未知包絡多分量線性調頻脈沖信號參數(shù)估計

徐舟，張浩，程水英

（電子工程學院雷達對抗系，安徽合肥230000）

未知包絡多分量線性調頻脈沖信號參數(shù)估計

徐舟，張浩，程水英

（電子工程學院雷達對抗系，安徽合肥230000）

針對雷達偵察中的未知包絡線性調頻（LFM）信號參數(shù)估計問題，基于時頻分析與相干積累，提出了脈沖數(shù)、調頻率、中心頻率、時延和脈寬參數(shù)的估計方法。利用時頻分析對脈沖數(shù)與調頻率進行粗估計，結合分數(shù)階傅里葉變換（FRFT）完成脈沖數(shù)與調頻率精估計；進行局部相干積累，提取中心頻率、時延和脈寬。仿真分析表明：多分量LFM信號中的強脈沖可能對弱脈沖信號的參數(shù)估計產生干擾。針對該問題，在FRFT域對強脈沖進行了遮蔽處理。推導了估計參數(shù)的克拉美勞下界，并對估計誤差進行了分析，結果表明：對于多分量LFM脈沖信號，遮蔽強脈沖信號后，弱脈沖信號的脈寬估計精度可顯著提高。

雷達工程；多分量線性調頻信號參數(shù)估計；時頻分析；分數(shù)階傅里葉變換；克拉美勞下界

0 引言

線性調頻（LFM）信號能夠利用大的時寬和帶寬積，獲得距離高分辨，在通信、雷達等微波領域具有廣泛的應用，LFM信號的參數(shù)估計是一個重要的研究課題［1-2］。

目前，多分量LFM信號參數(shù)估計方法主要有：基于時頻分布直線提取的參數(shù)估計方法［3-4］（如Radon-Ambiguity變換，Wigner-Hough變換），基于分數(shù)階傅里葉變換［5-7］（FRFT）的參數(shù)估計方法?；跁r頻分布直線提取的參數(shù)估計方法主要利用LFM信號在時頻圖中的直線特征，直線的斜率對應信號的調頻率，通過估計時頻圖中直線的斜率完成對信號調頻率的估計。常用的時頻變換有短時傅里葉變換［8］（STFT）、Wigner-Ville變換（或模糊函數(shù)）［9］，STFT為一次時頻變換，計算速度快，但是時頻分辨率受到Heisenberg測不準原理的限制，估計精度受限，Wigner-Ville分布精度較高，但是存在交叉項干擾問題。FRFT通過旋轉頻率空間，在特定階次上聚集LFM信號的能量，等價于脈沖壓縮，參數(shù)估計精度高，但是FRFT需要進行二維譜峰搜索，計算量較大。文獻［10］提出了基于Radon-Ambiguity變換和FRFT的譜校正參數(shù)估計方法，將二維搜索問題轉化為了兩次一維搜索問題。文獻［11］將離散多項式變換與FRFT相結合對加速運動的目標進行檢測，其本質也是LFM信號的檢測與估計問題。對于多分量信號而言，其參數(shù)估計問題一般按照信號能量的強弱依次提取并進行估計。

縱觀以上方法，多分量LFM信號參數(shù)估計問題主要集中在已知基帶信號的調制參數(shù)估計。然而，在實際的電子偵察系統(tǒng)中，脈沖信號的上升沿、下降沿、脈寬、到達時間等參數(shù)是不完全已知的，也就是說信號的包絡是未知的。對于電子偵察系統(tǒng)，信號脈寬、到達時間等參數(shù)同樣需要進行估計［12-14］，在該條件下，以上LFM參數(shù)估計方法或者無法使用，或者搜索維數(shù)急劇增大，效率大幅度降低。鑒于此，本文對未知包絡多分量LFM脈沖信號的參數(shù)估計問題展開研究，推導了信號調頻率、中心頻率、脈沖時延和脈寬參數(shù)估計子，并分析了估計誤差，具有一定的實用價值。

