前對非線性超聲的研究多集中在縱波激發的諧波性質以及對材料微觀結構變化的實驗檢測上，橫波激發的非線性聲波性質少有研究。對橫波激發的一維非線性聲波方程入手，利用攝動法求解該方程，并改寫為一階偏微分方程，然后利用交錯網格的有限差分形式進行數值求解。結果表明：采用橫波激發，能產生線性橫波和非線性縱波，且縱波的高次諧波內有兩個信號，分別以縱波和橫波兩種速度傳播。若采用較長的激發信號，縱波諧波能形成“拍”現象，成為一種奇特的聲傳播現象。

非線性聲波；縱諧波；橫波激發；攝動法

0 引言

有限振幅縱波激發的非線性聲波具有以下特征[1-3]：在傳播過程中畸變，變化為鋸齒波或三角波等；在傳播過程中，信號能量由基頻波向諧波傳遞；波形畸變的程度由非線性聲波的幅度決定，當然頻率、非線性系數等一些物理參量也對畸變有較大影響；激波或沖擊波產生；除了諧波產生之外，非線性聲波還有一個性質就是能夠對兩個不同頻率的輸入信號進行調制，形成差頻波(或稱混頻波、調制波等)等；純縱波可以單獨傳播，但純橫波不能脫離縱波單獨傳播[2]；最后一個特點說明用橫波激發時，不但會產生橫波，還會產生縱波。

Landau和Murnaghan比較早地研究了固體介質中的非線性聲學問題[4-5]，得到了各向同性介質內非線性聲波方程，人們利用這一方程對介質的非線性進行了大量的研究，范圍主要集中在固體介質微觀變化的檢測評估上，而這些應用都偏重于利用縱波進行檢測，橫波檢測相對較少。但隨著科技的發展，利用橫波激發產生的縱諧波對材料進行評價也逐漸開展起來[6]。

在固體介質里，橫波激發產生縱波是一個普通的正常現象，而如果是無限大固體材料，又是平面橫波激發，還能產生縱波則有些不符合理論[7]，為此，本文對有限振幅橫波激發產生的非線性聲波進行了理論研究。

首先，將非線性聲波簡化，得到一維非線性聲波方程，利用數值計算對該方程進行仿真，對得到的非線性聲波信號進行分析，得到了一些由橫波激發的非線性聲波的性質：橫波激發的非線性聲波產生幅度略微下降的線性橫波，但不產生橫波的諧波信號。同時還產生了縱波的諧波，且縱諧波里包含兩種速度的聲信號，一種以縱波的速度傳播，另一種以橫波的速度傳播，成為一種比較特殊的非線性聲現象。

1 理論基礎

考慮一維模型的二維振動問題，即聲傳播方向為方向，質點振動方向為、方向，對Goldberg推導的非線性聲波進行簡化[1-3]，得到一維的非線性聲波方程：

(1b)

式中：、為、方向的振動位移；11、44、111、166分別是二階彈性系數和三階彈性系數，為固體材料相應的線性和非線性彈性參數。

方程(1)可以采用攝動方法進行求解[3]，令，設其解為：

(2b)

將其代入方程(1)，可得：

(3b)

(4b)

對于橫波激發的波傳播問題，線性聲波方程(4a)、(4b)相互不耦合，采用橫波激發的方式不能獲得縱波的線性信號，即，而線性橫波方程的解為：；由于，方程(5a)、(5b)、(6b)中右側的源信號為0，均不能產生有效的聲信號。但對于方程(6a)，方程右側的源信號中包含0，方程可寫作：

(7)

該方程為非齊次方程，因為波動方程描述了方程的振動(縱波)，而非齊次項卻含有橫波的波數，這個非齊次方程的解需要利用波方程Duhamel原理來解[8-9]，得到的解為

(8)

式中：為與縱波波速、橫波速、聲源以及介質參數有關的常數：

從方程的解式(8)中可以看出，橫波激發的縱波解中有兩個二次諧波，分別以縱波速度和橫波速度傳播，這是一個相對奇特的聲學現象，由于攝動法并不能得到信號的瞬態解，為此對方程(1)開展了數值解的研究。

2 數值仿真

將方程(1)轉換為一階差分形式，然后利用有限差分方法對非線性方程進行計算，考慮到,，可寫作：

(10b)

其中，設應變為

(10d)

方程(10)可以利用有限差分方法進行計算，其振動速度和應變的交錯網格格式差分方程為：

(11b)

(11c)

