積分因子求法探討

寸得偶，晏　林

（文山學院 數學學院，云南 文山 663099）

積分因子求法探討

寸得偶，晏林

（文山學院 數學學院，云南 文山 663099）

積分因子法是求解微分方程通解的重要方法之一，且用積分因子法求解恰當方程是整個常微分方程教學的基礎。探討求解積分因子的四種方法：湊微分法、觀察法、公式法、分組法，分析認為湊微分法、觀察法、公式法對簡單的微分方程求解更簡單，更清晰，而分組法對于復雜的微分方程求解顯得更實用。同時，對積分因子在特殊方程中的應用進行討論，分析認為凡是可分離變量方程和可化為可分離變量的方程，線性方程和可化為線性方程的方程，都可以用積分因子法去求解。

積分因子；微分方程；求解方法

積分因子的引入是為解決非恰當微分方程化為恰當微分方程求通解的過渡橋梁，積分因子的求法傳承了偏導數在方程中的運用，有助于加深了學生對積分的深刻理解，積分因子的出現為微分方程的求解結果創造了條件。積分因子已從簡單的求解非恰當方程過渡到求解復雜的高階微分方程中，并且規律也越來越多，應用方面更是推廣到各個領域，對其求法的探討也越來越深入。但對積分因子求法的具體歸納總結卻是不全面的，由此本人將首先對積分因子的求解方法進行歸納，并總結出適用的微分方程，也會提出一些對應方法的求解步驟，本人也想對一些有規律性的積分因子進行證明。同時，對積分因子的一些常見應用也在這里進行一些討論。

1　積分因子的性質

1.1積分因子的概念

若對對稱形式的方程

存在一個連續函數μ = μ(x,y)≠0，使得方程μ(x,y) M (x,y) dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0成為一個恰當微分方程，即存在二元函數v，使μMdx+μNdy≡dv，則稱μ(x,y)為M (x,y) dx+N(x,y)dy=0的積分因子[1]。這時v(x,y)=C就是方程（1）的通解，因此可見，解決問題的關鍵是設法求出積分因子。

1.2積分因子的充要條件

積分因子的形式多樣，以至于積分因子存在的充要條件各不相同，本文只討論一些簡單基礎性較強的積分因子的充要條件。

引理1函數μ(x,y)為方程M (x,y) dx+N(x,y)dy=0積分因子的充要條件

結論1方程M (x,y) dx+N(x,y)dy=0有只與x有關的積分因子的充要條件是，這里φ(x)為x的函數，且積分因子為μ=e∫φ(x)dy。

結論2方程M (x,y) dx+N(x,y)dy=0有只與y有關的積分因子的充要條件是，這里ψ(y)為y的函數，且積分因子為μ=e∫ψ(x)dy。

1.3積分因子不唯一性

若μ(x,y)是（1）式的積分因子，u(x,y)是方程M (x,y) dx+N(x,y)dy=0相應于μ(x,y)的恰當函數，則對任意非零連續函數φ(u)，μφ(u)亦是M (x,y)dx+N(x,y)dy=0的積分因子。例如：ydx-xdy=0有不同的積分因子。這說明了積分因子存在，但不唯一。由此，在具體解題過程中，由于求出的積分因子不同導致求出的通解具有不同的形式。

2　積分因子的求法

求解積分因子相當于求解一個偏微分方程，計算偏微分的方法也是求解積分因子必備的知識基礎。下面介紹一些求解積分因子的方法：

2.1湊微分法

湊微分法是求解積分因子的基礎，它主要應用于一些簡單的微分方程中。在運用這種方法前，應熟練掌握一些基本的二元函數的全微分。

例1求解方程ydx- (x2+y2) dx-xdy=0。

解先將方程移項得ydx-xdy=(x2+y2) dx；由湊微分法中可得到方程的積分因子為，將μ(x,y)乘于方程左右兩端得積分之后得所求方程通解：

綜上，湊微分法解決微分方程的步驟：首先考慮方程是否需要移項、通分、同類合并等；其次考慮是否可以構造基本的二元函數的全微分；再次是在湊微分過程中找到積分因子；最后就是積分求出方程的通解。