1 未知包絡LFM脈沖信號時頻域檢測

1.1未知包絡LFM脈沖信號模型

在電子偵察系統(tǒng)中，脈沖調制LFM信號模型可以表示為式中：N為脈沖數(shù)目；Ai為第i個脈沖的幅度為第i個脈沖的時間延遲為第i個脈沖的中心頻率；ki為第i個脈沖的調頻率；w（t）是高斯復噪聲；pi（·）為第i個脈沖的實包絡。圖1給出了信號包絡及相關參數(shù)示意圖。

圖1　脈沖包絡示意圖Fig.1 Pulse envelope

圖1中：r（·）、f（·）分別表示脈沖的上升沿與下降沿；ts為脈沖起始時刻；ta為脈沖上升到0.5的時刻（通常該時刻稱為脈沖到達時刻）；tr為脈沖幅度飽和時刻；tc為脈沖時延；tf為脈沖下降時刻；tq為脈沖下降到0.5的時刻；te為脈沖結束時刻。脈沖寬度τ=tq-ta.本文假定r（·）、f（·）關于中心時刻對稱。

1.2STFT時頻域檢測

為更好地估計LFM信號參數(shù)，首先需要對信號中包含的脈沖進行檢測并估計脈沖數(shù)目。LFM脈沖信號在時頻域上具有有限支集，而噪聲在整個時頻域均有分布，因此在二維時頻域檢測信號更加合適?？紤]到信號交叉項干擾與運算速度問題，本文在STFT域對信號進行檢測［15］，信號s［n］的離散STFT 定義為

式中：L為采樣點數(shù)；g［n］為離散窗函數(shù)；m、l為二維時頻圖中的位置。

記H0假設為信號中僅包含噪聲，H1假設為信號中同時包含噪聲與感興趣信號。H0條件下，

式中：Re｛·｝和Im｛·｝分別表示復數(shù)的實部和虛部。設Re｛w［n］｝、Im｛w［n］｝是0均值、方差為σ2的高斯白噪聲且相互獨立，Re｛Gs［m，l］｝和Im｛Gs［m，l］｝是Re｛w［n］｝與Im｛w［n］｝的線性變換，因此Re｛Gs［m，l］｝和Im｛Gs［m，l］｝均服從高斯分布且實部與虛部相互獨立。

通常情況下，g［n］具有單位能量。統(tǒng)計量|Gs［m，l］|服從瑞利分布：

得時頻域判決表達式

式中：Q1為虛警率所確定的門限，可由瑞利分布的分位點計算得到。

2 LFM脈沖參數(shù)估計

2.1脈沖數(shù)與調頻率估計

2.1.1脈沖數(shù)與調頻率粗估計

經時頻域檢測后，時頻圖 Gs［m，l］二值化為時頻圖的二值化可減小信號幅度對脈沖數(shù)目提取的影響。信號在二值時頻圖中表現(xiàn)為直線線段，記H［θ，ρ］為的Hough變換，提取H［θ，ρ］的局部譜峰完成脈沖數(shù)和調頻率粗估計，局部譜峰的判決表達式如下：

式中：Q2為閾值；λ為不超過1的系數(shù)；τ0為脈沖信號的脈寬粗略值；fs為離散采樣率；Θ（θ0，ρ0，ε）為以（θ0，ρ0）為中心的ε鄰域，受到STFT分辨率的影響，高于閾值的點可能比較多，因此需要進行局部極大值判斷。根據(jù)峰值數(shù)目和位置獲得脈沖數(shù)與調頻率的粗估計

2.1.2脈沖數(shù)與調頻率精估計

FRFT是傅里葉變換的廣義形式，它在統(tǒng)一的時頻域上進行信號處理。對于LFM信號，其最佳階次的FRFT相當于脈沖壓縮，具有輸出信噪比高、穩(wěn)健性好等優(yōu)點。對于給定的LFM脈沖信號，