建立一維固體模型，材料為鋁，其相應參數[10]見表1，相關文獻[11]對材料非線性系數的正負進行過討論，不同材料的非線性系數有正有負，在數值計算中非線性系數的正負也只是影響波形畸變的位置是出現在位移大于零還是小于零的部分，而實驗信號中波形畸變出現的位置也不盡相同[12]。

表1 鋁介質的聲學參數

數值計算采用橫波來激發，聲源位于模型左側節點上，取方向質點振動速度為聲源信號，其幅度為19 m/s，形狀為5個周期的正弦波加窗調制，頻率為500 kHz。由于一維模型的計算量相對較少，將模型的長度設得較長(0.5 m)，只研究聲波還沒有到達右邊界的情況，即可不必考慮右邊界反射問題。空間和時間步長分別為52.4 μm和6.94 ns。

3 結果及討論

計算得到某時刻的x方向傳播的質點振動速度和方向的質點振動速度聲場如圖1所示。

計算結果中可以明顯發現方向的振動速度幅度與聲源相當，為線性信號或基頻信號。而與傳播方向平行的方向振動的縱波信號則幅度較小，與方向振動的線性信號比較，可以明顯發現其為二次諧波信號。結果表明，即使是一維模型，橫波聲源激發也可以產生縱諧波，其幅度比線性信號小得多。但是較為奇特的是縱諧波信號中有兩個信號，一個以縱波速傳播，一個以橫波速傳播。沿方向傳播并在方向振動的縱波信號竟然能以橫波速度傳播，這并不太符合傳統聲學中的理論。暫且稱在方向振動并與橫波速度相同的二次諧波為橫波速縱波。對于非線性聲學理論，雖然橫波不能單獨存在，它的傳播必須要有縱波伴隨，但在方向振動又在方向傳播，卻具有橫波的傳播速度，這有點難以理解。

一些文獻[13-14]稱采用橫波激發時不會產生二次橫諧波，但對數值計算中產生的橫波信號進行頻譜分析后卻發現含有奇數次諧波，如圖2所示。

數值計算時，方程(10)并未將諧波分階次計算，所以計算的縱波(方向振動)和橫波(方向振動)信號是所有的階次都在一起的。橫波激發既然產生了縱波諧波信號，方向就有相應的應變，又產生振動速度，而根據耦合情況就會產生橫波的諧波。值得注意的是，由于方向的速度和應變都是較小的諧波信號，所以再次耦合出來的橫波信號幅度較小，階次更高，最小為三階諧波，計算結果中僅有奇次諧波，原因還有待分析。

數值計算的縱波信號還有一個奇特的現象，由于計算的方向的振動速度中，以縱波速度傳播的信號振動速度一直為正，而以橫波速度傳播的信號振動速度一直為負，這樣會形成位移信號是一個包，這也與物理常識有出入。

上面解的形式和利用攝動法的解有所差異，攝動解中只是說明縱波解中有二次諧波和兩種速度，兩種速度的波耦合在一起形成“拍”現象。但數值計算的現象中未出現該現象，分析原因為：攝動解是一個穩定的解，而數值求解卻是瞬態解，為此，采用連續波輸入，將輸入信號拉長，取中間較為穩定的解，方向振動信號見圖3。可以看出，質點振動速度信號振幅被調制，同時具有縱波和橫波成分，與攝動解形式完全一致。

鄧明晰教授[14]在其專著中討論了縱波和橫波形成的“拍”現象，橫波可以自作用產生二次諧波縱波并伴隨橫波，由于兩種波相速度不同，存在一個異步的相互作用，并產生“拍”現象。這和上述討論的問題有一定的吻合之處。

橫波激發的非線性縱波有一定的復雜性，它比弦的大振幅橫振動[15]更加復雜，并且不容易解釋，同時，這種應用相對較少，所以本文不再加以討論。

4 結論

橫波激發的非線性聲波，能產生線性橫波和縱波諧波，且縱諧波以縱波和橫波兩種速度傳播，并能形成“拍”現象。為非線性聲波傳播的基礎研究提供了初步的理論指導。

[1] Green R E. Treatise on materials science and technology: ultrasonic investigation of mechanical properties[M]. NewYork: Academic Press, 1973: 73-126.

[2] Goldberg Z A. Interaction of plane longitudinal and transverse elastic waves[J]. Sov. Phys. Acoust, 1960, 6(3): 306-311.

[3] 錢祖文. 非線性聲學[M]. 北京: 科學出版社, 2009, 332-400.

QIAN Zuwen. Nonlinear acoustics[M]. Beijing: Science Press, 2009: 332-400.