2.2觀察法

觀察法求解積分因子的過程時，除了要能牢記湊微分法中的基本二元函數的全微分，還要熟練掌握恰當微分方程中的“分項組合”方法，只有這樣才便于運用觀察法來求解積分因子。

2.2.1運用基本二元函數的全微分觀察

若在非恰當微分方程中可以直接觀察到含有基本二元函數的全微分公式的某一部分，我們就可以嘗試湊出所需的另一部分。在這一過程中要注意積分因子的不唯一，如在中的ydx-xdy就有5種不同形式的積分因子這5種積分因子并不是所有的都是滿足方程的積分因子，你需要觀察方程的另一部分，從而得到適合方程的積分因子為，再按照積分因子概念中μ(x,y)M (x,y) dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0的方法求解方程。

2.2.2分項組合后觀察

對于某些簡單的微分方程不能直接觀察出它的積分因子時，可以嘗試著先分項組合，再觀察方程得到積分因子，最后求解。

例2求(ex+3y2)dx+2xydy=0積分因子及通解。

解先分項組合：exdx+(3y2dx+2xydy)=0（2）

由3y2dx+2xydy觀察可得，給其乘一個x2就有d(x3y2)=3x2y2dy+2x3ydy成立，從而可得方程積分因子μ(x,y)=x2；將積分因子乘以（2）式的兩端，即：x2exdy+d(x3y2)=0，再用分部積分法：∫udv=uv-∫udu求得原方程的通解為exx2-2xex+2ex+x3y2=C。

2.2.3觀察方程中含積分因子(xy)-n

在有形如ydx+xdy 的式子中積分因子是(xy)-n，帶入方程后便得到全微分方程是計算中應注意，積分因子中的(xy)-n的n次方選取的是x或y中的最高次方且n≥2。

例3求ydx+(x-3x3y2)dy=0的積分因子和通解。

解先將方程組合讓其出現ydx+xdy的式子，即：

又因-3x3y2中可以知道x的最高次方為3，所以積分因子中n=3，則乘以（3）式的左右兩端的dy=0，即再兩邊積分得方程的通解

綜上，觀察法是在熟練做題后積累經驗和總結方法的基礎上，才能取得有效快捷的解題方法，對于初學者和題量做得少的學者，這種方法難度系數較高，而且觀察法的要求較高，需要有牢固的知識基礎。

2.3公式法

運用公式法求解積分因子體現了微分方程的一種可循規律，在積分因子存在的充要條件中已經提到只有x或y的兩種積分因子的公式，分別是結論1和結論2。下面給出其他形式的積分因子形式：

2.3.1具有μ(x,y)形式的積分因子

方程M (x,y) dx+N(x,y)dy=0有形如μ(x±y)積分因子[2]的充要條件為則積分因子

例4求方程(2x3+3x2y+y2-y3-3)dx+(2y3+3xy2+x2-x3-3)dx=0的積分因子。

2.3.2具有μ (xα+yβ)形式的積分因子

方程M (x,y)dx + N (x,y)dy = 0具有形如μ= μ (xα+yβ)的積分因子滿足的充要條件[3]為f (xα+yβ)且積分因子為

注α,β的選取是由x，y的最高次方決定的。

假設μ(xα+yβ)為方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的積分因子，由積分因子充要條件結合上述的（4）式和（5）式進行相應替換就可以得到這樣的連等式子在將式子首尾連成等式化簡就可得然而要上式滿足條件當且僅當= f (xα+yβ)時，可求解出積分因子μ=e∫ f (x α+y β ) d (x α+y β )。

例5求方程ydx-(x2+y2+x)dy=0的積分因子。

解由已知M=y；N=-(x2+y2+x) ；則有由上充要條件可以代入公式求得方程的積分因子 ：μ=e∫ f (x2+y 2) d (x2+y 2)