其最佳變換階次為α0=-acot（k），F(xiàn)RFT模值［7］表示為

（8）式表明，無論信號包絡 p（t）的形式如何，|Xs0（t）（α，u）|在（α0，u0）處獲得譜峰，且

（9）式第一個分式確定了LFM信號調頻率的估計值，第二個分式確定了信號的時頻關系。

STFT的時頻分辨率受到Heisenberg測不準原理的限制，因此需要使用FRFT對脈沖數(shù)與調頻率進行精估計。以脈沖數(shù)與調頻率的粗略估計值為先驗，在其鄰域內進行FRFT并對譜峰進行搜索，記錄譜峰位置，獲得調頻率的精估計。若存在兩個以上的脈沖譜峰位置一致，則認為粗估計中存在重復脈沖，對重復脈沖進行剔除。

綜合以上分析，LFM脈沖數(shù)與調頻率精估計步驟歸納于表1中。

表1　脈沖數(shù)與調頻率精估計處理步驟Tab.1 Processing steps for fine estimation of pulse number and frequency modulation rate

2.2脈沖時延與中心頻率估計

圖2　脈沖積累示意圖Fig.2 Accumulation of pulse

鑒于以上分析，只要脈沖包絡的上升沿與下降沿是對稱的，或者近似對稱的，無論其具體函數(shù)形式如何，脈沖積累函數(shù)hi（y）的自相關函數(shù)在處獲得最大值。因此，脈沖時延與中心頻率估計子可表示為

2.3脈沖寬度估計

提取hi（y）的左半部分hi（y）與右半部分h+i（y），其自相關分別表示為

式中：

對自變量求微分并令其等于0，得

（16）式表明，只要時延估計誤差不超出hi（y）的穩(wěn)定最大值范圍內，則脈寬的估計與時延無關。

3 仿真實驗與誤差分析

3.1仿真實驗

圖3（a）仿真了3個幅度為［0.5 mV，0.7 mV，1.0mV］，時延為［4 μs，8 μs，15 μs］的LFM脈沖信號，包絡函數(shù)由以下表達式確定，中心頻率為［20 MHz，30 MHz，10 MHz］，調頻率為［3.0 MHz/μs，5.0 MHz/μs，1.0 MHz/μs］，采樣率設置100 MHz；圖3（b）為加噪聲的信號，噪聲方差為0.5，對應信噪比為［-3 dB，0 dB，3 dB］.

圖3　多分量LFM脈沖信號仿真Fig.3 Simulation of multicomponent LFM signal

圖4（a）和圖4（b）給出了信號的STFT檢測，窗函數(shù)設置為高斯型，窗長55個采樣點，虛警率設定為0.05；對二值時頻圖進行Hough變換，完成脈沖數(shù)目與調頻率的粗估計，一般情況下，LFM脈沖信號的脈寬均會大于5 μs，因此將λ設定為0.8，τ0設定為5 μs；對脈沖數(shù)與調頻率進行精估計，結果列于表2中。

圖4　多分量LFM脈沖檢測Fig.3 Detection of multicomponent LFM signal

表2　FRFT調頻率與時頻關系精估計參數(shù)表Tab.2 FRFT fine estimation of pulse number and frequency modulation rate

研究發(fā)現(xiàn)，脈沖數(shù)目和調頻率估計會對后續(xù)參數(shù)估計產生較大影響。雖然精估計能夠提高調頻率估計精度并剔除重復脈沖。但是粗估計中發(fā)生的漏檢問題無法恢復，因此在粗估計過程中可將Q2取得略小一些，防止漏檢。STFT變換的窗長應該適中選取，當窗長較小時，頻率分辨率低，雜波在頻率域上發(fā)生了擴展，不利于時頻圖的二值化與脈沖數(shù)目估計；而窗長過大時，時域分辨率低，容易導致時頻圖中的直線在時間域上產生模糊，也不利于參數(shù)估計，經仿真研究STFT窗長設置為0.4～0.6 μs較為合適。