[4] 朗道, 栗弗席茲. 彈性理論[M]. 武際可, 劉寄星譯. 北京: 高等教育出版社, 2011: 120-123. Landau L B, Lifshitz E M. Theory of elasticity[M]. WU Jike, LIU Jixing translate. Beijing: High Education Press. 2011: 120-123.

[5] Murnaghan F D. Finite deformation of an elastic solid[M]. New York: Chapman & Hall Limited. 43-95.

[6] Jiang W H., Li L L. Du G H. Nonlinear propagation characteristics of transverse waves in anisotropic solids[C]//Ultrasonics Symposium, 1995. Proceedings., 1995 IEEE (Volume:1).

[7] 張海瀾. 理論聲學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007: 434-439. Zhang Hailan. Theoretical acoustics[M]. Beijing: High Education Press, 2007: 434-439.

[8] 布利克, 科達斯. 基礎偏微分方程[M]. 李俊杰譯. 北京: 高等教育出版社, 2006: 309-324. Bleecker D, Csordas G. Basic partial differential equations[M]. LI Junjietranslate. Beijing: High Education Press. 2006: 309-324.

[9] 易卜拉欣莫夫. 非線性數學物理問題[M]. 盧琦譯. 北京: 高等教育出版社, 2010: 162. Ibragimov, I. A. Nonlinear mathematical physics problem[M]. LU Qi translate. Beijing: High Education Press. 2010. 162.

[10] Thomas J. Third-order elastic constants of aluminum[J]. Physical Review, 1968, 175(3): 955-962.

[11] Stratoudaki T, Ellwood R,.Sharples S, et al. Measurement of material nonlinearity using surface acoustic wave parametric interaction and laser ultrasonics[J]. J. Acoust. Soc. Am., 2011, 129(4): 1721-1728.

[12] Breazeale M A, Philip J. Determination of third-order elastic constants from ultrasonic harmonic generation measurements in Physical acoustics[M]. Edited by W. P. Mason. Orlando: Academic Press. 1984: 1-60.

[13] NORRIS A N. Symmetry conditions for third order elastic moduli and implications in nonlinear wave theory[J]. J. Elasticity, 1991, 25(3): 247-257.

[14] 鄧明晰. 固體板中的非線性蘭姆波[M]. 北京: 科學出版社, 2006: 1-22. DENG Mingxi. Nonlinear lamb wave in solid plate[M]. Beijing: Science Press, 2006: 1-22.

[15] 莫爾斯. P M, 英格特 K U. 理論聲學[M](下冊). 楊訓仁等譯. 北京: 科學出版社, 1986: 991. Morse P M, Ingard K U. Theoretical acoustics[M]. YANG Xunren translate. Beijing: Science Press, 1986: 991.

A special nonlinear phenomenon excited bytransverse wave source

ZHANG Shi-gong1, 2, WU Xian-mei2, ZHANG Bi-xing2, ZHOU Hong-sheng1

(1.Shanghai Laboratory, Institute of Acoustics,Chinese Academy of Sciences, Shanghai 200032, China; 2.Institute of Acoustics,Chinese Academy of Sciences, Beijing100190,China)

Studies of nonlinear acoustics mostly concentrate on the problems relevant to the longitudinal harmonic waves generated by longitudinal waves at present. Nonlinear waves generated by transverse wave are seldom studied. In this paper, the nonlinear acoustic wave equation for the two dimensional oscillation propagating in one dimension direction is studied and solved by perturbation method. First the nonlinear acoustic wave equation is reformed intofirst order partial differential equation, and then the finite difference method in staggered grid style is performed to obtain the numerical solution. The results show that the linear transverse wave and nonlinear longitudinal wave can be observed with a transverse source; two signals in the longitudinal harmonic waves can propagate with longitudinal and transverse wave velocities respectively; and the clap phenomena of longitudinal harmonic waves can be seen in the nonlinear wave, which becomes a special acoustic propagation phenomenon. The results can provide a theoretical guidance for the basic study of nonlinear acoustic wave propagation.

nonlinear acoustics; longitudinal harmonic wave; excited by transverse wave; perturbation method

O422.7

A

1000-3630(2016)-03-0218-04

10.16300/j.cnki.1000-3630.2016.03.006

2016-01-10;

2016-03-10

國家自然科學基金資助項目(11274337)

張世功(1979－), 男, 河南鄢陵人, 博士, 研究方向為非線性聲學, 超聲檢測, 激光超聲。

張世功, Email: wuxm@mail.ioa.ac.cn