然而，我們在做題時還要注意假設方程具有μ=μ (xα-yβ)形式的積分因子時滿足的充要條件為時是有一點點微妙的變化的，那它的積分因子公式應為：μ=e∫ f (x α-y β ) d (x α-y β )。它在常微分方程中屬于較為復雜的類型，它的證明方法與μ=μ (xα+yβ)類似。

公式法求解積分因子局限性較大，它要在滿足一定的充要條件下求解會使整個求解過程顯得簡易。對于一些只關于x或y的非恰當微分方程，帶公式求積分因子再求解方程的通解會顯得直觀簡便。然而對于一些特殊的積分因子求解公式，需要明確方程相應的積分因子形式，這就要求在解題過程中需要進行一定的嘗試判定具有的積分因子的形式。公式法對于初學者計算非恰當微分方程通解來說較為容易掌握，它只要記得一定的充要條件和計算公式，將相應的值代入就能解決問題。

3.4分組法

分組法求解積分因子是對較為復雜的微分方程所采取的一種有效解決問題的方法，它基于用湊微分法、觀察法、公式法都不易求出積分因子的情況下所選擇的方法，分組法也是一種運用分組思想找積分因子進而求解的方法。

對于一般形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的復雜方程，若能將它的左端分成幾組進行考慮，比如將M(x,y)dx+N(x,y)dy=0式分成如下兩組：

然后，運用公式法求這兩組積分因子：

以及相對應的恰當函數方程分別為：

由此借助 μ1、 μ2、 u1、u2便可求得整個方程。

注：在求u1和u2時積分過程采用的是定積分，這就要注意選擇x，y的積分途徑。

事實上，對于任意非零連續函數φ(u1)和ψ(u1)，μ1φ(u1)和μ2ψ(u2)都分別是（6）式的第一組和第二組的積分因子。由于φ、ψ有廣泛選擇的可能性，因此我們能選擇φ、ψ，使其滿足μ=μ1φ(u1)=μ2ψ(u2)，則μ既是方程（3～6）的第一組積分因子又是（6）式的第二組積分因子，因而可以總結為μ就是整個方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的積分因子[4]。

例6試用分組法求解方程(4xy+3y4)dx+(2x2+5xy3)dy =0的積分因子和通解。

解 先將方程分組后為(4xydx+2x2dy)+(3y4dx+ 5xy3dy)=0，由此可知方程前一組為(4xydx+2x2dy)，即M1=4xy；N1=2x2，后一組為(3y4dx+5xy3dy)，即M2=3y4；N2=5xy3；再運用公式求出前一組的積分因子為：

則其恰當函數為

而對于后一組的積分因子：

則相對應的恰當函數為：

故當x2y≠0時，原方程的積分因子為：μ1φ(u1) = μ2ψ(u2)=μ=x2y；再將積分因子乘與方程的兩端：x2y(4xydx+2x2dy)+x2y(3y4dx+5xy3dy)=0，將其化簡后進行觀察可得：2x2yd(x2y)+d(x3y5)=0，最后將其兩邊進行積分得到方程的通解：(x2y)2+x3y5=C。當x2y=0時，原方程仍然成立，故y=0亦是原方程的解。

綜上，原方程的通解為(x2y)2+x3y5=C（C為任意常數）。由上述討論及本例可知：一般來說運用分組積分因子法求解比較復雜的對稱形式方程時，有兩個問題應著重解決：其一，關鍵在于較復雜的對稱形式的方程進行適當的分組，使各組的積分因子與相應的恰當方程都易于求解得出來。其二，重難點在于適當的選取φ(u1)和ψ(u2)，在選取中要與u1和u2建立聯系，并盡可能的去掉常系數，還要滿足μ1φ(u1)=μ2ψ(u2)。

分組法是使微分方程求解中出現兩個及兩個以上的積分因子，對其積分因子尋求滿足條件達到求解的過程。這種方法是以湊微分法、觀察法、公式法為基礎來深層次的解決復雜的微分方程通解的過程，同時，這種方法可以提高解題的綜合能力和培養學生全面思考問題的能力。