從二值時頻圖中提取滿足時頻關系的線段，為防止小信噪比情況下漏警造成線段開裂，在提取之前先對時頻圖做形態(tài)學膨脹處理。取圖5給出了對應的局部積累曲線

圖5　脈沖積累曲線Fig.5 Pulse accumulation curve

從圖5中不難看出，積累曲線的幅度和平坦度受到信噪比的影響。總的趨勢是信噪比越高，累積曲線的幅度越大且平坦度越好。從這個意義上講，大信噪比有利于提高參數(shù)估計精度，表3列出了各個脈沖參數(shù)的估計值與真實值以供對比。

表3　參數(shù)估計值與真實值對比表Tab.3 Comparison of estimation value and true value

表3中數(shù)據(jù)顯示：對于信噪比為3 dB的脈沖，調頻率、中心頻率、中心時刻、脈寬均具有較高的估計精度；對于信噪比-3 dB、0 dB的脈沖，除調頻率參數(shù)估計較為準確外，其余參數(shù)均產生了一定的誤差，尤其是脈沖寬度偏差較大。仔細分析，主要原因有兩點：其一，脈沖信號的信噪比較低，導致了參數(shù)估計的均方誤差增大，誤差起伏增加；其二，強脈沖信號能量泄漏至弱脈沖，導致弱脈沖的積累曲線產生偏差。從時頻圖4（a）中看出，調頻率為5.0 MHz/μs的信號（2號脈沖，信噪比0 dB）鄰近脈沖結束處與調頻率為1.0 MHz/μs的信號（3號脈沖，信噪比3 dB）在時頻域內存在交疊，與調頻率為3.0 MHz/μs （1號脈沖，信噪比-3 dB）的信號在時域內存在交疊，由于3號脈沖能量較強，直接導致了2號脈沖的中心頻率與中心時刻估計值向右偏移，脈沖寬度估計值增大。

為克服強脈沖干擾弱脈沖的現(xiàn)象，參照文獻［7］方法，在弱脈沖相干積累之前，在FRFT域對強脈沖做遮蔽處理，然后將信號變換回時域對弱脈沖參數(shù)進行估計。圖6給出了強脈沖遮蔽后的積累曲線，表4列出了強脈沖遮蔽后的LFM參數(shù)估計值與真實值以供對比。

從圖6中曲線看出：1號脈沖的積累曲線也變得相對平坦，但是由于信噪比較低，仍然存在一定的起伏；2號脈沖積累曲線的下降沿更加平滑，受到強脈沖的干擾降低。從表4中數(shù)據(jù)看出，因為調頻率估計是在強脈沖遮蔽處理之前，因此調頻率估計值沒有變化，而強脈沖遮蔽后，1號脈沖、2號脈沖的中心頻率、中心時刻、脈寬參數(shù)的估計誤差顯著下降。

3.2誤差分析

3.1節(jié)對LFM脈沖信號的參數(shù)估計進行了仿真實驗，本節(jié)主要對參數(shù)估計的精度進行分析。首先推導信號參數(shù)估計的克拉美勞下界（CRLB）［16-17］。

圖6　脈沖積累曲線（強脈沖遮蔽）Fig.6 Pulse accumulation curve（strong pulse filtering）

表4　LFM脈沖參數(shù)估計值與真實值對比表（強脈沖遮蔽）Tab.4 Comparison of estimation value and true value（strong pulse filtering）

記信號觀測向量x=［x［1］，x［2］，…，x［L-1］］T，估計參數(shù)集ξ=［fc，k，nc，τ］T，分別對應信號的中心頻率、調頻率、時延和脈寬，對數(shù)似然函數(shù)：

式中：s0［n］為信號s0（t）的離散采樣。計算Fisher信息陣，進而得到參數(shù)估計的CRLB：

采用蒙特卡洛實驗繪制參數(shù)估計的均方誤差曲線。仿真幅度參數(shù)設置A3=0，A2=2A1，其余參數(shù)與3.1節(jié)一致。圖7以1號脈沖（梯形上升沿）為例繪制了不同信噪比條件下參數(shù)估計的均方根誤差曲線。

從圖7中看出，隨著信噪比的增大，參數(shù)估計的均方誤差呈下降趨勢。調頻率參數(shù)的估計精度幾乎達到CRLB，這是因為FRFT能夠獲得高的峰值信噪比，穩(wěn)健性較好。然而，其他估計參數(shù)的均方誤差與CRLB仍然存在一定的距離，原因有兩個：1）參數(shù)的估計不是獨立的，調頻率的估計誤差會導致脈沖積累失配，直接影響到中心頻率、時延、脈寬參數(shù)的估計精度；2）中心頻率、時延、脈寬參數(shù)估計時只對脈沖進行了部分相干積累，峰值信噪比較低，導致了較大的偏差。圖7中曲線顯示，在調頻率存在一定區(qū)分的條件下，強脈沖對弱脈沖的調頻率、中心頻率、中心時刻參數(shù)估計影響較小，而對脈寬參數(shù)估計的影響較大。當對強脈沖進行遮掩后，脈寬參數(shù)的估計精度顯著提高。

圖7　不同信噪比下參數(shù)估計的均方根誤差曲線Fig.7 RMSEs of parameter estimation under different SNRs

4 結論

實際遇到的雷達偵察問題，脈沖到達時間、脈沖包絡等參數(shù)均是未知的。本文提出了未知包絡多分量LFM脈沖信號參數(shù)估計方法，特別適用于對LFM脈沖雷達的偵察，并得出以下結論：

1）對于中心頻率、調頻率、到達時間均未知的LFM脈沖，F(xiàn)RFT能夠較好地估計信號的調頻率，但是無法準確估計中心頻率與到達時間。

2）對于“鐘形”包絡脈沖，利用局部自相關方法可以較好地估計中心頻率、到達時間、脈寬等參數(shù)，并具有穩(wěn)健性。

3）在利用局部自相關方法進行參數(shù)估計時，時頻域相鄰較近的強信號容易對弱信號產生影響，進行強脈沖抑制后可提高估計精度。

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Parameter Estimation of Unknown Envelope Multicomponent LFM Signal

XU Zhou，ZHANG Hao，CHENG Shui-ying
（Department of Radar Countermeasures，Electronic Engineering Institute，Hefei 230000，Anhui，China）

For the estimation of unknown envelope multicomponent linear frequency modulation（LFM）signal in radar reconnaissance，the methods for the estimation of pulse number，frequency modulation rate，center frequency，delay and pulse width are proposed based on time-frequency analysis and coherent accumulation.A rough estimation is done for the parameters of pulse number as well as frequency modulation rate by time-frequency analysis，after which a fine estimation is conducted based on fractional Fourier transform（FRFT）.Then some parameters，such as center pulse，delay and pulse width，can be extracted by coherent accumulation.Simulation results show that the weak pulse parameters estimation may be affected by strong pulse，which can be solved by filtering in FRFT domain.At last，Cramer-Rao low bounds of parameters are derived，and the estimation errors of parameters are analyzed.Results show that the estimation accuracy of width of weak pulse can be improved significantly after strong pulse filtering.

radar engineering；multicomponent linear frequency modulation signal parameter estimation；time-frequency analysis；fractional Fourier transform；Cramer-Rao low bound

TN911

A

1000-1093（2016）03-0462-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.03.011

2015-07-09

國家自然科學基金項目（61201379）

徐舟（1990—），男，助教，碩士。E-mail：zhouzhou900521@126.com；張浩（1986—），男，講師，碩士。E-mail：zhang-g03@163.com