3　積分因子的應用

隨著對恒等式微分方程的結果的需求，積分因子從解決非恰當微分方程逐步應用到一些常見類型的一階微分方程的求解過程中，如：可分離變量方程、線性方程、齊次方程。

3.1用積分因子解可分離變量方程

的分離變量的積分因子可以運用觀察法求解，若讓（7）式的兩端同時乘以這樣一個式子可以得到由此可以從中知道M由此可知；由此可以確定原方程的積分因子為

例7求方程(xy-y)dx+(xy-x+y-1)dy=0的積分因子與通解。

解先將方程變形為y(x-1)dx+(x+1)(y-1)dy=0，可知這是一個分離變量方程，由此它的積分因子滿足再將其乘于方程的兩邊就可以得到這樣的的一個式子：將式子兩邊積分得到原方程的通解為：

用積分因子解可分離變量方程是將積分因子運用到基礎恰當微分方程的一種回歸原本的思想，它只要將能分離變量的方程求解歸于公式化，在求能分離變量的方程中只要找到積分因子所要的條件，再結合積分的思想，就可求出通解。從而可以運用這種方法來解決一些實際問題，如：細菌繁殖；儲水槽的水位問題，它們都需列出分離變量方程并求出結果，來得到一定的規律。

3.2用積分因子解齊次方程

由齊次方程為[5]：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，只有當滿足xP+yQ≠0時，方程就有形如這樣的積分因子：

證明首先我們不妨設P(x,y)，Q(x,y)是m次齊次函數，那么就有P(tx, ty)=tmP(x,y)；Q(tx, ty)=tmQ(x,y)；然后讓上兩式的兩邊對參數t求導并且取t=1，則有；那么在這時為了要證明是齊次方程的積分因子，只需要證明有這樣的等式

例8求齊次方程2xydx-(x2+y2)dy=0的積分因子及通解。

解由方程是一個齊次方程那就可以得到；P=2xy，Q=-(x2+y2)則積分因子為：；在將積分因子乘以方程的兩端得觀察可得它是全微分方程，由此可改寫為：故兩端積分后得原方程通解：x2-y2=Cy。

綜上，對于齊次方程求通解時，只要找到相應的P、Q就可以代公式求解積分因子，這種利用積分因子解決問題是高效的，便易的。

3.3用積分因子解線性方程

綜上，只要是線性方程和可化為線性方程的方程，采取用積分因子求解的方法來求通解是比較容易的，因為只要能在方程中找到M(x,y)，N(x,y)在，再代相應積分因子求解公式就可求出方程的通解。

[1] 王高雄，周之銘.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，1983：55-56.

[2] 李君士.積分因子的求法[J].九江師專學報（自然科學版），1989（2）：64-68.

[3] 李德新.兩類特殊微分方程的積分因子解法[J].福建農林大學學院，2004（2）：269-271.

[4] 西南師范大學數學與財經學院編.常微分方程[M].重慶:西南師范大學出版社，2005：83-88.

[5] 袁榮.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2012：46-47.

[6] 葉彥謙.常微分方程講義[M].北京:人民教育出版社，1979：47-48.

[7] 錢祥征，黃立宏.常微分方程[M].長沙:湖南大學出版社，2007：28-29.

A Study on Integral Factor Method

CUN Deou, YAN Lin
(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan Yunnan 663000, China)

Integral factor method is one of the most important methods for solving differential equations and it's the basis of the ordinary teaching of differential equation. The paper studies four methods of solving integral factor, which are improvising differentiation, observation, formula and grouping method. The fi rst three methods are more simple and clear, and the forth method is more practical. Meanwhile, the paper discusses the application of integral factor in special equation and deems that the integral factor method can be used in the equation of separation of variables, the equation which can be converted into the equation of separation of variables, linear equation and the equation which can be converted into linear equation.

integrating factor; differential equation; solving method

O177.6

A

1674 - 9200（2016）03 - 0107 - 06

（責任編輯劉常福）

2015 - 06 - 19

寸得偶，男，云南盈江人，文山學院數學學院2011級應用數學專業學生；晏林，男，云南富源人，文山學院數學學院教授，主要從事代數學和數學實驗方面的研究。